2024年广东省深圳市龙华区创新实验学校中考数学适应性试卷

这是一份2024年广东省深圳市龙华区创新实验学校中考数学适应性试卷，共24页。试卷主要包含了中国有四大国粹等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）﹣2024的绝对值是（ ）
A．2024B．﹣2024C．±2024D．0
2．（3分）下列图案中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）据海关统计，2024年1﹣2月长春市进出口总额约为215.4亿元．数据215.4亿用科学记数法表示为（ ）
A．0.2154×1011B．2.154×1010
C．2.154×109D．215.4×108
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2x+3x＝5xB．（x﹣y）2＝x2﹣y2
C．x6÷x2＝x3D．（﹣2xy）2＝﹣4x2y2
5．（3分）如图，为了加固房屋，要在屋架上加一根横梁DE，则∠ADE应为（ ）度．
A．30°B．60°C．120°D．150°
6．（3分）《九章算术》是我国古代经典数学著作，其中卷第八方程记录了这样一个问题：今有牛五、羊二，直金十两，直金八两，问牛羊各直金几何？意为：今有牛5头，共值金10两；牛2头，共值金8两．问牛羊每头各值金多少？如果设牛每头值金x两，羊每头值金y两，得（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）如图，在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），DF∥AB，分别交AB，F两点，下列条件能判定四边形AEDF是菱形的是（ ）
A．AD⊥BCB．AD为BC边上的中线
C．AD＝BDD．AD平分∠BAC
8．（3分）已知△ABC．AC＞BC＞AB，∠C＝45°，用尺规在边AC上求作一点P．使∠PBC＝45°，下列判断正确的是（ ）
A．甲、乙的作图均正确
B．甲、乙的作图均不正确
C．只有甲的作图正确
D．只有乙的作图正确
二.填空题（每题3分，共15分）
9．（3分）中国有四大国粹：京剧、武术、中医和书法．某校开设这四门课程供学生任意选修一门，则小丽同学恰好选修了中医的概率是 ．
10．（3分）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+6＝0的一个根是3，则3a+b＝ ．
11．（3分）如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E，∠AOD＝128°，则∠BDC＝ ．
12．（3分）某校化学实验小组利用白醋和小苏打自制火箭发射小实验．如图，一枚自制小火箭从发射点A处发射，身高1.8米的小明在离发射点A距离6m的B处，小明测得此刻的仰角为62°，则这枚小火箭此时的高度AC是 m．
13．（3分）如图是一张矩形纸片ABCD，点E为AD中点，点F在BC上，点A，B的对应点分别为A′，A′E与BC相交于点G，B′A′的延长线过点C．若，则 ．
三.解答题（共61分）
14．（5分）计算：．
15．（5分）解不等式组：．
16．（5分）先化简，再求值：求：，其中a＝2．
17．（6分）如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，且三个顶点的坐标分别为A（﹣5，2）、B（﹣2，5）（1，3）．
（1）在图中画出将△ABC向右平移6个单位长度得到的△A1B1C1．
（2）在图中画出将△ABC绕点C逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2．
18．（7分）某校举行了“掌握新技术，走进数时代”信息技术应用大赛，将该校参加竞赛的学生成绩统计后（不完整）
“掌握新技术，走进数时代”信息技术应用大赛成绩频数分布统计表
请观察上面的图表，解答下列问题：
（1）统计表中m＝ ；统计图中n＝ ；B组的圆心角是 度．
（2）D组的4名学生中，有2名男生和2名女生，从D组随机抽取2名学生参加5G体验活动
19．（7分）根据以下素材，探索完成任务．
20．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过C作⊙O的切线交OD的延长线于E，交AB的延长线于F
（1）求证：EA与⊙O相切；
（2）若CE＝3，CF＝2，求⊙O的半径．
21．（9分）探究问题1：
