(沪教版2021选择性必修一)高二数学专题训练专题01空间向量的数量积运算综合专练(原卷版+解析)

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专题01 空间向量的数量积运算综合专练（原卷版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．(2023·上海市北虹高级中学高二期末）如图，平行六面体中，若，，，则下列向量中与相等的向量是A． B．C． D．2．(2023·上海·高二课时练习）已知向量，且，则一定共线的三点是（ ）A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，D3．(2023·上海市徐汇中学高二期中）如图，已知正四面体，点，，，，，分别是所在棱中点，点满足且，记，则当，且时，数量积的不同取值的个数是（　　）A．3 B．5 C．9 D．214．(2023·上海交大附中高三开学考试）对平面中的任意平行四边形，可以用向量方法证明：，若将上述结论类比到空间的平行六面体，则得到的结论是（ ）A．B．C．D．5．(2023·上海市张堰中学高二月考）设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则为（ ）A． B．C． D．6．(2023·上海市七宝中学模拟预测）已知MN是正方体内切球的一条直径，点Р在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（ ）A． B． C． D．7．(2023·上海市金山中学高二期中）在正方体中，下列结论错误的是（ ）A．B．C．向量与的夹角是120°D．正方体的体积为8．(2023·上海·高二月考）如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）．A． B．C． D．9．(2023·上海·曹杨二中高二月考）已知非零向量，则“”是“”的（ ）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非必要非充分条件10．(2023·上海市大同中学高三月考）已知，，和为空间中的4个单位向量，且，则不可能等于A．3 B． C．4 D．二、填空题11．(2023·上海交大附中高二期中）平行六面体中，已知底面四边形为正方形，且，其中，设，，体对角线，则的值是______.12．(2023·上海·复旦附中高二期中）已知正三棱锥的侧棱长为2020，过其底面中心作动平面交线段于点，交的延长线于两点，则的取值范围为__________13．(2023·上海·高二月考）a，b为空间两条互相垂直的直线，直角三角形的直角边所在直线与a，b都垂直，斜边以为旋转轴旋转，，有下列结论：①当直线与a成60°角时，与b成30°角；②当直线与a成60°角时，与b成45°角；⑤直线与a所成角的最大值为60°；④直线与a所成角的最小值为30°；其中正确的是___________.（填写所有正确结论的编号）14．(2023·上海市实验学校高二期中）在三棱锥中，已知，，，则___________15．(2023·上海市实验学校高二期末）如图所示，在平行六面体中，，若，则___________.16．(2023·上海市奉贤区奉城高级中学高二月考）如图，已知线段AB在平面内，线段AC⊥，线段BD⊥AB，线段⊥，=30°，如果AB=a，AC=BD=b，则C、D间的距离为_____________；17．(2023·上海市金山中学高二期末）四棱锥中，底面是一个平行四边形，，，，则四棱锥的体积为_______18．(2023·上海市洋泾中学高二月考）若、、是空间中的三个向量，，，，且，则的最小值为___________．19．(2023·上海·高二月考）设向量，.其中.则与夹角的最大值为________.20．(2023·上海中学高二期中）已知是空间单位向量，，若空间向量满足且对任意、，则______三、解答题21．(2023·上海市南洋模范中学高三期末）已知，，，定义一种运算：，已知四棱锥中，底面是一个平行四边形，，，（1）试计算的绝对值的值，并求证面；（2）求四棱锥的体积，说明的绝对值的值与四棱锥体积的关系，并由此猜想向量这一运算的绝对值的几何意义.22．(2023·上海市七宝中学高二期中）如图所示，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，为棱的中点.