初中数学苏科版九年级上册2.4 圆周角课后练习题

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考察题型一 圆内接四边形的性质1
1．圆内接四边形，，，的度数之比为，的度数为
A．B．C．D．
【详解】解：设、、的度数分别为、、，
四边形为圆内接四边形，
，解得：，
，
．
故本题选：．
2．如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是
A．B．C．D．
【解答】解：四边形为的内接四边形，
，
，，
，
，解得：．
故选：．
3．如图，在的内接四边形中，，，若点在上，则的值为
A．B．C．D．
【详解】解：在的内接四边形中，，
，
，
，
，
，
四边形为圆的内接四边形，
，
．
故本题选：．
4．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连结，．若，则为
A．B．C．D．
【详解】解：四边形是的内接四边形，
，
，
，
是的直径，
，
．
故本题选：．
5．如图，点，，，，在上，所对的圆心角为，则等于
A．B．C．D．
【详解】解：如图，连接，
四边形是的内接四边形，
，
所对的圆心角为，
，
．
故本题选：．
6．如图，四边形内接于，，，则的半径为
A．4B．C．D．
【详解】解：如图，连接，，
四边形内接于，，
，
，
由勾股定理得：，
，，
，
，
，
的半径为．
故本题选：．
7．如图，点，，，在上．若，则 ．
【详解】解：如图，连接，
，，
，
，
，
．
故本题答案为：．
8．如图，点，，，四点均在上，，，则的度数为 ．
【详解】解：如图，连接，
，，
，
，，
，
，
四边形是的内接四边形，
，
．
故本题答案为：．
9．如图，点、、、、都是上的点，，，则的度数为
A．B．C．D．
【详解】解：如图，连接、，
点、、、都是上的点，
，
，
，
，
点、、、都是上的点，
，
．
故本题选：．
10．如图，在的内接四边形中，，在弧上一点．
（1）若，求的度数；
（2）若，求证：为等边三角形．
【详解】解：（1）四边形内接于，
，
，
，
，
，
四边形内接于，
，
；
（2）因为四边形是的内接四边形，
所以，
因为四边形是的内接四边形，
所以，
又因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以为等边三角形．
考察题型二 圆内接四边形的性质2
1．如图，四边形内接于，是延长线上一点，若，则的度数是 ．
【详解】解：，
，
．
故本题答案为：105．
2．如图，是内接四边形的一个外角，若，那么的度数为
A．B．C．D．
【详解】解：，，
，
，
，
．
故本题选：．
3．如图，四边形内接于，它的3个外角，，的度数之比为，则
．
【详解】解：如图，延长到，
四边形内接于，
，
，，
又，，的度数之比为，
，，的度数之比为，
又，
，，，的度数之比为，
，，，的度数之比为，
，
，
．
故本题答案为：72．
4．如图，四边形是的内接四边形，的延长线与的延长线交于点，且．
（1）求证：；
（2）连接，交于点，若，求的度数．
【详解】证明：（1）四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
，
；
（2），
是等腰三角形，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
．
5．定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
如图1，是中的遥望角，如图2，四边形内接于，，四边形的外角平分线交于点，连接并延长交的延长线于点．
求证：是中的遥望角．
【详解】证明：如图2，延长到点，
四边形内接于，
，
，
，
平分，
，
，
，
是的平分线，
，
，
，，
，
，
是的外角平分线，
是中的遥望角．
考察题型三 四点共圆模型
1．定点、的距离是5，以点为圆心，一定的长为半径画圆，过点作的两条切线，切点分别是、，则线段的最大值是 ．
【详解】解：如图，
、是的切线，
，
四边形对角互补，
点、在以为直径的圆上，
是这个圆的弦，
当时，的值最大（直径是圆中最长的弦）．
故本题答案为5．
2．在四边形中，，，，则的最大值 ．
【详解】解：如图，
，，
，
，，，四点共圆，
当是直径时，达到最大值，
连接，，
，，
是等边三角形，
，
，，
，
，
和都是等边三角形，
，
．
故本题答案为：6．
3．如图，，，点、分别是线段、射线上的动点，以为斜边向上作等腰，，连接，则的最小值为 ．
【详解】解：如图，连接并延长，
，
，，
，
，，，四点共圆，
为等腰直角三角形，
，
，
，
点的轨迹为的平分线上，
垂线段最短，
当时，取最小值，
的最小值为．
故本题答案为：．
4．综合与实践
“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
提出问题：
如图1所示，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上．
探究展示：
如图2所示，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，，则（依据1）
点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
点，在点，，所确定的上（依据2）
点，，，四点在同一个圆上
反思归纳：
（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据 ；
依据 ．
（2）如图3所示，在四边形中，，，则的度数为 ．
拓展探究：
（3）如图4所示，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，．求证：，，，四点共圆．
【详解】（1）解：依据1：圆内接四边形对角互补；
依据2：过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；
故本题答案为：圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；
（2）解：，
点，，，四点在同一个圆上，
，
，
，
故本题答案为：；
（3）证明：，
，
点与点关于的对称，
，，
，，
，
，
，，，四点共圆．
1．如图，中，，，点为的外心，分别以，为边向形外作等边三角形与等边三角形，连接，交于点，则线段的最小值等于 ．
【详解】解：与是等边三角形，
，
，
在与中，
，
，
，
，
在以为弦且的圆上，
如图，连接，，，，，当在与的交点时，的值最小，
，，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故本题答案为：．
2．如图，在的内接四边形中，，是四边形的一个外角．
（1）若，则 ；
（2）过点作于，判断、、之间的数量关系并证明；
（3）若、，求的值．
【详解】解：（1）四边形是圆的内接四边形，
，
是四边形的一个外角，
，
，
，
弧所对的圆周角分别为、，
，
，
，
故本题答案为：75；
（2）如图，过点作于点，
，
，
，，，
，
，，
，
又，，
，
，
，
即；
（3）在中，，
在中，，
，，
，
，，
．
3．如图，，，点在内部且，则的最大值
A．B．8C．10D．
【详解】解：如图，连接，，在上取点使，
，，
，
，，，四点共圆，
，，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
当最大时，最大，
此时点在的中点处，
，
的最大值，
最大值为．
故本题选：．
4．以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？
Ⅰ．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆（图1、2）；
Ⅱ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆（图3）；
Ⅲ．若线段同侧两点与线段两端，点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图4）．
（1）在图1、2中，取的中点，根据 得：，即，，，共圆；
（2）在图3中，画经过点，，（图5）．假设点落在外，交于点，连接，可得： ，所以 ，得出矛盾；同理点也不会落在内，即，，，共圆．结论Ⅲ同理可证．
（3）利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点．
已知：如图6，锐角三角形的高，相交于点，射线交于点．
求证：是的高．（补全以下证明框图，并在图上作必要标注）
（4）如图7，点是外部一点，过作直线，，的垂线，垂足分别为，，，且点，，在同一条直线上．求证：点在的外接圆上．
【详解】解：（1）在图1、2中，取的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得：，即，，，共圆，
故本题答案为：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（2）在图3中，画经过点，，（图5）．假设点落在外，交于点，连接，可得：，，得出矛盾；同理点也不会落在内，即，，，共圆．结论Ⅲ同理可证．
故本题答案为：，；
（3）如图6，连接，由点、、、四点共圆得：，
由点、、、四点共圆得：，
，
，
，
，
，
为的边上的高；
（4）如图7，连接和，
由点，，，四点共圆可得：，
由点，，，四点共圆可得：，
，
，
，，
，
点，，，四点共圆，即点在的外接圆上．