高一数学教材同步知识点专题详解(苏教版必修第一册)第5章函数概念与性质金牌测试卷【中档题】(原卷版+解析)

这是一份高一数学教材同步知识点专题详解(苏教版必修第一册)第5章函数概念与性质金牌测试卷【中档题】(原卷版+解析)，共24页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知函数，任意，满足，且，则的值为（ ）
A．B．0C．2D．4
2．函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
3．设函数若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
4．设函数，函数，为实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若的值域为，则
B．若的值域为，则
C．存在实数，且，使的值域为
D．存在实数，且，使的值域为
5．设函数若存在最小值，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知函数且在定义域上是单调函数，则实数t的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．对于定义在上的函数，如果存在实数，使得对任意实数恒成立，则称为关于的“函数”．已知定义在上的函数是关于和的“函数”，且当时的值域为，则当时的值域为（ ）
A．B．C．D．
8．定义在上的函数满足，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值是（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：（本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．我们把定义域为且同时满足以下两个条件的函数称为“函数”：（1）对任意的，总有；（2）若，，则有成立.下列判断正确的是（ ）
A．若为“函数”，则
B．函数在上是“函数”
C．函数在上是“函数”
D．若为“函数”，，则
10．已知f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，F(x)＝，则F(x)（ ）
A．最小值－1B．最大值为7－C．无最小值D．无最大值
11．若定义域为R的函数在上为减函数，且函数为偶函数，则（ ）
A．B．
C．D．
12．已知函数的图象关于直线对称，且对于，当，，且时，恒成立．若对任意的恒成立，则实数a的范围可以是下面选项中的（ ）
A．B．C．D．
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知函数，，若对，，使成立，则实数的取值范围为___________.
14．若函数的值域为的子集，则实数的取值范围是___________.
15．设函数的定义域为，满足，且当时，若对任意，都有，则的取值范围是__________．
16．关于函数的性质，有如下说法：
①若函数的定义域为，则一定是偶函数；
②已知是定义域内的增函数，且，则是减函数；
③若是定义域为的奇函数，则函数的图像关于点对称；
④已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是.
其中正确说法的序号有___________.
四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知a，b是常数，，，，且方程有两个相等的实数根．
(1)求a，b的值；
(2)是否存在实数m，n，使得的定义域和值域分别为和?若存在，求出实数m，n的值；若不存在，请说明理由．
18．已知函数 ．
(1)求函数的定义域；
(2)设（为实数），求在时的最大值；
(3)对（2）中，若对所有的实数及恒成立，求实数的取值范围．
19．已知函数．
(1)当时，求函数的最小值
(2)求函数的最小值为．
20．在①，②这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题．已知函数．
(1)当时，求函数在区间上的值域；
(2)若______，，求实数a的取值范围．
21．已知函数是定义在上的奇函数，且．
(1)求a，b的值；
(2)判断函数的单调性并用定义加以证明；
(3)求使成立的实数的取值范围．
22．设函数，．
(1)某同学认为，无论实数a取何值，都不可能是奇函数，该同学的观点正确吗？请说明你的理由．
(2)若是偶函数，求实数a的值．
(3)在（2）的情况下，恒成立，求实数m的取值范围．
第5章 函数概念与性质 金牌测试卷【中档题】
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）
1．已知函数，任意，满足，且，则的值为（ ）
A．B．0C．2D．4
【答案】C
【分析】抽象函数利用特殊值的思路可以得到函数在取奇数和偶数的时候的规律，然后可以得到函数值的和.
【详解】令，，则，所以；
令，，则，所以；
令，则，所以，
.
令，，则①，令，，则②，
令，，则③，
假设，那么由③可知，将，代入②式发现与矛盾，所以不成立，.
同理可得当x为偶数时，.
所以原式=.
故选：C.
2．函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出函数的值域，再要注意，进而可以求解．
【详解】解：令，
当时，，又，
所以，，即
所以，
故选：D．
3．设函数若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设换元，分段求解可得，然后再次分段求解可得a.
