云南省昆明市第一中学嵩明学校2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题

这是一份云南省昆明市第一中学嵩明学校2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题，共8页。试卷主要包含了本卷主要考查内容，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．
5．本卷主要考查内容：必修第一册，必修第二册，选择必修第一册，选择性必修第二册．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，若为纯虚数，则（ ）
A．B．2C．1D．
3．抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
4．已知等差数列的公差，前项和为，，则（ ）
A．6B．C．D．8
5．已知向量，，且，则实数（ ）
A．1或4B．1或－4C．或1D．或1
6．如图是函数的导函数的函数图象，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．函数的减区间为，增区间为
B．函数在点和点处的切线斜率相等
C．
D．函数只有一个极小值点，没有极大值点
7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到 达目的地，请问最后一天走的路程为（ ）
A．15里B．12里C．9里D．6里
8．若函数既有极大值，也有极小值，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．斜率均不存在的两条直线可能重合
B．若直线，则这两条直线的斜率乘积为－1
C．若两条直线的斜率乘积为－1，则这两条直线垂直
D．若直线的斜率不存在，直线的斜率为0，则
10．已知数列为等比数列，则下列结论正确的是（ ）
A．数列为等比数列B．数列为等比数列
C．数列为等比数列D．数列为等比数列
11．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．在处的切线方程为B．函数的单调递减区间为
C．的极小值为D．方程有2个不同的解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．设命题：，，则命题的否定为______．
13．在等比数列中，前项和，则实数的值为______．
14．从2，4，5，7这4个数中一次随机抽取两个数，则所取两个数之和为9的概率是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知等差数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求的值．
16．（本小题满分15分）
设．
（1）求函数的单调递增、递减区间；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．
17．（本小题满分15分）
如图，在四棱雉中，平面，四边形为正方形，，，分别是，的中点．
（1）证明：；
（2）求平面与平面的夹角．
18．（本小题满分17分）
已知函数．
（1）若在处的切线方程为，求实数，的值；
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围．
19．（本小题满分17分）
在平面直角坐标系中，点到点与到直线的距离之比为，记点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）若点是圆上的一点（不在坐标轴上），过点作曲线的两条切线，切点分别为，，记直线，的斜率分别为，，且，求直线的方程．
2025届昆一中嵩明学校高二3月份月考・数学
参考答案、提示及评分细则
1．B 由，解得，所以，所以，故选B．
2．B ，若为纯虚数，则，故选B．
3．A 因为抛物线的标准方程为，所以焦点坐标为，故选A．
4．C ．
5．B 由，有，解得或－4．
6．B由函数图象可知，函数的减区间为，增区间为，，，．
7．D由题意可知，此人每天所走路程构成了公比的等比数列，有，解得，．
8．A 由，有，解得或．
9．ACD
10．BD 当时，；当时，．
11．ACD ，，因为，所以在处的切线方程为，故正确；
令，即，解得，因为，
所以的单调递减区间为，故B错误；
令，解得，所以的单调递增区间为，所以在处取得极小值，极小值为，故C正确；
方程，即，因为与的图象有2个交点，所以方程有2个解，故D正确．故选ACD．
12．， 因为命题：，是特称量词命题，所以其否定是全程量词命题，即为，．
13． 由，当时，，有，得．
14． 从2，4，5，7这4个数中一次随机抽取两个数的所有基本事件有，，，，，共6个，所取2个数之和为9的基本事件有，共2个，故所求概率．
15．解：（1）设数列的公差为，则，故．
（2），
令，解得或（舍去），
∴．
16．解：（1），令，
即，解得或，
所以当时，，为增函数；
当时，，为减函数；
当时，，为增函数．
所以的递增区间为和；
的递减区间为．
（2）当时，恒成立，只需使，的最大值小于即可．
由（1）可知，，
所以在的最大值为，所以．
所以实数的取值范围为．
17．解：（1）∵平面，∴，
又，，为平面上的相交直线，
∴平面，∴，
∵等腰三角形中有，∴平面，
∵平面，∴．
（2）易知，，两两垂直，故分别以其所在直线为坐标轴建系，如图所示，则，，，，，，
可得平面的一个法向量，
平面的一个法向量，∴，
∴平面与平面的夹角为．
18．解：（1）因为，所以，所以，解得．
所以在处的切线方程为，当时，，所以切点为，
所以，解得；
（2），令，解得或，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又，，，，所以的最小值为，
所以，解得，即实数的取值范围是．
19．解：（1）由题意知，
经化简得，即的方程为；
（2）设，所以．
设过点与相切的直线方程为，
由
得，
所以，
整理得，
所以，是方程的两个根，
，∵，∴，
直线的斜率，
∴直线的方程为．