（1）若二次函数y＝x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴有两个公共点，求m的取值范围．
（2）变式：若二次函数y＝x2﹣4x+m（m为常数）的图象与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个公共点，则m的取值范围是 ．
等价转化：若二次函数 （m为常数）的图象与一次函数y＝﹣m的图象有两个公共点，则m的取值范围是 ．
探究问题2：
（3）若二次函数y＝x2﹣4x+m的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个公共点，求m的取值范围．
22．（9分）已知△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D为平面内一点．
（1）如图1，当D点在AB的中点时，连接CD，得到ED，若AB＝4；
（2）如图2，当D点在△ABC外部时，E、F分别是AB、BC的中点，将DE绕E点逆时针旋转90°得到EG，连接CG、DG、FG，请探究FD、FG、CG之间的数量关系并给出证明；
（3）如图3，当D在△ABC内部时，连接AD，得到ED，若ED经过BC中点F，G为CE的中点，连接GF并延长交AB于点H，请直接写出的值．
参考答案与试题解析
一.选择题（每题3分，共24分）
1．（3分）﹣2024的绝对值是（ ）
A．2024B．﹣2024C．±2024D．0
【解答】解：﹣2024的绝对值是2024，
故选：A．
2．（3分）下列图案中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、该图案可以看作是轴对称图形；
B、该图案不可以看作是轴对称图形；
C、该图案不可以看作是轴对称图形；
D、该图案不可以看作是轴对称图形．
故选：A．
3．（3分）据海关统计，2024年1﹣2月长春市进出口总额约为215.4亿元．数据215.4亿用科学记数法表示为（ ）
A．0.2154×1011B．2.154×1010
C．2.154×109D．215.4×108
【解答】解：215.4亿＝21540000000＝2.154×1010，
故选：B．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2x+3x＝5xB．（x﹣y）2＝x2﹣y2
C．x6÷x2＝x3D．（﹣2xy）2＝﹣4x2y2
【解答】解：A、2x+3x＝4x；
B、（x﹣y）2＝x2﹣5xy+y2，故本选项错误；
C、x6÷x7＝x4，故本选项错误；
D、（﹣2xy）7＝4x2y6，故本选项错误；
故选：A．
5．（3分）如图，为了加固房屋，要在屋架上加一根横梁DE，则∠ADE应为（ ）度．
A．30°B．60°C．120°D．150°
【解答】解：∵DE∥BC．
∴∠ADE＝∠ABC＝30°．
故选：A．
6．（3分）《九章算术》是我国古代经典数学著作，其中卷第八方程记录了这样一个问题：今有牛五、羊二，直金十两，直金八两，问牛羊各直金几何？意为：今有牛5头，共值金10两；牛2头，共值金8两．问牛羊每头各值金多少？如果设牛每头值金x两，羊每头值金y两，得（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：根据题意得：，
故选：A．
7．（3分）如图，在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），DF∥AB，分别交AB，F两点，下列条件能判定四边形AEDF是菱形的是（ ）
A．AD⊥BCB．AD为BC边上的中线
C．AD＝BDD．AD平分∠BAC
【解答】解：添加AD平分∠BAC可判定四边形AEDF是菱形，
理由如下：
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE∥AC，
∴∠DAC＝∠ADE，
∴∠DAB＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∴平行四边形AEDF是菱形，
故选：D．
8．（3分）已知△ABC．AC＞BC＞AB，∠C＝45°，用尺规在边AC上求作一点P．使∠PBC＝45°，下列判断正确的是（ ）
A．甲、乙的作图均正确
B．甲、乙的作图均不正确
C．只有甲的作图正确
D．只有乙的作图正确
【解答】解：对于甲同学的作图：
由作图痕迹得BP⊥AC，
∴∠BPC＝90°，
∵∠C＝45°，
∴∠PBC＝45°，
