高一数学教材同步知识点专题详解(苏教版必修第一册)第5章《函数概念与性质》中的解析式问题汇总(原卷版+解析)

这是一份高一数学教材同步知识点专题详解(苏教版必修第一册)第5章《函数概念与性质》中的解析式问题汇总(原卷版+解析)，共24页。试卷主要包含了典型题型1，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
题型1 已知函数类型求解析式5
题型2 已知f(g(x))求解析式10
题型3 求抽象函数的解析式14
题型4 求解析式中的参数的值5
题型5 函数方程组法求解析式10
求函数解析式的常用方法
(1)待定系数法：已知函数f(x)的函数类型，求f(x)的解析式时，可根据类型设出其解析式，将已知条件代入解析式，得到含待定系数的方程(组)，确定其系数即可．
(2)换元法：令t＝g(x)，注明t的范围，再求出f(t)的解析式，然后用x代替所有的t即可求出f(x)，一定要注意t的范围即为f(x)中x的范围．
(3)配凑法：已知f(g(x))的解析式，要求f(x)时，可从f(g(x))的解析式中拼凑出“g(x)”，即用g(x)来表示，再将解析式两边的g(x)用x代替即可．
(4)代入法：已知y＝f(x)的解析式求y＝f(g(x))的解析式时，可直接用新自变量g(x)替换y＝f(x)中的x.
(5)方程组法(消去法)，适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如：互为倒数eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(fx，f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))))，互为相反数(f(－x)，f(x))的函数方程，通过对称构造一个对称方程组，解方程组即可．在构造对称方程时，一般用eq \f(1,x)或－x替换原式中的x即可．
一．典型例题
题型1 已知函数类型求解析式
反思领悟：
例1 已知二次函数满足，则（ ）
A．1B．7C．8D．16
例2 （多选题）已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
例3 完成下列问题：
(1)已知，求．
(2)已知是一次函数，且满足，求．
题型2 已知f(g(x))求解析式
反思领悟：
例1 已知，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
例2 （多选题）已知函数，则（ ）
A．
B．
C．的最小值为
D．的图象与轴只有1个交点
例3 已知函数满足，且．
(1)求的值和函数的解析式；
(2)判断在其定义域的单调性并加以证明．
题型3 求抽象函数的解析式
反思领悟：
例1 已知函数在定义域上单调，且时均有，则的值为（ ）
A．3B．1C．0D．
例2 （多选题）函数是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是（ ）
A．
B．若在上有最小值，则在上有最大值1
C．若在上为增函数，则在上为减函数
D．若时，，则时，
例3 已知函数满足：对一切实数a、b，均有成立，且．
(1)求函数的表达式；
(2)解不等式．
题型4 求解析式中的参数的值
反思领悟：
例1 已知，且，则m等于（ ）
A．B．2C．D．3
例2 若函数是奇函数，且，则_________.
例3 已知函数（p，q为常数），且满足，.
(1)求函数的解析式；
(2)若，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
题型5 函数方程组法求解析式
反思领悟：
例1 已知函数满足，则（ ）
A．B．C．D．
例2 （多选题）已知满足，则（ ）
A．B．
C．D．
例3 求下列函数的解析式：
(1)已知f＝x2＋，求f(x)的解析式；
(2)已知求f(x)的解析式.
二．活学活用培优训练
一、单项选择题：（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）
1．已知，则有（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数，且，则（ ）
A．7B．5C．3D．4
3．已知是上的单调函数，若，则的值域为（ ）
A．B．C．D．
4．已知定义域为的函数满足，且当时，，则当时，的最小值是（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数f(x)满足f(x)＋2f(3－x)＝x2，则f(x)的解析式为（ ）
A．f(x)＝x2－12x＋18
B．f(x)＝－4x＋6
C．f(x)＝6x＋9
D．f(x)＝2x＋3
6．若函数满足，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．下列说法正确的是（ ）
A．若y＝f(x)是一次函数，则y＝f(f(x))为一次函数
B．若y＝f(x)是二次函数，则y＝f(f(x))为二次函数
C．若y＝f(x)是二次函数，f(x)＝x有解，则f(f(x))＝x有解
D．若y＝f(x)是二次函数，f(x)＝x无解，则f(f(x))＝x无解
8．已知一次函数满足，且点在的图象上，其中，，则下列各式正确的是（ ）
A．B．C．D．
9．已知函数满足，则关于函数正确的说法是（ ）
A．的定义域为B．值域为
C．D．不等式的解集为
三、填空题
10．已知，则的值域为______.
11．已知，则的解集为______.
