高一数学教材同步知识点专题详解(苏教版必修第一册)第6章幂函数、指数函数、对数函数金牌测试卷【培优题】(原卷版+解析)

这是一份高一数学教材同步知识点专题详解(苏教版必修第一册)第6章幂函数、指数函数、对数函数金牌测试卷【培优题】(原卷版+解析)，共27页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知三次函数，且，，，则（ ）
A．2023B．2027C．2031D．2035
2．已知的最小值为2，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．已知定义域为R的偶函数和奇函数满足：．若存在实数a，使得关于x的不等式在区间上恒成立，则正整数n的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．已知函数的图像与过点的直线有3个不同的交点，，，则（ ）
A．8B．10C．13D．18
5．已知函数，其中，给出以下关于函数的结论：
①②当时，函数值域为③当时方程恰有四个实根④当时，若恒成立，则．其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．若不等式的解集为，则当时，函数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数的图像既关于点中心对称，又关于直线轴对称.当时，，则的值为（ ）.
A．B．C．D．
8．已知函数是偶函数，函数的最小值为，则实数m的值为（ ）
A．3B．C．D．
多项选择题：（本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（ ）
A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数
B．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数
C．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数
D．时，幂函数在上是减函数
10．对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”，记，，则下列说法正确的是（ ）
A．对于函数，有成立
B．对于函数，存在，使得成立
C．对于函数，有成立
D．若是二次函数，且是空集，则为空集
11．［多选题］若关于的方程（且）有解，则的取值可以是（ ）
A．B．C．D．0
12．函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数同时满足①在上是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”．下列函数存在“3倍值区间”的有（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知a为奇数且，则关于x的不等式的解集为___________．
14．已知函数关于点对称，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为_______.
15．已知函数的最小值为4，则实数____________．
16．已知函数，若对任意，当时，总有成立，则实数的最大值为__________.
四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．对于函数（且）．
(1)判断函数的奇偶性；
(2)当时，求函数在上的最大值和最小值．
18．设函数的定义域为D，如果存在，使得在上的值域也为，则称为“A佳”函数．已知幂函数在内是单调增函数．
(1)求函数的解析式；
(2)若函数，当的最小值是0时，求m的值；
(3)若函数，且是“A佳”函数，试求出实数n的取值范围．
19．已知函数为偶函数，且对任意，，均有
(1)求的解析式；
(2)若对任意，均有成立，求实数的取值范围.
20．双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）．记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数具有如下性质：
①定义域均为，且在上是增函数；
②为奇函数，为偶函数；
③（常数是自然对数的底数，）．
利用上述性质，解决以下问题：
(1)求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式；
(2)证明：对任意实数，为定值；
(3)已知，记函数，的最小值为，求．
21．已知是定义在R的偶函数，且，．
(1)求的解析式；
(2)设，若存在，对任意的，都有，求实数t的取值范围．
22．已知函数与函数，函数的定义域为．
(1)求的定义域和值域；
(2)若存在，使得成立，求的取值范围；
(3)已知函数的图象关于点中心对称的充要条件是函数为奇函数．利用上述结论，求函数的对称中心．（直接写出结果，不需写出过程）
第6章 幂函数、指数函数、对数函数 金牌测试卷【培优题】
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）
1．已知三次函数，且，，，则（ ）
A．2023B．2027C．2031D．2035
【答案】D
【分析】根据题意，构造函数，根据可以知道，进而代值得到答案.
【详解】设，则，所以，所以，所以.
故选：D.
2．已知的最小值为2，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】注意观察时，，所以让时， 恒成立即可，根据参变分离和换元方法即可得解.
【详解】当时，，
又因为的最小值为2，
，所以需要当时， 恒成立，
所以在恒成立，
所以在恒成立，
即在恒成立，
令 ，则，
原式转化为在恒成立，
是二次函数，开口向下，对称轴为直线，
所以在上 最大值为，
所以，
故选：D.
3．已知定义域为R的偶函数和奇函数满足：．若存在实数a，使得关于x的不等式在区间上恒成立，则正整数n的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据奇偶性列方程组求得，，利用它们的单调性确定在上的值域，再由不等式有或求a的范围，进而求出正整数n的范围.
【详解】由题设，，又，
联立可得：，，
又当且仅当时等号成立，即在上递减，在上递增，
所以，在上，
而在上递增，故，
若，则且n为正整数，只需即可.
若，则且n为正整数，不成立；
综上，正整数n的最小值为2.
故选：B
【点睛】关键点点睛：利用奇偶性列方程组求、解析式，并根据单调性求闭区间上的值域，最后由不等式恒成立求参数a的范围，即可得n的范围.
