2024年高考数学真题完全解读（全国甲卷文科）

这是一份2024年高考数学真题完全解读（全国甲卷文科），共21页。

相比于2023年全国甲卷或乙卷文科试题，在试题的设计和考点的分布来看，在试卷的结构和难易程度上几乎保持一致。试题设计上，选择题前8道比较基础，后四到稍微增加难度，填空题4道也是由易到难，解答题第一问都是比较基础，第二问稍微增加难度。整套试卷难度中等，更多的考查了学生在日常学习中积累和基础知识点的运用。2024年全国甲卷文科数学试题更强调基础性，注重基础知识应用，发挥基础学科的作用。下面的表格，统计了文科试卷考查的知识点，从表可以看出，试题所考查知识范围及思想方法90%以上都来源于教材主干知识。由此在下一轮复习备考中，我们更应该重视必备知识的系统梳理、基本能力的逐点夯实。
二、注重试题的情境创设，助力于创新人才的选拔，考查创新能力
新颖的创新问题的自然情境，也是未来高考数学的趋势。如第18题，考查了概率与统计，改变以往老套的命题思路，以当今社会热点“产品的优极品率”为命题背景，目的是引导学生关注社会、关注民生，用所学知识解决生活实践情境下的实际问题。体现了高考对于学生基础能力的考查，同时也更加突出了对于学生综合能力的考查。更加有利于国家选拔创新型人才。
新高考马上就要到来，作为最后一次老高考的洗礼，或多或少也是有些新高考的方向。“死记硬背、机械式刷题”已经不在适用于这次高考，反套路的影子已经深深扎根于这次试卷。基础题目起点降低，基础性很强，增加了试题的灵活性和开放性。减少一些繁琐无效的计算，增加了题型的创新型。如试卷中的10题，通过认真思考直线与圆相交的的弦长，运用点到直线的距离最大或最小的变，可以冷静分析出弦长的最值问题。不需要复杂计算，不需要复杂分类讨论，只需要认真分析直线与圆的基础性质。
试题回归教材，却不同于教材，引导教学思考
总体来说，今年的甲卷文科数学，结构完整，难度适中，回归教材。试卷上的每道题都来源于教材，却又不同于教材。立足于基础，注重能力与素养，试题的设计符合课程标准，没有偏题怪题。立足于基础知识、基础技能、基本的活动经验，关注到不同层次的学生，让不同层次的学生的水平都得到展示。不仅仅考查学生可以在教材中学习到的知识和技能，也要去考查学生学习知识的过程，考查学生问题意识与主动探索意识，也要考查学生在平时学习过程中形成过程的方法和习惯，以及学生独立思考，主动探索的能力。如试卷中的基础题目，都是课本上比较简单的知识点，需要学生基础牢固，考试中灵活应用即可。
立足教材，通观整张试卷，大部分题目的知识点都来源于课本或是课本的一些改变题目，或是定理知识点的应用。也在要求教师在平时的教学活动中，应该引导学生自主归纳整理教材知识，构建四通八达且流畅的知识网络结构图。要多章节，跨版块的进行比较。渗透、分类与整合、化归与转化、函数与方程、特殊与一帮，提升学生的综合能力。
加强知识点的纵横联系、考查综合能力
高考命题思路就在知识的交汇点命题，加强知识点的纵横联系。就是一道高考题目，会涉及多个知识点，不仅仅局限于某一个知识点。比如第10题，此题以直线与圆的位置关系作为背景，涉及了直线过定点的知识，弦长的计算等。这样的试题设计在强化基础、发挥选拔功能的同时对综合性、应用性、创新性的考查有个更高的要求，不仅体现了对理性思维、关键能力、数学核心素养的考查，更兼顾了“教考衔接”，服从了“双减”政策的落实，有利于基础教育提质增效，对中学数学教学起到了很好的导向作用。
1、加强对于主干知识点的考查，深化对于数学基础知识点考查。这是新高考数学的命题趋势，也是以后高考数学的命题趋势。主干知识肯定会重点考查，所以我们在高考备考中，需要把自己的精力重点放在对于数学主干知识点的学习和复习中。同时，在学习数学知识点的过程中要加强对于 数学基本概念与基本思想的理解。
2.加强思想方法考查，重视学生数学思维的培养。这是老高考和新高考的一个存在明显差异的地方。未来的数学高考趋势，会越来越倾向于学生思维的培养，课堂上我们学到知识点总是有限，在数学试卷中，往往也会出现老师没有讲过的知识点或者题型。所以说，必须重视对于 数学思维的培养以及基本的数学思维方法的考查，在学习数学的过程中，我们一定要考思考有没有其他的解法？多去接触一些难题，提升我们的数学思维。
3.新高考试卷结构调整，改编相对固化的试题布局，优化试题设计，减少学生反复刷题，机械训练的收益。题海战术、机械刷题的学习方法已将不在使用当下以及后续的新高考数学。因此，我们在复习数学知识点的时候，就要有意识的避免题海战术，采取正确的做题方式，弄清数学的基本原理和概念内容。
4.新高考数学加大了计算量、打乱了数学考试的难度顺序。近年虽然还是老高考，但已经有新高考的味道。所以一定要稳住自己的心态，不要情绪崩溃。
2024年普通高等学校招生全国统一考试
全国甲卷文科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【考查知识点与考试技巧】共轭复数+复数的运算
【分析】先根据共轭复数的定义写出，然后根据复数的乘法计算.