12．设函数的定义域为R，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是______．
四、解答题
13．设函数的定义域与函数的定义域的交集为D，若对任意的，都有，则称函数是集合M的元素．
(1)判断函数和是不是集合M中的元素，并说明理由；
(2)设函数，且（k，b为常数，且k≠0），试求函数的解析式；
(3)已知 ，，试求实数a，b应满足的关系．
14．已知函数满足，且.
(1)求和函数的解析式；
(2)用定义法证明在其定义域的单调性.
15．已知函数满足.
(1)求的解析式；
(2)若对、且，都有成立，求实数k的取值范围.
第5章《函数概念与性质》中的解析式问题汇总
TOC \ "1-4" \h \z \u 一、典型题型1
题型1 已知函数类型求解析式5
题型2 已知f(g(x))求解析式10
题型3 求抽象函数的解析式14
题型4 求解析式中的参数的值5
题型5 函数方程组法求解析式10
求函数解析式的常用方法
(1)待定系数法：已知函数f(x)的函数类型，求f(x)的解析式时，可根据类型设出其解析式，将已知条件代入解析式，得到含待定系数的方程(组)，确定其系数即可．
(2)换元法：令t＝g(x)，注明t的范围，再求出f(t)的解析式，然后用x代替所有的t即可求出f(x)，一定要注意t的范围即为f(x)中x的范围．
(3)配凑法：已知f(g(x))的解析式，要求f(x)时，可从f(g(x))的解析式中拼凑出“g(x)”，即用g(x)来表示，再将解析式两边的g(x)用x代替即可．
(4)代入法：已知y＝f(x)的解析式求y＝f(g(x))的解析式时，可直接用新自变量g(x)替换y＝f(x)中的x.
(5)方程组法(消去法)，适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如：互为倒数eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(fx，f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))))，互为相反数(f(－x)，f(x))的函数方程，通过对称构造一个对称方程组，解方程组即可．在构造对称方程时，一般用eq \f(1,x)或－x替换原式中的x即可．
一．典型例题
题型1 已知函数类型求解析式
反思领悟：
例1 已知二次函数满足，则（ ）
A．1B．7C．8D．16
【答案】B
【分析】采用待定系数法先求解出的解析式，然后即可计算出的值.
【详解】设，
因为，
所以，
化简可得：，
所以，所以，所以，
所以，所以，
故选：B.
例2 （多选题）已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】设，代入列方程组求解即可.
【详解】设，
由题意可知，
所以，解得或，
所以或.
故选：AD.
例3 完成下列问题：
(1)已知，求．
(2)已知是一次函数，且满足，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意，根据换元法，可得答案；
（2）由题意，利用待定系数法，可得答案.
（1）
令，则，；所以．
（2）
设，依题意，
即，，
，故，解得，
所以．
题型2 已知f(g(x))求解析式
反思领悟：
例1 已知，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】将已知解析式配方，可得，再通过换元法求得解析式．
【详解】因为
令，所以
所以
故选：C.
例2 （多选题）已知函数，则（ ）
A．
B．
C．的最小值为
D．的图象与轴只有1个交点
【答案】AD
【分析】利用换元法求出的解析式，然后逐一判断即可.
【详解】令，得，则，得，
故，，，A正确，B错误.
，所以在上单调递增，
，的图象与轴只有1个交点，C错误，D正确.
故选：AD
例3 已知函数满足，且．
(1)求的值和函数的解析式；
(2)判断在其定义域的单调性并加以证明．
【答案】(1)，；
(2)单调增函数，证明见解析.
【分析】（1）由已知可得，由可求得实数的值，由此可得出函数的解析式；
（2）判断出函数为定义域上的增函数，任取、且，作差，化简变形后判断差值符号，由此可证得结论成立.
(1)
解：由，得，则，得，
所以.
(2)
解：函数的定义域为，函数为定义域上的增函数，证明如下：
任取、且，所以，
所以，
因为，，所以，
所以在其定义域为单调增函数
题型3 求抽象函数的解析式
反思领悟：
例1 已知函数在定义域上单调，且时均有，则的值为（ ）
A．3B．1C．0D．
【答案】A
【分析】设，则，即可由得，解出，从而得到，进而求出的值．
【详解】根据题意，函数在定义域上单调，且时均有，
则为常数，设，则，
则有，解可得，则，故；
故选：A.
