2024年江苏淮安中考数学模拟题临考安心卷1

这是一份2024年江苏淮安中考数学模拟题临考安心卷1，共28页。试卷主要包含了下列计算正确的是，分解因式等内容，欢迎下载使用。
1．数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．5G是第五代移动通信技术，5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB以上．用科学记数法表示1300000是（ ）
A．13×105B．1.3×105C．1.3×106D．1.3×107
3．下列计算正确的是（ ）
A．（a+b）2＝a2+b2B．（2ab）3＝6a3b3
C．a3•a4＝a7D．a2+a4＝a6
4．如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，∠ADC＝115°，则∠BAC的度数是（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
5．若一个多边形的内角和为其外角和的4倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．7B．8C．9D．10
6．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示．下列结论中正确的是（ ）
A．a＜﹣2B．|a|＜|b|C．a＞﹣bD．b＜﹣a
7．《孙子算经》是中国古代数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余一尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，则所列方程正确的是（ ）
A．（x+4.5）﹣2x＝1B．2x﹣（x+4.5）＝1
C．x-x+4.52=1D．x+4.52-x＝1
8．如图是某同学利用计算机软件绘制的某函数的图象，根据图像判断可能是下列的哪一个函数（ ）
A．y=1xB．y=x+1xC．y=x2+1xD．y=-xx+1
二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分.请将正确答案填在试卷第三页对应的位置上.）
9．若分式1x-4有意义，则实数x的取值范围是 ．
10．分解因式：3a3﹣12a＝ ．
11．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则实数m取值范围是 ．
12．如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB'C'，若∠BAC＝90°，AB=AC=2，则图中阴影部分的面积等于 ．
13．某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO＝8米，母线AB与底面半径OB的夹角为α，tanα=43，则圆锥的侧面积是 平方米（结果保留π）．
14．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+a+2（a≠0），若﹣1≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为4，则a的值为 ．
15．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°．D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，CE＝CF．若AD＝33，BD=3，则DE+DF的最小值是 ．
16．如图，边长为1的6个小正方形拼长方形后放置在Rt△POQ内，长方形的两个顶点分别落在边OP，OQ上，设点C，D为长方形的格点，连接OC，恰好经过格点D，则OC的长为 ．
三．解答题（本大题共有11小题，共102分.）
17．（8分）计算：
（1）4×cs30°﹣|1-3|+(-2024)0-(12)-2；
（2）解不等式组：1+x2≤13(x-1)＜2x+1．
18．（8分）先化简(3x+1-x+1)÷x2-4x+4x+1，然后从﹣1，0，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值．
19．（8分）已知平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，CF⊥AD于F．
（1）如图1，求证：四边形AECF为矩形．
（2）如图2，连接BF、DE分别交AE、CF于M、N两点，请直接写出图中的所有平行四边形．
20．（8分）为了深入学习领会党的二十大精神，某校团委组织了两次“二十大知识竞赛”．从中随机抽取了30名学生两次竞赛成绩（百分制）的数据，并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．两次竞赛学生成绩情况统计图：
b．两次竞赛学生的获奖情况如下：