【详解】依题意得，，故.故选：D
2．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【考查知识点与考试技巧】集合的定义+集合的交集
【分析】根据集合的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算.
【详解】依题意得，对于集合中的元素，满足，
则可能的取值为，即，
于是.
故选：C
3. 若实数满足约束条件，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【考查知识点与考试技巧】线性规划
【分析】画出可行域后，利用的几何意义计算即可得.
【详解】实数满足，作出可行域如图：
由可得，即的几何意义为的截距的，
则该直线截距取最大值时，有最小值，
此时直线过点，联立，解得，即，
则.故选：D.
4．甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【考查知识点与考试技巧】古典概型
【分析】解法一：画出树状图，结合古典概型概率公式即可求解.
解法二：分类讨论甲乙的位置，结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解.
【详解】解法一：画出树状图，如图，
由树状图可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24种排法，
其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，
故所求概率.
解法二：当甲排在排尾，乙排第一位，丙有种排法，丁就种，共种；
当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有种排法，丁就种，共种；
于是甲排在排尾共种方法，同理乙排在排尾共种方法，于是共种排法符合题意；
基本事件总数显然是，
根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为.
故选：B
5．已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【考查知识点与考试技巧】等差数列
【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成和来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理.
【详解】方法一：利用等差数列的基本量
由，根据等差数列的求和公式，，
又.
故选：D
方法二：利用等差数列的性质
根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式，
，故.
故选：D
方法三：特殊值法
不妨取等差数列公差，则，则.
故选：D
6．已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A．4B．3C．2D．
【答案】C
【考查知识点与考试技巧】双曲线的定义+离心率
【分析】由焦点坐标可得焦距，结合双曲线定义计算可得，即可得离心率.
【详解】由题意，设、、，
则，，，
则，则.
故选：C.
7. 设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【考查知识点与考试技巧】导数函数求导+切线方程+三角形的面积
【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程，即可得其与坐标轴交点坐标，即可得其面积.
【详解】，
则，
即该切线方程为，即，
令，则，令，则，
故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积.
故选：A.
8. 函数在区间的大致图像为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【考查知识点与考试技巧】函数的图像与性质
【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D.
【详解】，
又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C，
又，
故可排除D.
故选：B.
【方法技巧】求解指定具体函数解析式图像的一般方法：一般采用排除法，按照以下步骤进行，
①、求函数的定义域；②求函数的奇偶性与单调性；③求函数的特殊点的函数值；④求导，求函数的极值点与最值点。
9. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【考查知识点与考试技巧】三角恒等变换+两角和的正切公式
【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解.
【详解】因为，所以，，
所以，故选：B.
【考情速递】突出考查三角公式 2023年新课标Ι卷第8题考查两角和与差的正弦公式及二倍角的余弦公式；本题考查两角和的正切公式及三角恒等变换。两题的共性是熟练掌握每个三角公式的结构特点。
10．已知直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】C
【考查知识点与考试技巧】定点+直线与圆的位置关系+弦长的计算
【分析】根据题意，由条件可得直线过定点，从而可得当时，的最小，结合勾股定理代入计算，即可求解.
【详解】因为直线，即，令，
则，所以直线过定点，设，
将圆化为标准式为，
所以圆心，半径，
当时，的最小，
此时.