（1）证明：；（2）求二面角的正弦值；（3）设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值是，求线段的长.23．(2023·上海·同济大学第一附属中学高二期末）在平面四边形中，、分、所成的比为，即，则有：. （1）拓展到空间，写出空间四边形类似的命题，并加以证明；（2）在长方体中，，，，、分别为、的中点，利用上述（1）的结论求线段的长度；（3）在所有棱长均为平行六面体中，（为锐角定值），、分、所成的比为，求的长度.（用，，表示）24．(2023·上海·高三月考）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，AC=4，BD=2，且侧棱AA1=3.其中O1为A1C1与B1D1的交点.（1）求点B1到平面D1AC的距离；（2）在线段BO1上，是否存在一个点P，使得直线AP与CD1垂直？若存在，求出线段BP的长；若不存在，请说明理由.25．(2023·上海交大附中高二期末）设全体空间向量组成的集合为，为中的一个单位向量，建立一个“自变量”为向量，“应变量”也是向量的“向量函数”.（1）设，，若，求向量；（2）对于中的任意两个向量，，证明：；（3）对于中的任意单位向量，求的最大值.专题01 空间向量的数量积运算综合专练（解析版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．(2023·上海市北虹高级中学高二期末）如图，平行六面体中，若，，，则下列向量中与相等的向量是A． B．C． D．【标准答案】D【思路指引】由题意可得,化简得到结果．【详解详析】由题意可得 ,故选D.【名师指路】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．2．(2023·上海·高二课时练习）已知向量，且，则一定共线的三点是（ ）A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，D【标准答案】A【思路指引】根据三点共线的知识确定正确选项.【详解详析】依题意，，所以共线，即三点共线，A正确.，则不共线、不共线，BD错误.，则不共线，C错误.故选：A3．(2023·上海市徐汇中学高二期中）如图，已知正四面体，点，，，，，分别是所在棱中点，点满足且，记，则当，且时，数量积的不同取值的个数是（　　）A．3 B．5 C．9 D．21【标准答案】B【思路指引】由条件可知点在平面上，并且由几何意义可知平面，利用数量积的几何意义求的不同取值的个数.【详解详析】条件“且”，说明点在平面上，而说明为平面的中心，此时平面，由向量数量积的几何意义，在的投影有5种情况：0、、，∴数量积的不同取值的个数是5，故选：B．【名师指路】本题考查空间向量共面定理的应用，数量积的几何意义，重点考查转化思想，数形结合思想，属于中档题型.4．(2023·上海交大附中高三开学考试）对平面中的任意平行四边形，可以用向量方法证明：，若将上述结论类比到空间的平行六面体，则得到的结论是（ ）A．B．C．D．【标准答案】D【思路指引】平行四边形中是对角线的平方和等于四边的平方和，类比平行六面体中是对角线的平方和等于所有棱的平方和，整理即为．【详解详析】在平行六面体中，，同理，，，所以，同理，，所以即故选：D．5．(2023·上海市张堰中学高二月考）设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则为（ ）A． B．C． D．【标准答案】A【思路指引】如图所示,连接AG1交BC于点M，则M为BC中点,利用空间向量的运算法则求得，即得.【详解详析】如图所示,连接AG1交BC于点M,则M为BC中点， )=,.因为所以=3(),∴ .则，∴ ，，，故选：A.6．(2023·上海市七宝中学模拟预测）已知MN是正方体内切球的一条直径，点Р在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（ ）A． B． C． D．【标准答案】B【思路指引】利用向量的线性运算和数量积运算律可得，根据正方体的特点确定最大值和最小值，即可求解【详解详析】设正方体内切球的球心为，则,,因为MN是正方体内切球的一条直径，所以，，所以，又点Р在正方体表面上运动，所以当为正方体顶点时，最大，且最大值为；当为内切球与正方体的切点时，最小 ，且最小为；所以，所以的取值范围为，故选：B7．