（说明：成绩≥90，获卓越奖；80≤成绩＜90，获优秀奖；成绩＜80，获参与奖）
c．第二次竞赛获卓越奖的学生成绩如下：90 90 91 91 91 91 92 93 93 94 94 94 95 95 96 98，
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m，n的值；
（2）甲同学第一次竞赛成绩是83分，第二次竞赛成绩是96分，在图中用“〇”圈出代表甲同学的点；
（3）下列推断合理的是 ．
①第二次竞赛成绩数据的中位数是90；②两次竞赛都获得卓越奖的有10人；
③第二次竞赛的平均成绩高于第一次竞赛的平均成绩．
21．（8分）为传承红色文化，激发革命精神，增强爱国主义情感，某校组织七年级学生开展“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的研学之旅，策划了三条红色线路让学生选择：A．刘英烈士陵园；B．中国工农红军第十三军第三团纪念馆；C．中共永康县委诞生地纪念馆，且每人只能选择一条线路．小张和小王两人用抽卡片的方式确定一条自己要去的线路．他们准备了3张不透明的卡片，正面分别写上字母A，B，C，卡片除正面字母不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，小张先从中随机抽取一张卡片，记下字母后正面向下放回，洗匀后小王再从中随机抽取一张卡片．
（1）小张从中随机抽到卡片A的概率是 ．
（2）请用画树状图或列表的方法，求两人都抽到卡片C的概率．
22．（8分）作图题：（1）如图，已知∠AOB及点C、D两点，请利用直尺和圆规作一点P，使得点P到射线OA、OB的距离相等，且P点到点C、D的距离也相等．
（2）①利用方格纸画出△ABC关于直线l的对称图形△A'B'C'，
②判断△ABC的形状并说明理由．
23．（8分）图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测得BC＝10cm，AB＝24cm，∠BAD＝60°，∠ABC＝50°．
（1）在图2中，过点B作BE⊥AD，垂足为E．填空：∠CBE＝ °；
（2）求点C到AD的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：3≈1.73，sin20°≈0.342，cs20°≈0.940，tan20°≈0.364）
24．（10分）如图，AB为⊙O的切线，B为切点，过点B作BC⊥OA，垂足为点E，交⊙O于点C，延长CO与AB的延长线交于点D．
（1）求证：AC为⊙O的切线；
（2）若OC＝2，OD＝5，求线段AD的长．
25．（12分）学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况．在两种不同的场景A和场景B下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x分钟时，在场景A，B中的剩余质量分别为y1，y2（单位：克）．
下面是某研究小组的探究过程，请补充完整：
记录y1，y2与x的几组对应值如下：
（1）在同一平面直角坐标系xOy中，描出上表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；
（2）进一步探究发现，场景A的图象是抛物线的一部分，y1与x之间近似满足函数关系y1＝﹣0.04x2+bx+c．场景B的图象是直线的一部分，y2与x之间近似满足函数关系y2＝ax+c（a≠0）．请分别求出场景A，B满足的函数关系式；
（3）查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用．在上述实验中，记该化学试剂在场景A，B中发挥作用的时间分别为xA，xB，则xA xB（填“＞”，“＝”或“＜”）．
26．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx-1a（a＜0）与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．
（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）．
（2）当B的纵坐标为3时，求a的值；
（3）已知点P(12，-1a)，Q（2，2），若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，请结合函数图象求出a的取值范围．
27．（12分）问题解决
（1）如图1，在等边三角形ABC中，点D，E分别在AC，BC边上，AE，BD交于点F，且AD＝CE．则线段AE，BD的数量关系为 ，∠BFE的度数为 ；
类比迁移
（2）如图2，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，点D，E分别在AC，BC边上，AE，BD交于点F，且CE=2AD．
①判断线段AE，BD之间的数量关系并说明理由；
②求∠BFE的度数．