【详解】设，由，则.
（1）当时，，则，无实数解；
（2）当时，，即，解得或（舍去），所以，
①当时，，解得，或（舍）；
②当时，，无解，
综上所述，.
故选：D
4．设函数，函数，为实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若的值域为，则
B．若的值域为，则
C．存在实数，且，使的值域为
D．存在实数，且，使的值域为
【答案】D
【分析】直接利用赋值法和函数的性质的应用判定A、B、C、D的结论．
【详解】解：对于A：取k＝1，b＝c＝0，，，
所以，
所以的值域为[0，+∞）．不满足k，故A错误，同时该例也说明D正确．
对于B：取k，b＝c＝0，，
，的值域为[0，+∞），不满足k≥0，
对于C：显然的函数值不可能无限小，即不可能为（﹣∞，0]．
故选：D．
5．设函数若存在最小值，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据一次函数和二次函数的单调性，分类讨论进行求解即可.
【详解】若时，，；
若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值；
若时，时，单调递减，，当时，，若函数有最小值，需或，解得.
故选：B
【点睛】关键点睛：利用分类讨论法，结合最值的性质是解题的关键.
6．已知函数且在定义域上是单调函数，则实数t的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先判断的单调性，然后对进行分类讨论，由此求得的取值范围.
【详解】由于函数在定义域上单调递增，所以函数在定义域上是单调递增函数．
当时，函数在定义域上不单调，不符合题意；
当时，函数图象的对称轴为，
当时，函数在区间上单调递减，不符合题意，
当时，函数在区间上单调递增，
要使函数在定义域上单调递增，则需，解得．
故实数t的取值范围为．
故选：A
7．对于定义在上的函数，如果存在实数，使得对任意实数恒成立，则称为关于的“函数”．已知定义在上的函数是关于和的“函数”，且当时的值域为，则当时的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由关于和的“函数”的定义可得，，由此可知是周期为的周期函数；利用时的值域，可推导得到、和的值域，综合可得最终结果.
【详解】是关于和的“函数”，，，
由得：，，
是周期为的周期函数；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，的值域为.
故选：A.
8．定义在上的函数满足，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知条件可知，当时，为减函数，再由偶函数的性质将，可化为，进而可得，化简得，从而得，可求出的范围，从而可得其最大值
【详解】因为在上的函数满足，
所以为偶函数，
因为当时，，
所以在上为减函数，
因为，为偶函数，
所以，所以，
两边平方化简得，，
因为对任意的，不等式恒成立，
所以，解得，
所以实数的最大值为，
故选：C
【点睛】关键点点睛：此题考查偶函数性质的应用，解题的关键是利用偶函数的性质将对任意的，不等式恒成立，转化为，从而可得结果.
二、多项选择题：（本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．我们把定义域为且同时满足以下两个条件的函数称为“函数”：（1）对任意的，总有；（2）若，，则有成立.下列判断正确的是（ ）
A．若为“函数”，则
B．函数在上是“函数”
C．函数在上是“函数”
D．若为“函数”，，则
【答案】ACD
【分析】根据“函数”的定义，使用赋值法可判断AB；按照“函数”的定义直接判断可知C；利用定义作差，可判断D.
【详解】A选项，由（1）知，由（2）得时，，即，∴，故A正确；
B选项，显然满足（1），若x，，则，，若x，，
设，，则，，与（2）不符，故B不正确；
C选项，，∵，∴，满足（1），，满足（2），故C正确；
D选项，∵，
∴
，
∵，∴，∴，故D正确.
故选：ACD.
10．已知f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，F(x)＝，则F(x)（ ）
A．最小值－1B．最大值为7－C．无最小值D．无最大值
【答案】BC
【分析】首先根据解析式得到它们的函数图象，结合F(x)的定义画出其函数图象，进而判断各选项的正误.