4．已知函数的图像与过点的直线有3个不同的交点，，，则（ ）
A．8B．10C．13D．18
【答案】D
【分析】分析函数的对称性，再借助对称性的性质计算作答.
【详解】函数定义域为R，且，即点在函数图象上，
，，因此，函数的图象关于点对称，
依题意，不妨令，则点与关于点对称，即且，
所以.
故选：D
【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，，存在常数a，b使得
或者，则函数图象关于点对称.
5．已知函数，其中，给出以下关于函数的结论：
①②当时，函数值域为③当时方程恰有四个实根④当时，若恒成立，则．其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】由题可画函数图象，结合图象可解.
【详解】当时，，是把向右平移2个单位变成后，再把纵坐标变为原来的2倍，得到的图象，如图：
∵，故①正确；
由题知函数在上函数值域为，在上函数值域为，在上函数值域为，在上函数值域为，故当时，函数值域为，故②正确；
当时有无数个实数根，故③错误；
当时，函数的图象与的图象交于点，结合图象，即，故④正确,
故选：C
6．若不等式的解集为，则当时，函数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先令，从而解得到，再利用对数的运算法则及换底公式化简，令，将等价为，求得其最小值，即为的最小值.
【详解】令，则可化为，即，解得，
故，由的单调性易求得，即，
又因为，
令，则因为，由的单调性可得，
而开口向下，对称轴为，
故在上单调递增，在上单调递减，
当时，；当时，；
所以的最小值为，即的最小值为.
故选：A.
7．已知函数的图像既关于点中心对称，又关于直线轴对称.当时，，则的值为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设表示函数的图像，，根据中心对称性与轴对称性，可依次得，，，取，可计算得，从而可计算得.
【详解】用表示函数的图像，对任意的，
令，则，且，
利用的中心对称性与轴对称性，可依次推得
，，，
取，此时，
因此.
故选：B
【点睛】本题考查了中心对称与轴对称的应用，求解的关键是根据中心对称与轴对称特点表示出函数图像上的点之间的关系，然后代值计算.
8．已知函数是偶函数，函数的最小值为，则实数m的值为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】B
【分析】利用函数的奇偶性求出参数，在利用换元法把问题转化为含参的二次函数问题，再通过讨论参数来处理二次函数轴动区间定的问题进行求解.
【详解】因为函数是偶函数，所以，即，所以，
其中，所以，解得，所以，所以，故函数的最小值为．令，则，故函数的最小值为等价于的最小值为，等价于或，解得．故A，C，D错误.
故选：B．
多项选择题：（本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（ ）
A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数
B．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数
C．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数
D．时，幂函数在上是减函数
【答案】AC
【解析】将函数还原成根式形式：，分别讨论m，n是奇数偶数的时候辨析函数的奇偶性和单调性.
【详解】，
当m，n是奇数时，幂函数是奇函数，故A中的结论正确；
当m是偶数，n是奇数，幂函数/在时无意义，故B中的结论错误
当m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数，故C中的结论正确；
时，幂函数在上是增函数，故D中的结论错误；
故选：AC
【点睛】此题考查幂函数的奇偶性和单调性的辨析，关键在于准确掌握幂函数的指数变化对第一象限的图象的影响，利用m，n是奇数偶数的变化讨论函数的奇偶性.
10．对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”，记，，则下列说法正确的是（ ）
A．对于函数，有成立
B．对于函数，存在，使得成立
C．对于函数，有成立
D．若是二次函数，且是空集，则为空集
【答案】ACD
【分析】根据“不动点”和“稳定点”的定义逐个分析判断即可.
【详解】对于函数，，故A正确；
对于函数，，，，故B错误；
对于函数，设方程的解为，则，，即，因为函数在R上单调递减，且，所以函数在R上单调递增，且，又因为，所以是方程的唯一解，则，故C正确；
若是空集，则恒成立或恒成立，若恒成立，用代替可得，同理可得，所以无解，即为空集，故D正确.
故选：ACD.
11．［多选题］若关于的方程（且）有解，则的取值可以是（ ）
A．B．C．D．0
【答案】BC
【分析】若关于的方程（且）有解，可用换元法，利用分离参数转化方程，配合基本不等式可求出的取值范围，并得到符合范围的选项
【详解】设，若有解，等价于，即有解，换元整理得方程有解
∵，∴，当且仅当时取等号，
∴所以若要有解，需，
∴即，
∴的取值范围是．
故选：BC
12．函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数同时满足①在上是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”．下列函数存在“3倍值区间”的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根据函数新定义，结合各选项中函数的单调性判断a、b的存在性，即可得答案.