拓展探究
（3）如图3，△ABC是等腰直角三角形，AB＝4，若点D是边AC上一动点，点E是射线CB上一动点，在（2）的条件下，当动点D沿AC边从点A移动到点C（可以与点C重合）时，直接写出运动过程中CF长的最大值和最小值．
2024年江苏淮安中考数学模拟题临考安心卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.请将正确答案填在试卷第三页对应的题号下.）
1．数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析有据】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
【解题有法】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：C．
2．5G是第五代移动通信技术，5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB以上．用科学记数法表示1300000是（ ）
A．13×105B．1.3×105C．1.3×106D．1.3×107
【分析有据】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解题有法】解：1300000＝1.3×106，故选：C．
3．下列计算正确的是（ ）
A．（a+b）2＝a2+b2B．（2ab）3＝6a3b3
C．a3•a4＝a7D．a2+a4＝a6
【分析有据】由完全平方公式，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法以及合并同类项对选项进行一一解答即可．
【解题有法】解：A、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故不符合题意．
B、（2ab）3＝8a3b3，故不符合题意．C、a3•a4＝a7，故符合题意．
D、a2与a4不是同类项，不能合并，故不符合题意．故选：C．
4．如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，∠ADC＝115°，则∠BAC的度数是（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
【分析有据】解法一：连接OC，利用圆周角定理及角的和差求得∠BOC的度数，进而求得∠BAC的度数．
解法二：用圆内接四边形的性质解题．
【解题有法】解：解法一：如图，连接OC，
∵∠ADC＝115°，∴优弧ABC所对的圆心角为2×115°＝230°，
∴∠BOC＝230°﹣180°＝50°，
∴∠BAC=12∠BOC＝25°，故选：A．
解法二：∵∠ADC＝115°，∴∠ABC＝180°﹣115°＝65°，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣65°＝25°，故选：A．
5．若一个多边形的内角和为其外角和的4倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．7B．8C．9D．10
【分析有据】设这个多边形的边数为n，根据内角和公式以及多边形的外角和为360°即可列出关于n的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解题有法】解：设这个多边形的边数为n，则该多边形的内角和为（n﹣2）×180°，
依题意得：（n﹣2）×180°＝360°×4，
解得：n＝10，∴这个多边形的边数是10．故选：D．
6．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示．下列结论中正确的是（ ）
A．a＜﹣2B．|a|＜|b|C．a＞﹣bD．b＜﹣a
【分析有据】直接利用数轴得出a，b的取值范围，进而得出答案．
【解题有法】解：由数轴可得：﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，
则A、a＞﹣2，故此选项错误，不合题意；B、|a|＞|b|，故此选项错误，不合题意；
C、a＜﹣b，故此选项错误，不合题意；D、b＜﹣a，故此选项正确，符合题意．
故选：D．
7．《孙子算经》是中国古代数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余一尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，则所列方程正确的是（ ）
A．（x+4.5）﹣2x＝1B．2x﹣（x+4.5）＝1
C．x-x+4.52=1D．x+4.52-x＝1
【分析有据】根据用一根绳子去量一根木头，绳子还剩余4.5尺，可知绳子比木头长4.5尺；根据将绳子对折再量木头，则木头还剩余一尺，可知木头比绳子的一半长一尺，然后即可列出相应的方程．
【解题有法】解：设木头长为x尺，由题意可得：x-x+4.52=1，故选：C．