故选：C
11. 设是两个平面，是两条直线，且.下列四个命题：
①若，则或 ②若，则
③若，且，则 ④若与和所成的角相等，则
其中所有真命题的编号是（ ）
A. ①③B. ②④C. ①②③D. ①③④
【答案】A
【考查知识点与考试技巧】空间中线线、线面、面面的位置关系
【分析】根据线面平行判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③.
【详解】对①，当，因为，，则，
当，因为，，则，
当既不在也不在内，因为，，则且，故①正确；
对②，若，则与不一定垂直，故②错误；
对③，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线，
因为，过直线的平面与平面的交线为直线，则根据线面平行的性质定理知，
同理可得，则，因为平面，平面，则平面，
因为平面，，则，又因为，则，故③正确；
对④，若与和所成的角相等，如果，则，故④错误；
综上只有①③正确，
故选：A.
12. 在中内角所对边分别为，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【考查知识点与考试技巧】正弦定理+余弦定理+三角恒等变换+求三角函数式的值
【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，再利用正弦定理得到的值，最后代入计算即可.
【详解】因为，则由正弦定理得.
由余弦定理可得:，
即:，根据正弦定理得，
所以，
因为为三角形内角，则，则.
故选：C.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．函数在上的最大值是 ．
【答案】2
【考查知识点与考试技巧】三角恒等变换+三角函数的值域
【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.
【详解】，当时，，
当时，即时，.
故答案为：2
14．已知圆台甲、乙的上底面半径均为,下底面半径均为，圆台的母线长分别为,，则圆台甲与乙的体积之比为 ．
【答案】
【考查知识点与考试技巧】圆台的结构特征（求高）+圆台的体积公式
【分析】先根据已知条件和圆台结构特征分别求出两圆台的高，再根据圆台的体积公式直接代入计算即可得解.
【详解】由题可得两个圆台的高分别为，
，
所以.
故答案为：.
15. 已知，，则______．
【答案】64
【考查知识点与考试技巧】对数的运算性质（换底公式）+二次方程求解
【分析】将利用换底公式转化成来表示即可求解.
【详解】由题，整理得，
或，又，
所以，故
故答案为：64.
16．（2024·全国·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ．
【答案】
【考查知识点与考试技巧】函数与方程+构造函数+导数+数形结合
【分析】将函数转化为方程，令，分离参数，构造新函数结合导数求得单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.
【详解】令，即，令
则，令得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，，
因为曲线与在上有两个不同的交点，
所以等价于与有两个交点，所以.
故答案为：
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)(2)
【考查知识点与考试技巧】退位法可求的通项公式+等比数列的求和
【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项；
（2）利用分组求和法即可求.
【详解】（1）因为,故，
所以即故等比数列的公比为，
故，故，故.
（2）由等比数列求和公式得，
所以数列的前n项和
.
18. 某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：
（1）填写如下列联表：
能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？
（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率，设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（）
附：
【答案】（1）答案见详解
（2）答案见详解
【考查知识点与考试技巧】独立性检验+用频率估计概率+统计的新定义
【分析】（1）根据题中数据完善列联表，计算，并与临界值对比分析；
（2）用频率估计概率可得，根据题意计算，结合题意分析判断.
【小问1详解】
根据题意可得列联表：
可得，
因为，
所以有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异.
【小问2详解】
由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为，
用频率估计概率可得，
又因为升级改造前该工厂产品的优级品率，
则，
可知，
所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.
【考情速递】第一问独立性检测是高考的常考题型，第二问来源于2023年高考全国乙卷第17题的改编，用频率估计概率，计算几个数据的关键数据，来剖析和探索统计的新定义。
19．如图，，，，,为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求点到的距离.
【答案】(1)证明见详解；(2)
【考查知识点与考试技巧】线面平行的性质+等体积法
【分析】（1）结合已知易证四边形为平行四边形，可证，进而得证；
（2）先证明平面，结合等体积法即可求解.
【详解】（1）由题意得，，且，
所以四边形是平行四边形，所以，
又平面平面，
所以平面；
（2）取的中点，连接，，因为，且，
所以四边形是平行四边形，所以，
又，故是等腰三角形，同理是等腰三角形，
可得，
又，所以，故.
又平面，所以平面，
易知.
在中，，
所以.
设点到平面的距离为，由，
得，得，
故点到平面的距离为.