【详解】A：为增函数，
若存在“3倍值区间”，则，
结合及的图象知，方程无解，
故不存在“3倍值区间”，A错误；
B：为减函数，
若存在“3倍值区间”，则有，得，又，，
所以可取，，
所以存在“3倍值区间”，B正确；
C：为增函数，
若存在“3倍值区间”，则，得，
所以存在“3倍值区间”，C正确；
D：当时，；当时，，从而可得在上单调递增，
若存在“3倍值区间”且，则有，解得，不符合题意，
所以不存在“3倍值区间”，D错误．
故选：BC
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知a为奇数且，则关于x的不等式的解集为___________．
【答案】或
【分析】讨论、、分别求对应解集，最后取并即得结果.
【详解】由题设，又a为奇数且，则，
当时，，，则不满足题设；
当时，成立；
当时，不等式等价于，
若时， ，即与题设矛盾；
若时，，满足；
综上，不等式解集为或.
故答案为：或
14．已知函数关于点对称，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为_______.
【答案】
【分析】由得使得不等式一边是参数，另一边是不含关于的式子，分离参数.
【详解】由为奇函数，可得其图像关于对称，
所以的图像关于对称，
由题目可知函数关于点对称，可得，
对任意的，恒成立
恒成立，
即在恒成立，
所以，
令，由，可得，
设，
当时，取得最大值，
所以的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】①分离参数法：遇到类似或等不等式恒成立问题，可把不等式化简为或的形式，达到分离参数的目的，再求解的最值处理恒成立问题；
②恒成立问题最终转化为最值问题，而分离参数法，最好之处就是转化后的函数不含参，避免了麻烦的分离讨论.
15．已知函数的最小值为4，则实数____________．
【答案】4
【分析】根据指数函数的性质，结合与的大小，分四种情况讨论函数的单调性即可求解作答.
【详解】当时，函数在R上单调递增，无最小值，不符合题意；
当时，，有，则，
显然函数在上单调递减，而，不符合题意；
当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，
，不符合题意；
当时，，有，则，
函数在上单调递减，在上单调递增，当时，，
函数在上单调递增，则在上单调递增，
因此，解得，符合要求，
所以实数.
故答案为：4
【点睛】思路点睛：在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．
16．已知函数，若对任意，当时，总有成立，则实数的最大值为__________.
【答案】1
【分析】分、、、依次讨论的范围，进而判断是否恒成立，即可求解.
【详解】当时，，则不成立；
当，，取，，此时不成立；
当时，，则，对于任意，有，当时取等号，所以总有成立；
当时，，当取最大值1，当时取最小值0，则，
对于任意，有，当时取等号，所以总有成立；
综上可得，故实数的最大值为1.
故答案为：1.
四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．对于函数（且）．
(1)判断函数的奇偶性；
(2)当时，求函数在上的最大值和最小值．
【答案】(1)奇函数
(2)最大值为，最小值为．
【分析】（1）利用奇函数的定义判断可得答案；．
（2）利用单调性的定义判断可得函数为减函数，再由奇偶性可得答案.
（1）
由题意得，
由，得，
∴函数的定义域为，关于原点对称，
又，
∴函数为奇函数；
（2）
任取，且，
则，
∵，当时，，
∴，，，
∴，即，
∴在上单调递减．
又函数为奇函数，其图象关于原点对称，
∴当时，函数的单调递减区间为，，
即函数在区间和上单调递减．
∴当时，，，
当时，，，
∴函数在上的最大值为，
最小值为．
18．设函数的定义域为D，如果存在，使得在上的值域也为，则称为“A佳”函数．已知幂函数在内是单调增函数．
(1)求函数的解析式；
(2)若函数，当的最小值是0时，求m的值；
(3)若函数，且是“A佳”函数，试求出实数n的取值范围．
【答案】(1)；
(2)-1；
(3)
【分析】（1）由幂函数的定义及性质即可求解的值；
（2）求得，，，令，则函数转化为则，，，对分类讨论，求出最小值，即可求得的值；
（3）在，上单调递减，由“佳”函数的概念可得，利用换元法可求得，再利用换元法及二次函数的性质即可求解的取值范围．
(1)
（1）因为幂函数在内是单调增函数，
所以，解得，
所以函数的解析式为．
(2)
，，，
令，则，，则，，，
当，即时，的最小值为（1），
所以，解得；
当，即时，的最小值为，
所以，解得（舍；
当，即时，的最小值为（2），
所以，解得（舍．
综上，的值为．
(3)
，，则在，上单调递减，
因为是“佳”函数，
所以，
令，，
则，，所以，
所以，
所以，
因为，所以，所以，，
所以，代入，
得，
因为，所以，得，
令，，，
所以，该函数在，上单调递减，
所以，
所以实数的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：关于函数新定义问题，一般需要理解定义的内容，根据定义直接处理比较简单问题，加深对新定义的理解，本题中，需要根据是“A佳”函数，及函数的单调性转化为，换元后求出的关系，利用函数值域求解.
