甘肃省庆阳市环县第四中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

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这是一份甘肃省庆阳市环县第四中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题，共10页。试卷主要包含了本卷主要考查内容，下列求导运算正确的是等内容，欢迎下载使用。

全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5.本卷主要考查内容：湘教版选择性必修第二册第一章~第二章.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知函数，则（）
A.B.1C.D.2
2.已知，则下列向量中与平行的是（）
A.B.C.D.
3.设点，，.若，则点的坐标为（）
A.B.C.D.
4.已知函数，则的极小值点为（）
A.B.1C.D.
5.已知函数，则（）
A.B.C.D.
6.在平行六面体中，点是线段BD上的一点，且，设，，，则（）
A.B.
C.D.
7.已知函数，若，则下列式子大小关系正确的是（）
A.B.
C.D.
8.如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形.若，且，则的长为（）
A.B.C.D.5
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列求导运算正确的是（）
A.B.
C.D.
10.已知空间向量，，则下列说法正确的是（）
A.B.
C.与夹角的余弦值为D.若，则，，共面
11.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）
A.在区间上单调递减B.在区间上单调递增
C.在处取得极大值D.在处取得极大值
12.已知函数，则下列说法正确的是（）
A.的极值点为B.的最小值为
C.有两个零点D.直线是曲线的一条切线
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知在一次降雨过程中，某地降雨量（单位：mm）与时间（单位：min）的函数关系可近似表示为，则在时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为__________.
14.已知向量，，且，则实数__________.
15.曲线在点处的切线方程为__________.
16.已知平面的一个法向量为，点是平面上的一点，则点到平面的距离为__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）求的极值.
18.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）若函数，求在上的值域.
19.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，E是AD的中点，为等腰直角三角形，，.
（1）求证：；
（2）求PC与平面所成角的正弦值.
20.（本小题满分12分）
如图，在半径为4m的四分之一圆（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料，其中点B在圆弧上，点A，C在两半径上，现将此矩形铝皮卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长，圆柱的体积为.
（1）求出体积V关于x的函数关系式，并指出定义域；
（2）当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大？最大体积是多少？
21.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，，E，F分别为PB，PC中点.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成角的正弦值.
22.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）若，证明：；
（2）若，，都有，求实数的取值范围.
环县四中2023~2024学年度第二学期期中考试·高二数学
参考答案、提示及评分细则
1.C因为，所以，所以，故选C.
2.B对于A，因为，所以A不正确；
对于B，因为，所以B正确；
对于C，因为，所以C不正确；
对于D，因为，所以D不正确.故选B.
3.B设，则，而，则，有，所以.故选B.
4.B，令，解得或，令，解得或，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以的极小值点为1.故选B.
5.D令，得，解得，，令，得，解得，所以，所以，所以.故选D.
6.C.故选C.
7.A由，得，当时，，所以在上单调递增，因为，所以，所以，由函数在上单调递增，有，所以，综上，得.故选A.
8.A，故，故选A.
9.BC，故A错误；，故B正确；，故C正确；，故D错误.故选BC.
10.BCD，又，故A错误；，则，故B正确；
因为，，所以，，所以，故C正确；
因为，故D正确.故选BCD.
11.AC在区间上单调递减，故A正确；在区间上单调递减，在上单调递增，故B错误；在区间上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极大值，故C正确；在区间上单调递增，故D错误.故选AC.
12.BD，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的极值点为1，又，所以的最小值为，故B正确，A错误；当时，，当时，，所以有且仅有1个零点，故错误；令，解得，所以切点为，故D正确.故选BD.
13.因为，，.故在时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为.
14.，，
因为，所以，解得.
15.因为，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即.
16.，点到平面的距离.
17.解：（1）的定义域为，
，令，解得或，
令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
（2）由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
又，，
所以的极大值为，极小值为0.
18.解：（1）因为，所以.
因为函数在上单调递增，所以恒成立，
则，解得，
即实数的取值范围是；
（2）因为，所以.
由，得或；由，得.
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
因为，，，，
所以在上的值域为.
19.（1）证明：平面，平面，，
又是等腰直角三角形，是斜边AD的中点，，
又平面，平面，，平面，
平面，；
（2）解：如图以为原点，EP，EA所在的直线为轴，轴，在平面内，通过点作AD的垂线为轴，建立空间直角坐标系，
不妨设，则，，，则，，，
设平面的法向量为，
则取，则，
故为平面的一个法向量，
设PC与平面所成的角为，则，
与平面所成角的正弦值为.
20.解：（1）在中，因为，所以，
设圆柱的底面半径为，则，即，
所以，；
（2）由（1）得，，令，得，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以当时，圆柱形罐子的体积最大，最大体积是.
21.解：（1）证明：因为E，F分别为PB，PC中点，所以，
在直角梯形中，因为，所以，
又因为平面，平面，
所以平面；
（2）以为x，y，z的正半轴，建立空间直角坐标系，设，
则，，，所以，，
所以，，，，
设平面的法向量为，则
取，则，，即，
设平面的法向量为，则
取，则，，即，
设平面与平面所成角为，
则，所以.
22.（1）证明：若，，，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以；
（2）解：不妨设，所以，即，
所以在上单调递增，
令，在上恒成立，
令，.
当时，在上恒成立，又，不符合题意；
当时，令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得，此种情况无解，
当时，，在上单调递增，，在上恒成立，
综上所述的取值范围为.