20．（2024·全国·高考真题）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)当时，证明：当时，恒成立．
【答案】(1)见解析；(2)见解析
【考查知识点与考试技巧】利用导数研究函数的单调区间、极值点+不等式的证明
【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；
（2）先根据题设条件将问题可转化成证明当时，即可.
【详解】（1）定义域为，
当时，，故在上单调递减；
当时，时，，单调递增，
当时，，单调递减.
综上所述，当时，的单调递减区间为；
时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2），且时，，
令，下证即可.
，再令，则，
显然在上递增，则，
即在上递增，
故，即在上单调递增，
故，问题得证
21．（2024·全国·高考真题）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【考查知识点与考试技巧】椭圆的定义、通径与方程+直线与椭圆的位置关系
【分析】（1）设，根据的坐标及轴可求基本量，故可求椭圆方程.
（2）设，，，联立直线方程和椭圆方程，用的坐标表示，结合韦达定理化简前者可得，故可证轴.
【详解】（1）设，由题设有且，故，故，故，
故椭圆方程为.
（2）直线的斜率必定存在，设，，，
由可得，
故，故，
又，
而，故直线，故，
所以
，
故，即轴.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）写出的直角坐标方程；
（2）设直线l：（为参数），若与l相交于两点，若，求的值.
【答案】（1）
（2）
【考查知识点与考试技巧】极坐标方程与直角坐标方程的互化+直线参数方程的几何意义
【分析】（1）根据可得的直角方程.
（2）将直线的新的参数方程代入的直角方程，
法1：结合参数的几何意义可得关于的方程，从而可求参数的值；
法2：将直线的直角方程与曲线的直角方程联立，结合弦长公式可求的值.
【小问1详解】
由，将代入，
故可得，两边平方后可得曲线的直角坐标方程为.
【小问2详解】
对于直线的参数方程消去参数，得直线的普通方程为.
法1：直线的斜率为，故倾斜角为，
故直线的参数方程可设为，.
将其代入中得
设两点对应的参数分别为，则，
且，故，
，解得.
法2：联立，得，
，解得，
设,，
则，
解得
[选修4-5：不等式选讲]
23. 实数满足．
（1）证明：；
（2）证明：．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【考查知识点与考试技巧】基本不等式的解法+绝对值不等式的解法
【分析】（1）直接利用即可证明.
（2）根据绝对值不等式并结合（1）中结论即可证明.
【小问1详解】
因为，
当时等号成立，则，
因为，所以;
【小问2详解】
2024年高考数学真题完全解读（全国甲卷文科）
适用省份
陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川
题型
题号
分值
考查内容
考查点
选择题
1
5分
复数
共轭复数、复数的基本计算
2
5分
集合
集合的定义、补集的计算
3
5分
线性规划
求最值
4
5分
古典概型
古典概型的计算方法
5
5分
等差数列
等差数列基本量的，等差中项与前n项的和
6
5分
圆锥曲线
双曲线的定义，离心率的计算
7
5分
函数与导数
导数的几何意义，切线方程，直线方程
8
5分
函数图像
复合函数的奇偶性，特殊值
9
5分
三角恒等变换
弦化切，两角和的正切公式
10
5分
直线与圆
直线过定点、垂径定理、最短弦
11
5分
立体几何
线面、面面的平行于垂直
12
5分
解三角形
正弦定理与余弦定理
填空题
13
5分
三角函数
三角恒等变换、三角函数的值域
14
5分
立体几何
圆台的结构特征与圆台的体积公式
15
5分
函数
对数的基本运算、对数的换底公式
16
5分
函数与方程
构造函数、导数与数形结合
解答题
17
12分
数列
退位法求通项公式、等比数列求和
18
12分
概率与统计
事件的独立性检测
19
12分
立体几何
线面平行的证明、等体积法
20
12分
函数与导数
极值、证明不等式、恒成立问题
21
12分
解析几何
椭圆的通径、直线与椭圆的位置关系
22
10分
极坐标与参数方程
极坐标与参数方程的互化、弦长
23
10分
不等式选讲
基本不等式、绝对值不等式
优级品
合格品
不合格品
总计
甲车间
26
24
0
50
乙车间
70
28
2
100
总计
96
52
2
150
优级品
非优级品
甲车间
乙车间
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
优级品
非优级品
甲车间
26
24
乙车间
70
30