例2 （多选题）函数是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是（ ）
A．
B．若在上有最小值，则在上有最大值1
C．若在上为增函数，则在上为减函数
D．若时，，则时，
【答案】ABD
【分析】根据奇函数的定义并取特值即可判定；利用奇函数的定义和最值得定义可以求得在上有最大值，进而判定；利用奇函数的单调性性质判定；利用奇函数的定义根据时的解析式求得时的解析式，进而判定．
【详解】由得，故正确；
当时，，且存在使得，
则时，，，且当有,
∴在上有最大值为1，故正确；
若在上为增函数，而奇函数在对称区间上具有相同的单调性，则在上为增函数，故错误；
若时，，则时，，，故正确．
故选：．
【点睛】本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义是解题关键．
例3 已知函数满足：对一切实数a、b，均有成立，且．
(1)求函数的表达式；
(2)解不等式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题可得，再利用赋值法可得，即求；
（2）由题可得，解之即求.
(1)
由已知等式，
令，，得．又，所以．
再令，可得，即．
因此，函数的表达式为．
(2)
因为的解集为，
所以令，解得，
即原不等式的解集为．
题型4 求解析式中的参数的值
反思领悟：
例1 已知，且，则m等于（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】D
【解析】令解得，代入得，解之可得选项.
【详解】因为，所以令解得，所以，
解得，
故选：D.
例2 若函数是奇函数，且，则_________.
【答案】1
【分析】根据函数奇偶性的性质和条件建立方程关系即可求实数的值
【详解】是奇函数，
成立 ,

又


故答案为：1
例3 已知函数（p，q为常数），且满足，.
(1)求函数的解析式；
(2)若，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据处函数值，代入解析式，即可得p，q的值，即可得答案.
（2）由（1）可得解析式，根据基本不等式，可得的最小值，分析即可得答案.
（1）
，，解得，
函数的解析式为.
（2）
，由基本不等式可得，
当且仅当，即时取等号，
当，函数的最小值是2，
要使，关于的不等式恒成立，只需，
所以，解得.
实数的取值范围是
题型5 函数方程组法求解析式
反思领悟：
例1 已知函数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用方程组法求出函数的解析式，即可求得的值.
【详解】由已知可得，解得，其中，因此，.
故选：C.
例2 （多选题）已知满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】由，可得，解方程组求出，结合选项逐一判断即可．
【详解】，
化简得
两式相加得，解得
故，A正确，B错误；
又，则，C正确，D错误；
故选：AC
例3 求下列函数的解析式：
(1)已知f＝x2＋，求f(x)的解析式；
(2)已知求f(x)的解析式.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用配凑法求解解析式即可；（2）构造方程，利用解方程组的方法求解解析式即可.
(1)
(2)
以－x代替x得：,
与联立得：
.
二．活学活用培优训练
一、单项选择题：（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）
1．已知，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用换元法即可求函数的解析式，注意新元的范围.
【详解】设，，则，
，，
所以函数的解析式为，．
故选：B.
2．已知函数，且，则（ ）
A．7B．5C．3D．4
【答案】A
【分析】利用凑配法求函数的解析式，代入即可求解.
【详解】,
.
,解得．
故选：A.
3．已知是上的单调函数，若，则的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】令，所以，所以，又因为，求出，则可求出，再代入求出，即可求出的值域.
【详解】令，所以，
则令，所以，
又因为，
所以，所以，
解得：，所以
所以，
因为，
所以的值域为：.
故选：B.
4．已知定义域为的函数满足，且当时，，则当时，的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意得时，，，进而得答案.
【详解】解：由题意得，，又，
∴，
.
∵，∴，
∴，
故当时，取得最小值.
综上，当时，的最小值是.
故选:C.
5．已知函数f(x)满足f(x)＋2f(3－x)＝x2，则f(x)的解析式为（ ）
A．f(x)＝x2－12x＋18
B．f(x)＝－4x＋6
C．f(x)＝6x＋9
D．f(x)＝2x＋3
【答案】B
【分析】用代替原方程中的，构造方程，解方程组的方法求解.
【详解】用代替原方程中的得：
f(3－x)＋2f[3－(3－x)]＝f(3－x)＋2f(x)＝(3－x)2＝x2－6x＋9，
∴
消去得：－3f(x)＝－x2＋12x－18，
.
故选：B
6．若函数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用方程组法即可求出函数的解析式，从而求的值.
【详解】因为函数满足 ---①
所以 ---②
联立①②，得，解得，
∴
故选：A
二、多选题
7．下列说法正确的是（ ）
A．若y＝f(x)是一次函数，则y＝f(f(x))为一次函数
B．若y＝f(x)是二次函数，则y＝f(f(x))为二次函数
C．若y＝f(x)是二次函数，f(x)＝x有解，则f(f(x))＝x有解
D．若y＝f(x)是二次函数，f(x)＝x无解，则f(f(x))＝x无解
【答案】AC
【分析】A.设求解判断；B. 设求解判断；C.根据f(x)＝x有解，设，由求解判断；D.根据f(x)＝x无解，得到判断.