∴甲同学的作图正确；
对于乙同学的作图：
由作图痕迹得BP平分∠ABC，
∴∠BPC＝∠ABC，
∵AC＞BC＞AB，∠C＝45°，
∴∠A＞45°，
∴∠ABC＜90°，
∴∠PBC≠45°，
∴乙同学的作图不正确．
故选：C．
二.填空题（每题3分，共15分）
9．（3分）中国有四大国粹：京剧、武术、中医和书法．某校开设这四门课程供学生任意选修一门，则小丽同学恰好选修了中医的概率是 ．
【解答】解：∵某校开设京剧、武术，
∴小丽同学恰好选修了中医的概率是．
故答案为：．
10．（3分）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+6＝0的一个根是3，则3a+b＝ ﹣2 ．
【解答】解：把x＝3代入关于x的一元二次方程ax2+bx+7＝0得：9a+3b+6＝0，
7a+3b＝﹣6，
∴2a+b＝﹣2，
故答案为：﹣2．
11．（3分）如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E，∠AOD＝128°，则∠BDC＝ 24° ．
【解答】解：∵∠ABD＝∠AOD，
∴∠ABD＝64°，
∵∠E＝40°，
∴∠BDC＝∠ABD﹣∠E＝64°﹣40°＝24°．
故答案为：24°．
12．（3分）某校化学实验小组利用白醋和小苏打自制火箭发射小实验．如图，一枚自制小火箭从发射点A处发射，身高1.8米的小明在离发射点A距离6m的B处，小明测得此刻的仰角为62°，则这枚小火箭此时的高度AC是 （1.8+6tan62°） m．
【解答】解：过点D作DE⊥AC，垂足为E，
由题意得：DB⊥AB，CA⊥AB，
∴四边形ABDE是矩形，
∴BD＝AE＝1.8m，DE＝AB＝6m，
在Rt△CDE中，∠CDE＝62°，
∴CE＝DE•tan62°＝6tan62°m，
∴AC＝AE+CE＝（1.4+6tan62°）m，
∴这枚小火箭此时的高度AC是（1.3+6tan62°）m．
故答案为：（1.7+6tan62°）．
13．（3分）如图是一张矩形纸片ABCD，点E为AD中点，点F在BC上，点A，B的对应点分别为A′，A′E与BC相交于点G，B′A′的延长线过点C．若，则 2 ．
【解答】解：设BF＝2m，连接FG，
∵＝，
∴GC＝3m，
∵四边形ABCD是矩形，点E为AD中点，
∴∠A＝∠B＝∠D＝90°，AE＝DE，BC∥AD，
∴∠GFE＝∠AEF，
由折叠得A′B′＝AB，B′F＝BF＝2m，∠B′A′F＝∠A＝90°，
∴∠GFE＝∠GEF，A′B′＝DC，
∴GF＝GE，
∵∠CA′E＝∠D＝90°，CE＝CE，
∴Rt△CA′E≌Rt△CDE（HL），
∴A′C＝DC，∠A′EC＝∠DEC，
∵∠GCE＝∠DEC，
∴∠A′EC＝∠DEC，
∴GF＝GE＝GC＝7m，
∴AD＝BC＝BF+GF+GE＝2m+3m+8m＝8m，
∴A′E＝AE＝AB＝，
∴A′G＝A′E﹣GE＝2m﹣3m＝m，
∴AB＝DC＝A′C＝＝＝2m，
∴＝＝5，
故答案为：2．
三.解答题（共61分）
14．（5分）计算：．
【解答】解：原式＝2+2×﹣2
＝2+﹣8
＝3﹣．
15．（5分）解不等式组：．
【解答】解：，
解不等式①得x＞5，
解不等式②得x＜2，
所以不等式组的解集为1＜x＜6．
16．（5分）先化简，再求值：求：，其中a＝2．
【解答】解：
＝•
＝•
＝，
当a＝2时，原式＝＝．
17．（6分）如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，且三个顶点的坐标分别为A（﹣5，2）、B（﹣2，5）（1，3）．
（1）在图中画出将△ABC向右平移6个单位长度得到的△A1B1C1．
（2）在图中画出将△ABC绕点C逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2．
【解答】解：（1）如图1，△A1B5C1即为所求；
（2）如图2，△A3B2C2即为所求．
18．（7分）某校举行了“掌握新技术，走进数时代”信息技术应用大赛，将该校参加竞赛的学生成绩统计后（不完整）
“掌握新技术，走进数时代”信息技术应用大赛成绩频数分布统计表
请观察上面的图表，解答下列问题：
（1）统计表中m＝ 20 ；统计图中n＝ 32 ；B组的圆心角是 144 度．
（2）D组的4名学生中，有2名男生和2名女生，从D组随机抽取2名学生参加5G体验活动
【解答】解：（1）该校参加竞赛的学生总人数为：10÷20%＝50（人），
∴m＝50﹣（10+16+4）＝20，
∵，
∴n＝32，
