吉林省通化市三校2023-2024学年高一下学期期中联考数学试题

这是一份吉林省通化市三校2023-2024学年高一下学期期中联考数学试题，共8页。试卷主要包含了本卷主要考查内容，在中，，，，则，已知i为虚数单位，复数，，则，在中，，，，则的面积可以是等内容，欢迎下载使用。
高一数学
全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．
5．本卷主要考查内容：必修第二册第六章~第八章8.3．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，在上的投影为，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知，为不共线向量，，，，则（ ）
A．A，B，D三点共线B．A，B，C三点共线
C．A，C，D三点共线D．B，C，D三点共线
4．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则其最大角为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，为水平放置的斜二测画法的直观图，且，，则的周长为（ ）
A．9B．10C．11D．12
6．在中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在中，，P为CD的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
8．在平行四边形ABCD中，，，，，则（ ）
A．B．C．3D．6
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知i为虚数单位，复数，，则（ ）
A．的共轭复数为B．
C．为实数D．在复平面内对应的点在第一象限
10．在中，，，，则的面积可以是（ ）
A．B．1C．D．
11．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，，则只有一解
C．若，则为直角三角形
D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知向量，则与向量平行的单位向量为__________．
13．圆柱的底面圆周的半径为5，高为8，则该圆柱的表面积为__________．
14．的三边分别为a，b，c，且，则的最小值等于__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知复数z满足，．
（1）求复数z；
（2）求复数的实部和虚部．
16．（本小题满分15分）
已知向量，，，且．
（1）求m的值；
（2）求向量与的夹角的余弦值．
17．（本小题满分15分）
如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长．
（1）这种“浮球”的体积是多少？
（2）要在这样1000个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方厘米需要涂胶0.02克，共需胶多少克？
18．（本小题满分17分）
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角B；
（2）若为锐角三角形，，D是线段AC的中点，求BD的长的取值范围．
19．（本小题满分17分）
在中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且三角形外接圆半径为．
（1）求C的大小；
（2）若的面积为，求的值；
（3）设的外接圆圆心为O，且满足，求m的值．
2023～2024学年度下学期三校联考期中考试·高一数学
参考答案、提示及评分细则
1．D 因为，，
所以．故选D．
2．D 因为，在上的投影为，可得，所以．故选D．
3．A 因为，所以A，B，D三点共线，故选A．
4．C 设，，，易知C最大，，
，．
5．D 在中，，，由，可得，的周长为12．
6．B ，，，
由余弦定理可得：，
解得：，或（舍去），
由正弦定理可得：．故选B．
7．C 由题意知
．故选C．
8．C ，，．故选C．
9．BD 因为的共轭复数为，所以A不正确；
因为，，所以B正确；
因为，所以C不正确；
因为，点的坐标在第一象限，所以D正确．
10．AD ，，，
由余弦定理得，，
或，，得或．
11．AD 对于A选项，由，有，由正弦定理可得，故A选项正确；
对于B选项，由，可知有两解，可知B选项错误；
对于C选项，由，得，有，可得或，可知C选项错误；
对于D选项，若为锐角三角形或直角三角形，有；若为钝角三角形，不妨设C为钝角，有，，，
有，可知D选项正确．故选AD．
12．或 因为，所以，
所以与向量平行的单位向量为或．
13． 因为圆柱的底面圆的半径为5、高为8，所以圆柱底面圆的周长为，
所以该圆柱的表面积为．
14．．
15．解：（1）设，，，可得，
由，可得，
又由和，
有可得，由上知；
（2）由，有，
可知复数的实部为，虚部为0．
16．解：（1）因为，
且，所以，解得；
（2）因为，，
所以，，，
所以．
17．解：（1）该半球的直径，
所以“浮球”的圆柱筒直径也是，得半径，
所以两个半球的体积之和为，
而，
该“浮球”的体积是；
（2）上下两个半球的表面积是，
而“浮球”的圆柱筒侧面积为，
所以1个“浮球”的表面积为，
因此，1000个“浮球”的表面积的和为，
因为每平方厘米需要涂胶0.02克，
所以总共需要胶的质量为（克）．
18．解：（1）因为，由正弦定理得，所以，
由余弦定理得，
又，所以；
（2）因为，所以．
因为D是线段AC的中点，所以，
所以，
由正弦定理得，所以，，
所以，
又为锐角三角形，所以解得，所以，
所以，所以，
所以，即BD的长的取值范围是．
19．解：（1）中，由正弦定理可得，
所以可转化为，
又因为，所以，
所以，整理得，
在中，则，
又因为，所以；
（2）由正弦定理得，
则，
又，所以，，得，
由余弦定理得，
所以，所以；
（3）因为，所以，
所以，
又，
同理，，所以，所以，
由正弦定理，所以，，
代入化简得，所以．