(2023·上海市金山中学高二期中）在正方体中，下列结论错误的是（ ）A．B．C．向量与的夹角是120°D．正方体的体积为【标准答案】D【思路指引】根据空间向量的知识对每个选项逐一分析即可.【详解详析】正方体 如图所示，对于A选项，，，故 A 正确；对于B选项， ，在平面内的投影为，又因为，即，故B正确；对于C选项，为等边三角形， ，向量与的夹角是，故 C 正确；对于D选项，，，故D显然错误.故选：D8．(2023·上海·高二月考）如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）．A． B．C． D．【标准答案】A【思路指引】利用空间向量的三角形法则可得，结合平行六面体的性质分析解答．【详解详析】平行六面体中，M为与的交点，，，，则有：，所以.故选：A9．(2023·上海·曹杨二中高二月考）已知非零向量，则“”是“”的（ ）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非必要非充分条件【标准答案】A【思路指引】先讨论充分性，令，可得出，从而确定充分性成立；再讨论必要性，举出反例当，此时满足，但“”不成立，确定必要性不成立；从而得出结论.【详解详析】解：由题可知，非零向量，当“”成立，令，，则，而，，则，故充分性成立；若，此时满足，由于分母不能为0，可知“”不成立，故必要性不成立；所以“”是“”的充分非必要条件.故选：A.10．(2023·上海市大同中学高三月考）已知，，和为空间中的4个单位向量，且，则不可能等于A．3 B． C．4 D．【标准答案】A【思路指引】根据n个向量的和的模不大于n个向量的模的和可推出结论.【详解详析】因为 而，所以因为，，， 是单位向量，且，所以不共线，所以，故选A.【名师指路】本题主要考查了向量与不等式的关系，涉及向量的共线问题，属于难题.二、填空题11．(2023·上海交大附中高二期中）平行六面体中，已知底面四边形为正方形，且，其中，设，，体对角线，则的值是______.【标准答案】根据，平方得到，计算得到答案.【详解详析】，故，解得.故答案为：.【名师指路】本题考查了平行六面体的棱长，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.12．(2023·上海·复旦附中高二期中）已知正三棱锥的侧棱长为2020，过其底面中心作动平面交线段于点，交的延长线于两点，则的取值范围为__________【标准答案】设,则,根据空间四点共面的条件，又四点共面，则，即得出答案.【详解详析】设.则,,.由为底面中心, 又因为四点共面,所以且.所以，即即.故答案为：.【名师指路】本题考查空间四点共面的条件的应用，属于中档题.13．(2023·上海·高二月考）a，b为空间两条互相垂直的直线，直角三角形的直角边所在直线与a，b都垂直，斜边以为旋转轴旋转，，有下列结论：①当直线与a成60°角时，与b成30°角；②当直线与a成60°角时，与b成45°角；⑤直线与a所成角的最大值为60°；④直线与a所成角的最小值为30°；其中正确的是___________.（填写所有正确结论的编号）【标准答案】②④【思路指引】由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，构建如图所示的长方体，|AC|＝1，|AB|=2，斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以 C为圆心，为半径的圆，以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出结果．【详解详析】由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图，不妨设图中所示的长方体高为1，底面边长为，故|AC|＝1，|AB|=2，斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，为半径的圆，以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，则D（，0，0），A（0，0，1），直线a的方向单位向量（0，1，0），| |＝1，直线b的方向单位向量（1，0，0），||＝1，设B点在运动过程中的坐标中的坐标B′（cos，sin ，0），其中为B′C与CD的夹角，，∴AB′在运动过程中的向量，=（cos θ，sinθ，﹣1），||=2，设与所成夹角为 α∈[0，]， 则|sin |∈[0，]，∴∈[，]，∴③错误，④正确．