【详解】A.因为y＝f(x)是一次函数，设，
则，即y＝f(f(x))为一次函数，故正确；
B. 因为y＝f(x)是二次函数，设，
则，
，
所以 y＝f(f(x))不是二次函数，故错误；
C.因为f(x)＝x有解，设，则，所以，则f(f(x))＝x有解，故正确；
D.若f(x)＝x无解，即无解，则，
由,
得，
此方程不是一元二次方程，故根据，无法判断方程是否有解，故错误；
故选：AC
8．已知一次函数满足，且点在的图象上，其中，，则下列各式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】根据求出b判断A,根据点在函数图象上判断B，由均值不等式判断CD.
【详解】，
，
即，故A不正确；
由在函数图象上可得，即，故B正确；
由均值不等式可得，即，故C正确；
因为，
所以D正确.
故选：BCD
9．已知函数满足，则关于函数正确的说法是（ ）
A．的定义域为B．值域为
C．D．不等式的解集为
【答案】BCD
【分析】先求得函数解析式，由函数有意义的条件判断选项，由换元法和分离常数法推出，分析选项，代入求得函数值判断，根据分式不等式的解法判断选项．
【详解】令，则，所以，
所以的解析式为．
对于选项，定义域为且，即错误；
对于选项，当时，，当时，，所以值域为且，即正确；
对于选项，，即正确；
对于选项，，即，等价于，
解得，即正确．
故选：．
三、填空题
10．已知，则的值域为______.
【答案】
【分析】先求出，再结合二次函数的性质即可得出值域.
【详解】解：令，则，所以，
所以，
故的解析式为，其值域为.
故答案为：.
11．已知，则的解集为______.
【答案】####{x|x=1或x=-6}##{x|x=-6或x=1}
【分析】利用换元法求函数的解析式，结合解一元次方程的根的方法即可求解.
【详解】，令，则，
，
，
由，得，解得或，
的解集为．
故答案为：.
12．设函数的定义域为R，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据给定条件，可得，分段求解析式及对应函数值集合，再结合图象推理计算作答.
【详解】因，则，又当时，，
当时，，，
当时，由，解得或，
当时，，，
显然，当时，，如图，
对任意，都有，必有，
所以m的取值范围是.
故答案为：
四、解答题
13．设函数的定义域与函数的定义域的交集为D，若对任意的，都有，则称函数是集合M的元素．
(1)判断函数和是不是集合M中的元素，并说明理由；
(2)设函数，且（k，b为常数，且k≠0），试求函数的解析式；
(3)已知 ，，试求实数a，b应满足的关系．
【答案】(1)不是集合M的元素，是集合M的元素，理由见解析
(2)或
(3)
【分析】（1）欲判断函数，是否是的元素，只须验证对任意，是否成立；
（2）根据函数，且，利用待定系数法可求、的值，即可求的解析式；
（3）根据定义，问题可转换为对一切定义域中恒成立，建立等式，从而可得：恒成立，即.
（1）
因为对任意的，，所以．
因为对任意的，，所以，
故不是集合M的元素，是集合M的元素．
（2）
因为函数，且，
所以，
所以，解得或，
所以或．
（3）
易知与的定义域的交集D由满足的x构成．
因为，所以对恒成立，所以，即对恒成立，故．
14．已知函数满足，且.
(1)求和函数的解析式；
(2)用定义法证明在其定义域的单调性.
【答案】(1)，；
(2)证明见解析.
【分析】（1）求出，即得解；
（2）利用函数的单调性的定义证明.
（1）
解：由，则有，
又由，则；
所以.
（2）
证明：在其定义域为单调增函数.
证明：，其定义域为，
令，所以，
所以，
因为，，
所以，
所以在其定义域为单调增函数.
15．已知函数满足.
(1)求的解析式；
(2)若对、且，都有成立，求实数k的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的等式组，即可解得函数的解析式；
（2）不妨设，可得出，则函数在上为增函数，由在上恒成立，结合参变量分离法可求得实数的取值范围.
(1)
解：由条件，可知函数的定义域为，
所以，，
可得，解得.
(2)
解：对、，，都有，
不妨设，由，
则，可得，
也即可得函数在区间上递增；
对任意的恒成立，即，
当时，，故，解得.
因此，实数的取值范围是.