【详解】由的解析式可得函数图象如下：
∴作出F(x)的图象，如下图示，
由图知：F(x)有最大值而无最小值，且最大值为7－
故选：BC.
11．若定义域为R的函数在上为减函数，且函数为偶函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根据条件，分析函数 的单调性和对称性，再根据 的性质逐项分析即可.
【详解】因为 是偶函数，所以 的图像关于直线 对称，
即当 时， 单调递增，当 时，单调递减，
对于A， ，错误；
对于B， ，正确；
对于C， ，正确；
对于D， ，正确；
故选：BCD.
12．已知函数的图象关于直线对称，且对于，当，，且时，恒成立．若对任意的恒成立，则实数a的范围可以是下面选项中的（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】首先得到为偶函数且在上单调递增，则在上单调递减，则问题转化为恒成立，再根据一元二次不等式恒成立求出参数的取值范围.
【详解】解：因为函数的图象关于直线对称，所以的图象关于轴对称，即为偶函数，
又当，，且时，恒成立，即恒成立，
所以在上单调递增，则在上单调递减，
若对任意的恒成立，
即恒成立，即恒成立，
即恒成立，即，解得，即，
故符合条件的有A、B、C；
故选：ABC
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知函数，，若对，，使成立，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【分析】根据,,使成立,转化为两个函数值域的包含关系,进而根据关于的不等式组,解不等式组可得答案．
【详解】记函数在上的值域为集合，函数在上的值域为集合，由题意得，，.
当时，，，满足；
当时，在上单调递增，，∵，，解得，∴；
当时，在上单调递减，，∵，∴，解得，∴.综上，实数的取值范围为.
故答案为：
14．若函数的值域为的子集，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】由题意，对定义域内任意实数，使得恒成立，由此进行讨论分析可求的取值范围．
【详解】解：解析式要有意义，有；
①当时，定义域为，，此时的值域为满足值域为的子集；
②当时，定义域为， 则
所以，满足值域为的子集；
③当时，在略大于时，有，不符合题意；
④当时，有在，上恒成立，
在，上恒成立，要使的值域为的子集，
，
．
综上可得：实数的取值范围是.
故答案为：.
15．设函数的定义域为，满足，且当时，若对任意，都有，则的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据给定条件分段求解析式及对应函数值集合，再利用数形结合即得.
【详解】因，又当时，，
当时，，，
当时，由，解得或，
当时，，，
显然，当时，，
作出函数的大致图象，
对任意，都有，必有，
所以m的取值范围是.
故答案为：.
16．关于函数的性质，有如下说法：
①若函数的定义域为，则一定是偶函数；
②已知是定义域内的增函数，且，则是减函数；
③若是定义域为的奇函数，则函数的图像关于点对称；
④已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是.
其中正确说法的序号有___________.
【答案】①③④
【分析】对于①，根据奇偶性的定义，可得答案；
对于②，根据单调性的定义，可得答案；
对于③，根据奇偶性的性质和图象变换，可得答案；
对于④，根据奇偶性的定义和单调性的性质，化简不等式，可得答案.
【详解】对于①，由题意，的定义域为，，所以为偶函数，故①正确；
对于②，由题意，，，则，
即，由于与零的大小无法确定，故错误；
对于③，由题意，函数的图象关于原点对称，而的图象是由函数的图象向右平移个单位得到的，由原点向右平移个单位得到，故正确；
对于④，为偶函数，，则，即，由在上单调递增，则，
，解得，故正确；
故答案为：①③④.
四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知a，b是常数，，，，且方程有两个相等的实数根．
(1)求a，b的值；
(2)是否存在实数m，n，使得的定义域和值域分别为和?若存在，求出实数m，n的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)存在，
【分析】（1）由、有两个相等的实数根可得答案；
（2）假设存在符合条件的m，n．，得，由一元二次函数图象的特征结合定义域和值域可得答案.