8．如图是某同学利用计算机软件绘制的某函数的图象，根据图像判断可能是下列的哪一个函数（ ）
A．y=1xB．y=x+1xC．y=x2+1xD．y=-xx+1
【分析有据】由图象可知，当x＝0时，函数值不存在，当x＝﹣1时，y＜0，当x＜0时，y随x的增大先增大后减小；据此即可判断．
【解题有法】解：A、y=1x，当x＜0时，y随x的增大而减小，与图象不符，不符合题意；
B、y=x+1x，满足图象特点，符合题意；
C、y=x2+1x，当x＝﹣1时，y＝0，与图象不符，不符合题意；
D、y=-xx+1，当x＝0时，y＝0，与图象不符，不符合题意；故选：B．
二．填空题（共8小题）
9．若分式1x-4有意义，则实数x的取值范围是 x≠4 ．
【分析有据】根据分式分母不为0进行计算即可．
【解题有法】解：∵分式1x-4有意义，∴x﹣4≠0，∴x≠4，故答案为：x≠4．
10．分解因式：3a3﹣12a＝ 3a（a+2）（a﹣2） ．
【分析有据】首先提取公因式3a，进而利用平方差公式进行分解即可．
【解题有法】解：3a2﹣12a
＝3a（a2﹣4）
＝3a（a+2）（a﹣2）．
故答案为：3a（a+2）（a﹣2）．
11．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则实数m取值范围是 m＞1 ．
【分析有据】根据方程没有实数根，得到根的判别式小于0列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围．
【解题有法】解：根据方程没有实数根，得到Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4m＜0，
解得：m＞1．
故答案为：m＞1．
12．如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB'C'，若∠BAC＝90°，AB=AC=2，则图中阴影部分的面积等于 2-1 ．
【分析有据】由旋转的性质可得∠CAC′＝∠BAB′＝45°，∠B′＝∠B＝45°，AB′＝AB=2，可证△AFB′，△ADB和△BEF为等腰直角三角形，分别求出S△ADB，S△BEF的值，即可求解．
【解题有法】解：如图，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB′C′，
∴∠CAC′＝∠BAB′＝45°，∠B′＝∠B＝45°，AB′＝AB=2，
∴△AFB′是等腰直角三角形，
∴AD⊥BC，B′F⊥AF，AF=22AB′＝1，
∴BF＝AB﹣AF=2-1，
∵∠B＝45°，EF⊥BF，AD⊥BD，
∴△ADB和△BEF为等腰直角三角形，
∴AD＝BD=22AB＝1，EF＝BF=2-1，
∴图中阴影部分的面积＝S△ADB﹣S△BEF
=12×1×1-12(2-1)(2-1)
=12-32+2
=2-1．
故答案为：2-1．
13．某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO＝8米，母线AB与底面半径OB的夹角为α，tanα=43，则圆锥的侧面积是 60π 平方米（结果保留π）．
【分析有据】由圆锥高为8，母线AB与底面半径OB的夹角为α，tanα=43，利用解直角三角形得出BO的长，再由勾股定理求得圆锥的母线长后，利用圆锥的侧面面积公式求出．
【解题有法】解：∵AO＝8米，母线AB与底面半径OB的夹角为α，tanα=43，
∴tanα=43=AOBO=8BO，
∴BO＝6，∴AB＝10，
根据圆锥的侧面积公式：πrl＝π×6×10＝60π，
故答案为：60π．
14．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+a+2（a≠0），若﹣1≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为4，则a的值为 1或﹣1 ．
【分析有据】根据二次函数y＝ax2﹣2ax+a+2＝a（x﹣1）2+2，可以得到该函数的对称轴，再根据当﹣1≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为4和二次函数的性质，可以得到|a（﹣1﹣1）2+2﹣2|＝4，然后求解即可．
【解题有法】解：二次函数y＝ax2﹣2ax+a+2＝a（x﹣1）2+2，
∴该函数的对称轴为直线x＝1，
∵当﹣1≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为4，
∴当|a（﹣1﹣1）2+2﹣2|＝4，
解得a1＝1，a2＝﹣1，
故答案为：1或﹣1．
15．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°．D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，CE＝CF．若AD＝33，BD=3，则DE+DF的最小值是 21 ．