19．已知函数为偶函数，且对任意，，均有
(1)求的解析式；
(2)若对任意，均有成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据所给抽象函数的性质，采用赋值法求解函数的解析；
（2）由题意可转化为恒成立，利用均值不等式及函数的单调性求出的最小值即可得解.
【详解】（1）令，则，解得或，
令，则有，若，则有，
这与矛盾，故.
用替换可得，，
由函数为偶函数，可得，
由可知.
（2）由可得，
即对恒成立，
令，则，当且仅当时等号成立，
所以由在为增函数知，，
即的最小值为1，所以.
故实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于求出函数的解析式，求函数的解析式中注意两个关键时刻，一是当后对值的取舍，这直接决定能否进行下一步；二是当得出后求，根据函数的定义， ，二者只能取其一，由即可知，这是解题中特别需注意问题.
20．双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）．记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数具有如下性质：
①定义域均为，且在上是增函数；
②为奇函数，为偶函数；
③（常数是自然对数的底数，）．
利用上述性质，解决以下问题：
(1)求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式；
(2)证明：对任意实数，为定值；
(3)已知，记函数，的最小值为，求．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用函数奇偶性的性质可得出关于、的等式组，即可求得这两个函数的解析式；
（2）利用指数的运算性质可证得结论成立；
（3）设，可得出，问题转化为求函数，的最小值，对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，即可求得的表达式.
(1)
解：由性质③知，所以，
由性质②知，，，所以，
即，解得，.
因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数，合乎题意.
(2)
证明：由（1）可得：
.
(3)
解：函数，设，
由性质①，在是增函数知，当时，，
所以原函数即，，
设，，
当时，在上单调递减，此时．
当时，函数的对称轴为，
当时，则，在上单调递减，此时，
当时，即时，在上单调递减，在上单调递增，
此时．
当时，即时，在上单调递减，此时．
综上所述，.
【点睛】方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法：
（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；
（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；
（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.
21．已知是定义在R的偶函数，且，．
(1)求的解析式；
(2)设，若存在，对任意的，都有，求实数t的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由求得，从而求得.
（2）求得在区间上的最小值，对进行分类讨论，求得在区间上的最小值，根据求得的取值范围.
（1）
是定义在R的偶函数，
所以，，
，
此时，满足题意，
所以，
（2）
依题意存在，对任意的，都有，
，
在区间上递增，在区间上的最小值为.
，开口向上，对称轴为，
当时，在上递增，最小值为，
依题意可知，则.
当时，的最小值为，
依题意可知，则.
当时，在上递减，最小值为，
依题意可知，不符合.
综上所述，的取值范围是.
【点睛】利用函数的奇偶性求参数，可以利用特殊点代入法进行求解.求解二次函数在闭区间上的最值，当函数含有参数时，要对参数进行分类讨论.
22．已知函数与函数，函数的定义域为．
(1)求的定义域和值域；
(2)若存在，使得成立，求的取值范围；
(3)已知函数的图象关于点中心对称的充要条件是函数为奇函数．利用上述结论，求函数的对称中心．（直接写出结果，不需写出过程）
【答案】(1)，值域为；
(2)
(3)
【分析】（1）写出的解析式，求解即可；
（2）原问题可转化为．利用二次函数性质求解；
（3）设的对称中心为，则函数是奇函数，
即是奇函数，利用奇函数性质列式求解即可．
（1）
由题意可得．
由，得，故．
又，且，
的值域为；
（2）
，即，则．
存在，使得成立，
．
而，
当，即时，取得最小值，
故；
（3）
设的对称中心为，
则函数是奇函数，
即是奇函数，
则恒成立，
恒成立，
所以恒成立，
所以，
因为上式对任意实数恒成立，
所以，得，
所以函数图象的对称中心为．
【点睛】关键点点睛：本题考查了函数值域和定义域的计算，考查了不等式恒成立以及对称关系的应用，第（3）问解题的关键是根据题意设的对称中心为，则函数是奇函数，然后列等式求解即可，属于较难题．