B组的圆心角的度数为360°×＝144°，
故答案为：20，32；
（2）画树状图如下：
共有12 种等可能的情况，
∴至少1名女生被抽取参加7G体验活动的概率为．
19．（7分）根据以下素材，探索完成任务．
【解答】解：（1）设3月份购进x件T恤衫，则4月份进了这种T恤衫6x件，
由题意得：﹣＝10，
解得：x＝150，
经检验，x＝150是原分式方程的解，
则2x＝300，
答：8月份进了这种T恤衫300件；
（2）＝130（元），
故答案为：130元；
（2）每件T恤衫的进价为：39000÷300＝130（元），
由题意得：（180﹣130）a+（180×0.4﹣130）（150﹣a）＝（180﹣130）a+（180×0.9﹣130）b+（180×4.7﹣130）（150﹣a﹣b），
化简，得：b＝75﹣，
故答案为：b＝75﹣．
20．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过C作⊙O的切线交OD的延长线于E，交AB的延长线于F
（1）求证：EA与⊙O相切；
（2）若CE＝3，CF＝2，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵EF为切线，
∴∠OCE＝90°，
∵D为AC中点，
∴OE⊥AC，
∴EC＝EA，
∴∠ECA＝∠EAC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠OAC+∠EAC＝∠OCA+∠ECA＝90°，
即∠EAO＝90°，
∴EA为⊙O的切线；
（2）解：连接BC，
∵AB为直径，
∴∠BCA＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵EF为切线，
∴∠BCF+∠BCO＝90°，且∠BCO＝∠CBA，
∴∠BCF＝∠CAF，
∴△BCF∽△CAF，
∴，
由（1）知EA为⊙O切线，则EA＝EC＝3，
在Rt△AEF中，可求得AF＝4，
∴，解得BF＝7，
∴AB＝AF﹣BF＝3，
∴⊙O的半径为．
21．（9分）探究问题1：
（1）若二次函数y＝x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴有两个公共点，求m的取值范围．
（2）变式：若二次函数y＝x2﹣4x+m（m为常数）的图象与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个公共点，则m的取值范围是 m＜8 ．
等价转化：若二次函数 y＝x2﹣6x+1 （m为常数）的图象与一次函数y＝﹣m的图象有两个公共点，则m的取值范围是 m＜8 ．
探究问题2：
（3）若二次函数y＝x2﹣4x+m的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个公共点，求m的取值范围．
【解答】解：（1）由题意，∵y＝x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴有两个公共点，
∴Δ＝16﹣5m＞0．
∴m＜4．
（2）变式：由题意，联列方程组，
∴x2﹣4x+m＝8x﹣1．
∴x2﹣7x+m+1＝0．
∵两个图象有两个公共点，
∴Δ＝36﹣6（m+1）＞0．
∴m＜8．
由x2﹣4x+m＝5x﹣1，
∴x2﹣4x+1＝﹣m．
∴等价转化：若二次函数y＝x2﹣6x+1的图象与一次函数y＝﹣m的图象有两个公共点，此时m＜8．
故答案为：m＜8；y＝x2﹣6x+7；m＜8．
（3）由题意，令x2﹣6x+m＝2x﹣1，
∴x5﹣6x+1＝﹣m．
∴二次函数y＝x7﹣4x+m的图象在x≤4的部分与一次函数y＝7x﹣1的图象有两个公共点等价于二次函数y＝x2﹣3x+1的图象在x≤4的部分与一次函数y＝﹣m的图象有两个公共点．
由题意，y＝x2﹣6x+1＝（x﹣5）2﹣8（x≤6）．
作图如下．
∵二次函数y＝x2﹣4x+m的图象在x≤6的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个公共点，
结合图象，
∴﹣2＜﹣m≤﹣7．
∴7≤m＜8．
22．（9分）已知△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D为平面内一点．
（1）如图1，当D点在AB的中点时，连接CD，得到ED，若AB＝4；
（2）如图2，当D点在△ABC外部时，E、F分别是AB、BC的中点，将DE绕E点逆时针旋转90°得到EG，连接CG、DG、FG，请探究FD、FG、CG之间的数量关系并给出证明；