【分析有据】连接CD，将CD绕点C逆时针旋转120°得到CG，构造△ECD≌△FCG（SAS），推出DE+DF＝GF+DF，可得当点G，F，D在同一直线上时，DE+DF取最小值，作CH⊥AB于点H，CI⊥DG于点I，利用等腰三角形三线合一的性质及锐角三角函数解直角三角形即可．
【解题有法】解：连接CD，将CD绕点C逆时针旋转120°得到CG，连接GF，
则CG＝CD，∠GCD＝120°＝∠ACB，
∴∠GCD﹣∠BCD＝∠ACB﹣∠BCD，
即∠ECD＝∠FCG，
在△ECD和△FCG中，
CD=CG∠ECD=∠FCGCE=CF，
∴△ECD≌△FCG（SAS），
∴DE＝GF，
∴DE+DF＝GF+DF，
∴当点G，F，D在同一直线上时，DE+DF取最小值，最小值为DG的长度．
连接DG，作CH⊥AB于点H，CI⊥DG于点I，
∵AD=33，BD=3，
∴AB=AD+BD=43，
∵CH⊥AB，AC＝BC，
∴BH=12AB=23，DH=BH-BD=3，
∵AC＝BC，∠ACB＝120°，
∴∠B=12(180°-∠ACB)=30°，
∴tan∠B=tan30°=CHBH，
∴33=CH23，
∴CH＝2，
∴CD=CH2+DH2=22+(3)2=7，
∵CD＝CG，∠DCG＝120°，
∴∠CDG=12(180°-∠DCG)=30°，
∵CI⊥DG，
∴cs∠CDI=cs30°=DICD，
∴32=DI7，
∴DI=212，
∴DG=2DI=21，
即DE+DF的最小值是21．
故答案为：21．
16．如图，边长为1的6个小正方形拼长方形后放置在Rt△POQ内，长方形的两个顶点分别落在边OP，OQ上，设点C，D为长方形的格点，连接OC，恰好经过格点D，则OC的长为 3+2 ．
【分析有据】先求解CD=2，证明OD＝3，从而可得答案．
【解题有法】解：如图，
∵边长为1的6个小正方形拼长方形后放置在Rt△POQ内，点C，D为长方形的格点，
∴CD=12+12=2，MD＝DQ＝3，
∵∠POQ＝90°，
∴DO＝DM＝DQ＝3，
∴CO=3+2，
故答案为：3+2．
三．解答题（共11小题）
17．计算：
（1）4×cs30°﹣|1-3|+(-2024)0-(12)-2；
（2）解不等式组：1+x2≤13(x-1)＜2x+1．
【分析有据】（1）先化简，然后计算加减法即可；
（2）先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
【解题有法】解：（1）4×cs30°﹣|1-3|+(-2024)0-(12)-2
＝4×32-（3-1）+1﹣4
＝23-3+1+1﹣4
=3-2；
（2）1+x2≤1①3(x-1)＜2x+1②，
解不等式①，得：x≤1，
解不等式②，得：x＜4，
∴该不等式组的解集为x≤1．
18．先化简(3x+1-x+1)÷x2-4x+4x+1，然后从﹣1，0，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值．
【分析有据】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的代入进行计算即可．
【解题有法】解：原式＝（3x+1-x2-1x+1）÷(x-2)2x+1
=3-x2+1x+1•x+1(x-2)2
=4-x2x+1•x+1(x-2)2
=-(x+2)(x-2)x+1•x+1(x-2)2
=-x+2x-2，
∵x+1≠0，x﹣2≠0，
∴x≠﹣1，x≠2，
∴当x＝0时，原式=-0+20-2=1．
19．已知平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，CF⊥AD于F．
（1）如图1，求证：四边形AECF为矩形．
（2）如图2，连接BF、DE分别交AE、CF于M、N两点，请直接写出图中的所有平行四边形．
【分析有据】（1）根据平行四边形的性质及垂直的定义即可得出∠AEB＝∠EAD＝∠BCF＝∠CFD＝90°，再根据四个角为直角的四边形为矩形即可得证；
（2）根据平行四边形的判定及性质即可判定所有的平行四边形．
【解题有法】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∵AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，
∴∠AEB＝∠EAD＝∠BCF＝∠CFD＝90°，
∴四边形AECF为矩形．
（2）解：由（1）可知：四边形AECF为矩形，
∴AF＝CE，ME∥FN，
在平行四边形ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，
∴FD＝BE，FD∥BE，
∴四边形FDEB是平行四边形，
∴MF∥EN，
∵ME∥FN，MF∥EN，
∴四边形MFNE是平行四边形，
由（1）及题意可知：四边形ABCD、AECF为平行四边形，
∴图中所有的平行四边形为：四边形FDEB、四边形ABCD、四边形AECF、四边形MFNE．