（1）
由，，得，
又方程，即有两个相等的实数根，
所以，解得，；
（2）
假设存在符合条件的，
由（1）知，则有，即，
由一元二次函数图象的特征，
得，即，解得，
所以存在，，使得函数在上的值域为．
18．已知函数 ．
(1)求函数的定义域；
(2)设（为实数），求在时的最大值；
(3)对（2）中，若对所有的实数及恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)或或
【分析】（1）根据偶次方根的被开方数为非负数求得的定义域.
（2）利用换元法化简解析式，对进行分类讨论，由此求得.
（3）先求得的最小值，由此构造函数，结合一次函数的性质来求得的取值范围.
(1)
，所以的定义域为.
(2)
令，，
所以，
所以转化为，
依题意，所以函数的开口向下，
对称轴，
①，若，即，则.
②，若，即，则.
所以.
(3)
由（2）得，
若，则.
所以当时，，
所以的最小值为.
依题意对及恒成立，
则，
令，对所有的成立，
只需，
解得或或.
19．已知函数．
(1)当时，求函数的最小值
(2)求函数的最小值为．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据自变量的范围去掉绝对值，根据二次函数的性质即可求解最小值.
（2）去掉绝对值，分情况讨论函数的单调性，通过单调性确定最值.
(1)
，
由，可知;
由，可知.
所以．
(2)
，
1)当，在单调递减，在单调递增，故；
2)当，在单调递减，在单调递增， ,
3)当，在单调递减，在单调递增，；
所以
20．在①，②这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题．已知函数．
(1)当时，求函数在区间上的值域；
(2)若______，，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用二次函数的性质直接求解其值域，
（2）若选条件①，求出抛物线的对称轴，分，和三种情况求出函数的最小值，使最小值大于等于零，即可求出a的取值范围，若选条件②，则，由抛物线的性质可得或，从而可求出a的取值范围.
（1）
当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴，，
∴函数在区间上的值域为．
（2）
方案一：选条件①．
由题意，得．
若，即，则函数在区间上单调递增，
∴，解得，
又，∴a＝4．
若，即，则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∴，
解得，∴．
若，即，则函数在区间上单调递减，
∴，
解得，又，∴a＝－4．
综上所述，实数a的取值范围为．
方案二：选条件②．
∵，，
∴，
∵函数的图象是开口向上的抛物线，最大值只可能在区间端点处取得．
∴或，解得或，
∴．
故实数a的取值范围为．
21．已知函数是定义在上的奇函数，且．
(1)求a，b的值；
(2)判断函数的单调性并用定义加以证明；
(3)求使成立的实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)在，上是增函数；证明见解析
(3)
【分析】（1）根据条件可得，即可得到的值，再根据即可求得的值.
（2）根据定义法证明函数的单调性即可.
（3）结合（1）（2）的结论，根据函数的单调性与奇偶性即可解得不等式.
（1）
因为函数是定义在上的奇函数，所以，即；
又，即，解得；
经检验，时，是定义在上的奇函数．
（2）
设，，且，
则；
因为，所以，
所以，所以，所以在上是增函数；
（3）
由（1）知，在上是增函数，又因为是定义在上的奇函数，
由，得，
所以，即，解得．
所以实数的取值范围是.
22．设函数，．
(1)某同学认为，无论实数a取何值，都不可能是奇函数，该同学的观点正确吗？请说明你的理由．
(2)若是偶函数，求实数a的值．
(3)在（2）的情况下，恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)该同学的观点正确，理由见解析
(2)0
(3)
【分析】（1）由奇函数的定义，求是否有解，即可得出答案
（2）若为偶函数，则有，求出实数a的值，即可得出答案.
（3）恒成立转化为，画出的图象，求出，解不等式即可得出答案.
（1）
该同学的观点正确，理由如下：，．
若为奇函数，则有，∴．
显然无实数解，∴不可能是奇函数．
（2）
若为偶函数，则有，
∴，即．∴，
此时，是偶函数．∴实数a的值为0．
（3）
由（2）知，其图象如图所示：
由图象，知，∴，解得．
∴实数m的取值范围为．