2023-2024学年 北师版 九年级第一学期 期中 数学 模拟 训练卷（解答卷）

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（本试卷共27小题，满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．下图所示几何体的主视图是（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
2．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．4cm，3cm，2cm，1cmB．6cm，2cm，3cm，5cm
C．4cm，8cm，10cm，5cmD．8cm，6cm，7cm，5cm
【答案】C
3．如图，在△ABC中，DE∥BC，，AD=2，则BD的值为（ ）
A．3B．4C．6D．8
【答案】B
4．一元二次方程x2＝3x的根是（ ）
A．3B．3或﹣3C．0或3D．或
【答案】C
5.五张完全相同的卡片上，分别画有如图所示的体育运动图片，现从中随机抽取一张，
恰好抽到轴对称图形的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
某校初三年级举行班45．某校初三年级举行班级篮球友谊赛，每两个班都要进行一场比赛，
张老师告诉小丽总共要进行120场比赛，小丽想通过列方程求出参与比赛的班级数．
设参与比赛的班级有个，则所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，
此时液面（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
8.如图，中，，，点D是边BC的中点，
以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使，连接CE，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
如图，是矩形的对角线，分别以点A，C为圆心，
以大于的长为半径画弧，两弧交于点E，F，直线交于点M，交于点N，
若，，则边的长为（ ）
A．6B．10C．D．
【答案】D
如图，矩形ABCD中，，点E是AD上的一点，且，
CE的垂直平分线交CB的延长线于点F，交CD于点H，连接EF交AB于点G．
若G是AB的中点，则BC的长是（ ）
A．6B．7C．8D．10.5
【答案】B
二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．已知是方程的一个根，则a = ．
【答案】5
12如图，身高1.6米的小颖在阳光下的影长为2米，在同一时刻，一棵大树的影长为10米，
则这棵树的高度为 米．
【答案】8
13如图，A、B两点间有一湖泊，无法直接测量，
已知CA＝60米，CD＝24米，DE＝32米，，则AB＝ 米．
【答案】
14.如图所示，甲乙两建筑物在太阳光的照射下的影子的端点重合在C处，
若BC=20m，CD=40m，乙的楼高BE=15m，则甲的楼高AD= m．
【答案】30．
如图，一同学在广场边的一水坑里看到一棵树，他目测出自己与树的距离约为20m，
树的顶端在水中的倒影距自己约5m远，该同学的身高为1.7m，则树高约为 m．
【答案】5.1．
如图，四边形ABCD是正方形，AB＝6，E是BC中点，
连接DE，DE的垂直平分线分别交AB、DE、CD于M、O、N，连接EN，
过E作EF⊥EN交AB于F．下列结论中，
①△BEF∽△CNE；②MN＝3；③BF＝AF；④△BEF的周长是12．
正确结论是 ．（填序号）
【答案】①②④
三、解答题（本大题共10小题，共86分．）
17．如图，，且，，求的长．
解：∵，
，
即，
解得：．
18．解方程：（1）x2﹣4x＝3． （2）．
解：（1）由原方程，得
x2﹣4x+4＝3+4，
则（x﹣2）2＝7，开方，得
x﹣2＝±，
解得x1＝2+，x2＝2﹣．
（2），
移项：，
配方：，
因式分解：，
直接开平方：，
．
19．如图：点D在△ABC的边AB上，连接CD，∠1＝∠B，AD＝4，AC＝6，求AB的长．
解：∵∠1＝∠B，∠A＝∠A
∴△ACD∽△ABC
∴
∴
∴AB＝9
故AB的长为9．
20 .如图，D、E分别是ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，
若＝1：3，求的值．
解：∵S△BDE：S△CDE＝1：3，
∴BE：EC＝1：3；
∴BE：BC＝1：4；
∵DE∥AC，
∴△DOE∽△AOC，
∴，
∴S△DOE：S△AOC=．
21．如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示．
（1）请你通过画图确定灯泡所在的位置．
（2）如果小明的身高AB＝1.6m，他的影子长AC＝1.4m，他到路灯的距离AD＝2.1m，求灯泡的高．
解：（1）如图，点O为灯泡所在的位置，
线段FH为小亮在灯光下形成的影子；
（2）解：由已知可得，
＝，
∴＝，
∴OD＝4m．
∴灯泡的高为4m．
22．如图为平行四边形的边延长线上一点，分别交、于、.