20．为了深入学习领会党的二十大精神，某校团委组织了两次“二十大知识竞赛”．从中随机抽取了30名学生两次竞赛成绩（百分制）的数据，并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．两次竞赛学生成绩情况统计图：
b．两次竞赛学生的获奖情况如下：
（说明：成绩≥90，获卓越奖；80≤成绩＜90，获优秀奖；成绩＜80，获参与奖）
c．第二次竞赛获卓越奖的学生成绩如下：90 90 91 91 91 91 92 93 93 94 94 94 95 95 96 98，
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m，n的值；
（2）甲同学第一次竞赛成绩是83分，第二次竞赛成绩是96分，在图中用“〇”圈出代表甲同学的点；
（3）下列推断合理的是 ①③ ．
①第二次竞赛成绩数据的中位数是90；
②两次竞赛都获得卓越奖的有10人；
③第二次竞赛的平均成绩高于第一次竞赛的平均成绩．
【分析有据】（1）根据成绩统计图可直接得出结果；
（2）在统计图中直接标出点即可；
（3）根据中位数，平均数的计算方法及统计图依次判断即可．
【解题有法】解：（1）根据竞赛成绩统计图，第一次竞赛成绩在80≤成绩＜90之间的有12人，成绩≥90的有10人，
∴m＝12，n＝10；
（2）如图所示：
（3）①第二次竞赛成绩数据中参与奖及优秀奖的人数为9+5＝14人，
第15、16名学生的成绩为90、90，
∴第二次竞赛成绩数据的中位数是90；故推断合理；
②由统计图得，两次都获得卓越奖的人数有9人，故推断不合理；
③第二次竞赛的平均成绩为：74×9+85×5+93×1630≈85.97，
第一次竞赛的平均成绩为：73×8+85×12+95×1030≈85.13＜85.97，故推断合理；
故答案为：①③．
21．为传承红色文化，激发革命精神，增强爱国主义情感，某校组织七年级学生开展“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的研学之旅，策划了三条红色线路让学生选择：A．刘英烈士陵园；B．中国工农红军第十三军第三团纪念馆；C．中共永康县委诞生地纪念馆，且每人只能选择一条线路．小张和小王两人用抽卡片的方式确定一条自己要去的线路．他们准备了3张不透明的卡片，正面分别写上字母A，B，C，卡片除正面字母不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，小张先从中随机抽取一张卡片，记下字母后正面向下放回，洗匀后小王再从中随机抽取一张卡片．
（1）小张从中随机抽到卡片A的概率是 13 ．
（2）请用画树状图或列表的方法，求两人都抽到卡片C的概率．
【分析有据】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中小亮和小刚两人都抽到卡片C的结果有1种，再由概率公式求解即可．
【解题有法】解：（1）小张从中随机抽到卡片A的概率为13；
故答案为：13；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小张和小王两人都抽到卡片C的结果有1种，
∴两人都抽到卡片C的概率是19．
22．作图题：（1）如图，已知∠AOB及点C、D两点，请利用直尺和圆规作一点P，使得点P到射线OA、OB的距离相等，且P点到点C、D的距离也相等．
（2）①利用方格纸画出△ABC关于直线l的对称图形△A'B'C'，
②判断△ABC的形状并说明理由．
【分析有据】（1）连接CD，分别作线段CD垂直平分线和∠AOB的平分线，其交点即为所求；
（2）①分别作出三个顶点关于直线l的对称点，再首尾顺次连接即可；
②利用勾股定理逆定理求解即可．
【解题有法】解：（1）如图所示，点P即为所求．
（2）①如图所示，△A'B'C'即为所求．
②∵AB2＝32+42＝25，AC2＝12+22＝5，BC2＝22+42＝20，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形．
23．图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测得BC＝10cm，AB＝24cm，∠BAD＝60°，∠ABC＝50°．
（1）在图2中，过点B作BE⊥AD，垂足为E．填空：∠CBE＝ 20 °；
（2）求点C到AD的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：3≈1.73，sin20°≈0.342，cs20°≈0.940，tan20°≈0.364）
【分析有据】（1）根据垂直定义可得∠AEB＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠ABE＝30°，然后利用角的和差关系进行计算即可解答；