（3）如图3，当D在△ABC内部时，连接AD，得到ED，若ED经过BC中点F，G为CE的中点，连接GF并延长交AB于点H，请直接写出的值．
【解答】解：（1）过点E作EH⊥AB交BA的延长线于H，如图1，
∵点D是AB的中点，且AB＝4，
∴AD＝BD＝AB＝2，
在Rt△ACD中，∠CAD＝90°，
∴tan∠ACD＝＝＝，CD＝＝，
由旋转得：DE＝CD＝2，∠CDE＝90°，
即∠ADC+∠ADE＝90°，
∵∠ADC+∠ACD＝90°，
∴∠ADE＝∠ACD，
在△DEH和△CDA中，
，
∴△DEH≌△CDA（AAS），
∴EH＝AD＝2，DH＝AC＝4，
∴AH＝DH﹣AD＝3﹣2＝2，
在Rt△AEH中，AE＝＝，
∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝2+2+2；
（2）猜想：FD＝CG+FG
如图2，连接AF，过点F作FH⊥FG交AG于H，
∵△ABC是等腰直角三角形，E、F分别是AB，
∴AE＝EF，AE⊥EF，
∴∠AEG+∠FEG＝90°，
由旋转得ED＝EG，∠DEG＝90°，
∴∠FED+∠FEG＝90°，∠EDG＝∠EGD＝45°，
∴∠AEG＝∠FED，
在△EAG和△EFD中，
，
∴△EAG≌△EFD（SAS），
∴AG＝FD，∠AGE＝∠FDE，
∵∠FDG＝∠FGE，
∴∠AGE+∠FGE＝∠FDE+∠FDG＝∠EDG＝45°，
即∠AGF＝45°，
∵∠GFH＝90°，
∴∠FHG＝45°＝∠FGH，
∴△FGH是等腰直角三角形，
∴FH＝FG，HG＝，
∵∠AFH+∠CFH＝∠CFG+∠CFH＝90°，
∴∠AFH＝∠CFG，
在△AFH和△CFG中，
，
∴△AFH≌△CFG（SAS），
∴AH＝CG，
∵AG＝AH+HG，
∴FD＝CG+FG；
（3）设AE、GH交于点M，连接PC、BE，作PC中点Q、QG，
∵将AD绕点D逆时针旋转90°，得到ED，
∴△AED是等腰直角三角形，
∴＝，∠EAD＝45°，
∵△ABF是等腰直角三角形，
∴＝，∠BAF＝45°，
∴＝，
∵∠BAF﹣∠EAF＝∠EAD﹣∠EAF，即∠BAE＝∠FAD，
∴△BAE∽△FAD，
∴∠BEA＝∠FAD＝90°，
∵点P是AB的中点，
∴PE＝AB，
∵Q是PC的中点，G是EC的中点，
∴QG是△CPE的中位线，
∴QG＝PE＝，QG∥PE，
设AB＝AC＝4a，则QG＝a，
在Rt△PAC中，PC＝＝a，
AQ＝PC＝a＝a，
当A、Q、G三点共线时，
AG＝AQ+QG＝a+a＝（，取得最大值，
又∵QG∥PE，
∴AG∥PE，
∴∠PEA＝∠GAE，
∵PE＝PA，
∴∠PAE＝∠PEA＝∠EAG，
∵F是BC的中点，G是EC的中点，
∴FG是△BEC的中位线，
∴FG∥BE，
∴AE⊥HG，
∴△AHM≌△AGM（ASA），
∴HM＝GM，AH＝AG＝（，
∴＝＝＝﹣1，
∴＝＝＝×＝，
∴的值为．组别
成绩x（分）
人数（人）
A
60≤x＜70
10
B
70≤x＜80
m
C
80≤x＜90
16
D
90≤x＜100
4
素材1
某经销商3月份用18000元购进一批T恤衫售完后，4月份用39000元购进一批相同的T恤衫．
素材2
4月份的进购数量是3月份数量的2倍，但每件进价涨了10元．
素材3
4月份，经销商将这批T恤衫平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价180元．甲店按标价卖出a件以后；乙店同样按标价卖出a件，然后将b件按标价九折售出，结果利润与甲店相同．
问题解决
任务1
4月份进了这批T恤衫多少件？
任务2
每件T恤衫的进价为 ．
任务3
用含a的代数式表示b为 ．
组别
成绩x（分）
人数（人）
A
60≤x＜70
10
B
70≤x＜80
m
C
80≤x＜90
16
D
90≤x＜100
4
素材1
某经销商3月份用18000元购进一批T恤衫售完后，4月份用39000元购进一批相同的T恤衫．
素材2
4月份的进购数量是3月份数量的2倍，但每件进价涨了10元．
素材3
4月份，经销商将这批T恤衫平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价180元．甲店按标价卖出a件以后；乙店同样按标价卖出a件，然后将b件按标价九折售出，结果利润与甲店相同．
问题解决
任务1
4月份进了这批T恤衫多少件？
任务2
每件T恤衫的进价为 130元 ．
任务3
用含a的代数式表示b为 b＝75﹣ ．