（1）求证：；
（2）若，，求.
（1）证明：平行四边形
∴，
∴，
∴
（2）：由（1）中证明得：
∵，代入后得
∴
某校开设了书画、器乐、戏曲、棋类四类兴趣课程，为了解全校学生对每类课程的选择情况，
随机抽取了若干名学生进行调查（每人必选且只能选一类）．
现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
（1）本次随机调查抽取了多少名学生？
（2）补全条形统计图中“书画”“戏曲”的空缺部分；
（3）若该校共有1600名学生，请估计全校选择“戏曲”课程的学生有多少名；
（4）学校从这四类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，
用列表或画树状图的方法求出恰好抽到“器乐”和“戏曲”课程的概率．
（书画、器乐、戏曲、棋类可分别用字母，，，表示）
解：（1）由图可得：
（名）；
答：本次随机调查抽取了200名学生．
（2）由题意得：
选择“书画”课程的学生有（名），
选择“戏曲”课程的学生有（名），
∴补全条形统计图如图所示：
（3）由题意及统计图可得：
（名）；
答：全校选择“戏曲”课程的学生有320名．
（4）画树状图如下：
由树状图，知共有12种等可能出现的结果，
其中恰好抽到“器乐”和“戏曲”课程的结果有2种，
所以（恰好抽到“器乐”和“戏曲”课程）．
某批发商以每件50元的价格购500件恤，若以单价70元销售，预计可售出200件，
批发商的销售策略是：第一个月为了增加销售，在单价70元的基础上降价销售，
经过市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价高于购进的价格，
每一个月结束后，将剩余的恤一次性亏本清仓销售，清仓时单价为40元．
（1）若设第一个月单价降低元，当月出售恤获得的利润为元，清仓剩下恤亏本元，
请分别求出、与的函数关系式；
从增加销售量的角度看，第一个月批发商降价多少元时，
销售完这批恤获得的利润为1000元？
解：（1）
=．
=．
（2）设第一个月批发商降价元，销售完这批恤获得的利润为1000元，
由题意,
整理得，
解得=0或10（不合题意，会去），
，
∴第一个月批发商降价10元时，销售完这批恤获得的利润为1000元．
如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，
要把它加工成矩形零件PQMN，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．
（1）求证：△APQ∽△ABC；
（2）若这个矩形的边PN：PQ＝2：1，则这个矩形的长、宽各是多少？
解：（1）证明：∵PQMN是矩形，
∴PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
（2）设边PQ为xmm，则PN为2xmm，
∵PQMN是矩形，
∴PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∵AD是高，
∴PN∥AD，
∴△PBN∽△ABD，
∴、，
即，，
∵AP+BP＝AB，
∴＝1，
解得x＝30，2x＝60．
即长为60mm，宽为30mm．
答：矩形的长为60mm，宽是30mm．
如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，墙长．
设长为，矩形的面积为．
(1)写出y与x的函数关系式；
(2)当长为多少米时，所围成的花圃面积最大？最大值是多少？
(3)当花圃的面积为时，长为多少米？
解：（1）四边形是矩形，
，
设长为，则，，
矩形面积，
y与x的函数关系式为；
（2）由题意得：，
，
y有最大值，即当时，y的最大值为162，
当时，，，符合题意，
当长为时，花圃面积最大，最大面积为；
（3）令，则，
解得，，
①当时，即，，符合题意，
当长为时，面积为．
②当时，即，，符合题意，
当长为时，面积为，
综上可知，当花圃的面积为时，长为6米或12米．
27．【基础巩固】
（1）如图1，在中，，直线l过点C，
分别过A、B两点作，，垂足分别为E、D．求证：．
【尝试应用】
如图2，在中，，D是BC上一点，过D作AD的垂线交AB于点E．
若，，，求BD的长．
【拓展提高】
如图3，在中，在BC上取点E，使得，
若，，求平行四边形ABCD的面积．
解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
（2）过点E作于点F．
由（1）得．
∴．
∵，，，
，．
∵，
∴．
∴．
（3）过点A作于点M，过点D作的延长线于点N．
∴．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，．
∴．
∴．
∴，．
∵，，
∴
∵，
设，，．
∴，．
∵，
由（1）得．
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，．
的面积．