（2）过点C作CF⊥AD，垂足为F，过点C作CG⊥BE，垂足为G，则GE＝CF，∠BGC＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠BCG＝70°，然后在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出BE的长，再在Rt△BGC中，利用锐角三角函数的定义求出BG的长，进行计算即可解答．
【解题有法】解：（1）如图：
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝90°，
∵∠BAD＝60°，
∴∠ABE＝90°﹣∠BAD＝30°，
∵∠ABC＝50°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝20°，
故答案为：20；
（2）过点C作CF⊥AD，垂足为F，过点C作CG⊥BE，垂足为G，
则GE＝CF，∠BGC＝90°，
∵∠CBE＝20°，
∴∠BCG＝90°﹣∠CBE＝70°，
在Rt△ABE中，∠BAE＝60°，AB＝24cm，
∴BE＝AB•sin60°＝24×32=123（cm），
在Rt△BGC中，BC＝10cm，
∴BG＝BC•cs20°≈10×0.94＝9.4（cm），
∴CF＝GE＝BE﹣BG＝123-9.4≈12×1.73﹣9.4≈11.4（cm），
∴点C到AD的距离约为11.4cm．
24．如图，AB为⊙O的切线，B为切点，过点B作BC⊥OA，垂足为点E，交⊙O于点C，延长CO与AB的延长线交于点D．
（1）求证：AC为⊙O的切线；
（2）若OC＝2，OD＝5，求线段AD的长．
【分析有据】（1）连接OB，证明△CAO≌△BAO（SSS），由全等三角形的性质得出∠OCA＝∠OBA．由切线的性质得出∠ABO＝90°，则∠OCA＝90°，可得出结论；
（2）由勾股定理求出BD的长，设AC＝x，则AC＝AB＝x，得出方程x2+72=(x+21)2，解方程可得出答案．
【解题有法】（1）证明：连接OB，则OC＝OB，如图，
∵OA⊥BC，
∴EC＝BE，
∴OA是CB的垂直平分线，
∴AC＝AB．
在△CAO和△BAO中，
AO=AOAC=ABOC=OB，
∴△CAO≌△BAO（SSS），
∴∠OCA＝∠OBA．
∵AB为⊙O的切线，B为切点，
∴∠ABO＝90°，
∴∠OCA＝90°，
即AC⊥半径OC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵OC＝2，OD＝5，
∴OB＝2，CD＝OC+OD＝7，
∵∠OBD＝90°，
∴BD=OD2-OB2=52-22=21，
设AC＝x，
则AC＝AB＝x，
∵CD2+AC2＝AD2，
∴x2+72=(x+21)2，
解得x=2321，
∴AC=2321，
∴AD＝AB+BD＝AC+BD=2321+21=5321．
25．学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况．在两种不同的场景A和场景B下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x分钟时，在场景A，B中的剩余质量分别为y1，y2（单位：克）．
下面是某研究小组的探究过程，请补充完整：
记录y1，y2与x的几组对应值如下：
（1）在同一平面直角坐标系xOy中，描出上表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；
（2）进一步探究发现，场景A的图象是抛物线的一部分，y1与x之间近似满足函数关系y1＝﹣0.04x2+bx+c．场景B的图象是直线的一部分，y2与x之间近似满足函数关系y2＝ax+c（a≠0）．请分别求出场景A，B满足的函数关系式；
（3）查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用．在上述实验中，记该化学试剂在场景A，B中发挥作用的时间分别为xA，xB，则xA ＜ xB（填“＞”，“＝”或“＜”）．
【分析有据】（1）依据题意，根据表格数据描点，连线即可作图得解；
（2）根据函数图象确定点的坐标，利用待定系数法解答即可；
（3）依据题意，分别求出当y＝4时x的值，即可得出答案．
【解题有法】解：（1）由题意，作图如下．
（2）由题意，场景A的图象是抛物线的一部分，y1与x之间近似满足函数关系y1＝﹣0.04x2+bx+c．
又点（0，25），（10，20）在函数图象上，
∴c=25-0.04×102+10b+c=20．解得：b=-0.1c=25．
∴场景A函数关系式为y1＝﹣0.04x2﹣0.1x+25．
对于场景B的图象是直线的一部分，y2与x之间近似满足函数关系y2＝ax+c．
又（0，25），（10，15）在函数图象上，
∴c=2510a+c=15．解得：c=25a=-1．
∴场景B函数关系式为y2＝﹣x+25．
（3）由题意，当y＝4时，
场景A中，xA＝20，场景B中，4＝﹣xB+25，
解得：xB＝21，∴xA＜xB．