设与所成夹角为 ∈[0，]，|cos |，当与夹角为60°时，即 α，|sin|，∵cos2θ+sin2θ＝1，∴cos|cos θ|，∵β∈[0，]，∴，此时 与的夹角为45°，∴②正确，①错误．故答案为：②④．【名师指路】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，涉及空间向量的知识点，属于中档题．14．(2023·上海市实验学校高二期中）在三棱锥中，已知，，，则___________【标准答案】【思路指引】用表示，根据条件列出方程建立的关系，利用等量代换计算即得.【详解详析】设，显然，则，即，而，即，于是得，， ，则有，所以.故答案为：15．(2023·上海市实验学校高二期末）如图所示，在平行六面体中，，若，则___________.【标准答案】2【思路指引】题中 几何体为平行六面体，就要充分利用几何体的特征进行转化，,再将转化为，以及将转化为,,总之等式右边为，，,从而得出，.【详解详析】解：因为，又，所以，，则.故答案为：2.【名师指路】要充分利用几何体的几何特征，以及将作为转化的目标，从而得解.16．(2023·上海市奉贤区奉城高级中学高二月考）如图，已知线段AB在平面内，线段AC⊥，线段BD⊥AB，线段⊥，=30°，如果AB=a，AC=BD=b，则C、D间的距离为_____________；【标准答案】【思路指引】根据图像将用表示出来，然后求模即可得到结果．【详解详析】解：线段在平面内，线段，线段，线段，，如果，，由题意可知：，因为AC⊥，⊥，运算，又=30°，所以异面直线所成的角为，．所以、间的距离为：．故答案为：.17．(2023·上海市金山中学高二期末）四棱锥中，底面是一个平行四边形，，，，则四棱锥的体积为_______【标准答案】【思路指引】计算，，得到底面，计算，，计算体积得到答案.【详解详析】由，，所以底面，，故，体积为.故答案为：16.18．(2023·上海市洋泾中学高二月考）若、、是空间中的三个向量，，，，且，则的最小值为___________．【标准答案】【思路指引】建立平面直角坐标系，求得点的轨迹，结合圆的知识求得的最小值.【详解详析】设，，，∴，求的最值，、、、在同一平面时，有最值，如图建系，不妨设，，，中点，可知，，，，由可知，消参可得，即点轨迹为，点的轨迹是为圆心，半径为的圆.所以，即．故答案为：19．(2023·上海·高二月考）设向量，.其中.则与夹角的最大值为________.【标准答案】【思路指引】由两向量中的已知坐标和未知坐标间的关系，得出两向量的终点的轨迹，运用向量的夹角公式求解.【详解详析】向量的终点都在以为圆心，1为半径的圆上；向量的终点都在以为圆心，1为半径的圆上；且为圆与圆的距离为1，如图所示，两向量的夹角最大，为.【名师指路】本题考查动点的轨迹和空间直角坐标系中向量的夹角，属于中档题.20．(2023·上海中学高二期中）已知是空间单位向量，，若空间向量满足且对任意、，则______【标准答案】##【思路指引】根据最值的定义，结合空间向量数量积的定义和运算性质进行求解即可.【详解详析】由可知：当时，有最小值1，因为是空间单位向量，,空间向量满足,所以,显然当时，有最小值，最小值为1，所以，解得：，即当时成立，因此，故答案为：【名师指路】关键点睛：根据最值的定义利用配方法是解题的关键.三、解答题21．(2023·上海市南洋模范中学高三期末）已知，，，定义一种运算：，已知四棱锥中，底面是一个平行四边形，，，（1）试计算的绝对值的值，并求证面；（2）求四棱锥的体积，说明的绝对值的值与四棱锥体积的关系，并由此猜想向量这一运算的绝对值的几何意义.【标准答案】（1）48，证明见解析；（2）体积为16，，的绝对值表示以为邻边的平行六面体的体积．【思路指引】（1）根据新定义直接计算，由向量法证明线线垂直，得线面垂直；（2）计算出棱锥体积后，根据数据确定关系．【详解详析】（1）由题意＝48．，，∴，即．是平面内两相交直线，∴平面．（2）由题意，，，，∴．∴，猜想：的绝对值表示以为邻边的平行六面体的体积．【名师指路】本题考查向量的新定义运算，解题时根据新定义的规则运算即可．考查学生的创新意识，同时考查学生的归纳推理能力．22．(2023·上海市七宝中学高二期中）如图所示，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，为棱的中点.