26．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx-1a（a＜0）与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．
（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）．
（2）当B的纵坐标为3时，求a的值；
（3）已知点P(12，-1a)，Q（2，2），若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，请结合函数图象求出a的取值范围．
【分析有据】（1）令x＝0，求出点A坐标根据平移得出结论；
（2）将B的纵坐标为3代入求出即可；
（3）由对称轴为直线x＝1得出y=ax2-2ax-1a，当y＝2时，解得x1=a+|a+1|a，x2=a-|a+1|a，结合图象得出结论；
【解题有法】解：（1）在y=ax2+bx-1a（a＜0）中，令x＝0，则y=-1a，∴A(0，-1a)，
将点A向右平移2个单位长度，得到点B，则B(2，-1a)．
（2）∵B的纵坐标为3，∴-1a=3，∴a=-13．
（3）由题意得：抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴b＝﹣2a，∴y=ax2-2ax-1a，
当y＝2时，2=ax2-2ax-1a，
解得x1=a+|a+1|a，x2=a-|a+1|a，
当a-|a+1|a≤2时，结合函数图象可得a≤-12，抛物线与PQ恰有一个公共点，
综上所述，a的取值范围为a≤-12．
27．问题解决
（1）如图1，在等边三角形ABC中，点D，E分别在AC，BC边上，AE，BD交于点F，且AD＝CE．则线段AE，BD的数量关系为 AE＝BD ，∠BFE的度数为 60° ；
类比迁移
（2）如图2，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，点D，E分别在AC，BC边上，AE，BD交于点F，且CE=2AD．
①判断线段AE，BD之间的数量关系并说明理由；
②求∠BFE的度数．
拓展探究
（3）如图3，△ABC是等腰直角三角形，AB＝4，若点D是边AC上一动点，点E是射线CB上一动点，在（2）的条件下，当动点D沿AC边从点A移动到点C（可以与点C重合）时，直接写出运动过程中CF长的最大值和最小值．
【分析有据】（1）证明△ABD≌△CAE，根据全等三角形的性质得出AE＝BD，∠CAE＝∠ABD，进而根据三角形外角的性质即可求解；
（2）①证明△CAE∽△ABD，得出AE=2BD；
②由①得出∠CAE＝∠ABD，进而根据（1）的方法即可求解；
（3）由题意，可知点F在以AB为弦．所对圆心角为90°的⊙O上，根据题意画出图形，连接OC．当点F在线段OC上时，CF取得最小值，当点D移动到点C时，点F与点E重合，此时CF取得最大值，利用勾股定理以及线段的和差即可求解．
【解题有法】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAD＝∠ACE＝60°，
又∵AD＝CE，∴△ABD≌△CAE（SAS），∴AE＝BD，∠CAE＝∠ABD，
∴∠BFE＝∠BAE+∠ABD＝∠BAE+∠EAC＝∠BAC＝60°，
故答案为：AE＝BD，60°；
（2）①AE=2BD；理由如下：
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，ACAB=2，∵CE=2AD，即CEAD=2．
∴ACAB=CEAD=2，∴△CAE∽△ABD．
∴∠CAE＝∠ABD，AEBD=ACBA=2，即AE=2BD；
②∵∠CAE＝∠ABD，
∴∠BFE＝∠ABD+∠BAE＝∠CAE+∠BAE＝∠BAC＝45°；
（3）CF长的最小值为210-22，最大值为8．理由如下：
由题意，可知点F在以AB为弦．所对圆心角为90°的⊙O上（∠BFE＝45°，则∠BFA＝135°，劣弧AB所对的圆周角是45°）．如图1所示，∠AOB＝90°．
∵OA＝OB，∴OA=22AB=22．
连接OC．当点F在线段OC上时，CF取得最小值，
如图3.1所示，此时∠OAC＝∠OAB+∠BAC＝90°．
∴OC=OA2+AC2=210．∴CF长的最小值为210-22．
当点D移动到点C时，点F与点E重合，此时CF取得最大值．
如图3.2所示，由（2），知CE=2AC=8．
∴CF长的最大值为8．
奖项竞赛
参与奖
优秀奖
卓越奖
第一次竞赛
人数
8
m
n
平均分
73
85
95
第二次竞赛
人数
9
5
16
平均分
74
85
93
x（分钟）
0
5
10
15
20
…
y1（克）
25
23.5
20
14.5
7
…
y2（克）
25
20
15
10
5
…
奖项竞赛
参与奖
优秀奖
卓越奖
第一次竞赛
人数
8
m
n
平均分
73
85
95
第二次竞赛
人数
9
5
16
平均分
74
85
93
x（分钟）
0
5
10
15
20
…
y1（克）
25
23.5
20
14.5
7
…
y2（克）
25
20
15
10
5
…