（1）证明：；（2）求二面角的正弦值；（3）设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值是，求线段的长.【标准答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．（1）以为原点建立空间直角坐标系，通过可证得结论；（2）根据二面角的空间向量求法可求得结果；（3）利用共线向量和向量线性运算表示出，根据直线与平面所成角的空间向量求法可构造方程求得，从而得到，求解的模长即为所求结果.【详解详析】（1）以为原点可建立如下图所示空间直角坐标系则，，，，，， （2）由（1）知：，平面，平面 又，平面， 平面平面的一个法向量为设平面的法向量则，令，则， 二面角的正弦值为（3）由（1）知：，设， 平面，平面 又，平面， 平面平面的一个法向量为设为直线与平面所成角则，解得：则 ，即的长为【名师指路】本题考查空间向量法解决立体几何中的垂直关系证明、二面角的求解、根据线面角求解其他量的问题；考查学生对于空间向量法的掌握情况，属于常考题型.23．(2023·上海·同济大学第一附属中学高二期末）在平面四边形中，、分、所成的比为，即，则有：. （1）拓展到空间，写出空间四边形类似的命题，并加以证明；（2）在长方体中，，，，、分别为、的中点，利用上述（1）的结论求线段的长度；（3）在所有棱长均为平行六面体中，（为锐角定值），、分、所成的比为，求的长度.（用，，表示）【标准答案】（1）命题同题干，证明见解析；（2）；（3）【思路指引】（1）由条件可得，利用向量的线性运算证明即可；（2）由（1）的结论可得，两边同时平方计算可得结果；（3）由（1）的结论可得，两边同时平方计算可得结果.【详解详析】（1）在空间四边形中，、分、所成的比为，即，则有：.证明：；（2）由（1）的结论可得，，；（3）如图：与所成的角为，又由（1）的结论可得，，.【名师指路】本题考查空间向量的线性运算，数量积的运算及模的运算，考查学生计算能力，是中档题.24．(2023·上海·高三月考）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，AC=4，BD=2，且侧棱AA1=3.其中O1为A1C1与B1D1的交点.（1）求点B1到平面D1AC的距离；（2）在线段BO1上，是否存在一个点P，使得直线AP与CD1垂直？若存在，求出线段BP的长；若不存在，请说明理由.【标准答案】（1）；（2）存在，.【思路指引】（1）根据图形建立空间直角坐标系，分别求出的方向向量和平面D1AC的法向量，最后根据距离公式求解即可.（2）设，分别求出直线AP与CD1的方向向量，根据数量积等于0求出的值，最后确定点P的位置.【详解详析】解：（1）由于菱形的对角线互相垂直平分，故以AC与BD的交点O为原点，以射线OA､OB､OO1分别为x､y､z轴，建立空间直角坐标系.由已知条件，相关点的坐标为A(2，0，0)，B(0，1，0)，C(﹣2，0，0)，O1(0，0，3)，B1(0，1，3)，D1(0，﹣1，3)，设平面D1AC的法向量为，由，，得，令z=1，则因，故点B1到平面D1AC的距离为.（2）设，则由，，得.又，故当时，.于是，在线段BO1上存在点P，使得AP⊥CD1，此时.【名师指路】用向量方法解决立体几何问题，树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算，要理解空间向量概念、性质、运算，注意和平面向量类比.25．(2023·上海交大附中高二期末）设全体空间向量组成的集合为，为中的一个单位向量，建立一个“自变量”为向量，“应变量”也是向量的“向量函数”.（1）设，，若，求向量；（2）对于中的任意两个向量，，证明：；（3）对于中的任意单位向量，求的最大值.【标准答案】（1）或；（2）见解析；（3）最大值为.【详解详析】分析：（1），设，代入运算得：，从而可得结果；（2）设，，，则利用“向量函数”的解析式化简，从而可得结果；（3）设与的夹角为，则，则，即最大值为.详解：（1）依题意得：，设，代入运算得：或；（2）设，，，则从而得证；（3）设与的夹角为，则，则，故最大值为.点睛：新定义问题一般先考察对定义的理解，这时只需一一验证定义中各个条件即可.二是考查满足新定义的函数的简单应用，如在某些条件下，满足新定义的函数有某些新的性质，这也是在新环境下研究“旧”性质，此时需结合新函数的新性质，探究“旧”性质.三是考查综合分析能力，主要将新性质有机应用在“旧”性质，创造性证明更新的性质.