安徽省芜湖市第十二中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学试卷

这是一份安徽省芜湖市第十二中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学试卷，共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知向量在基底下的坐标是，则在基底下的坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
3．若方程表示焦点在x轴的椭圆，则t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．圆与直线的交点个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．与k的取值有关
5．已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，E是PD的中点，则可以表示为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知，若坐标原点在动直线上的投影为点N，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．H是二面角棱上的一点，在平面上引射线HM，在平面上引射线HN，若，，那么二面角的大小为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题（本大题共四小题，每小题5分，共20分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．若椭圆绕其对称中心旋转，所得新椭圆的两个顶点恰好是旋转前椭圆的两个焦点，就称该椭圆为“对称椭圆”．下列是“对称椭圆”的方程有（ ）
A．B．C．D．
10．已知直线，动直线，则下列结论错误的有（ ）
A．不存在k，使得的倾斜角为B．存在实数k，使得与没有公共点
C．对任意的k，与都不重合D．对任意的k，与都不垂直
11．四棱锥，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PDC是等腰直角三角形，且面面ABCD，E为PC的中点，则（ ）
A．异面直线PA与DE所成角的余弦值为B．
C．AB与DE是异面直线D．面PAD与面PBC所成二面角的平面角是锐角
12．设圆，则下列命题正确的是（ ）
A．所有圆的面积都是B．存在，使得圆C过点
C．经过点的圆C有且只有一个D．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
三、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）
13．已知曲线，则的取值范围是__________．
14．在空间直角坐标系中，已知，，则的最小值是__________．
15．若直线始终平分圆，则的最小值为__________．
16．已知椭圆的左右顶点分别为，，上下顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则椭圆C的离心率是__________．
四、解答题（本大题共4小题，其中17，18题每题10分，19，20题每题12分，共44分）
17．在平面直角坐标系中，动点到的距离是它到的距离的倍．
（1）求点M的轨迹方程C；
（2）若在C内有一点，则是否存在弦PQ被点G平分？若存在，求出的面积的最大值；若不存在，请说明理由．
18．已知直线，圆．
（1）证明：直线与圆总有两个交点，与m的取值无关．
（2）是否存在m，使得直线l被圆C截得的弦长为，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
19．如图所示，已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，，，，E，F分别是AB，BC的中点．
（1）求点D到平面PEF的距离；
（2）求直线AC到平面PEF的距离．
20．四棱锥中，底面ABCD是长方形，面ABCD，且，E是PC的中点，过D点作交PB于点F，连接EF，DE．
（1）证明：面DEF；
（2）若，求平面DEF与平面ABCD所成二面角的大小．
芜湖市第十二中学2021—2022学年第一学期高二年级
数学期中考试答案
单项选择题：1—5ADCDB6—8CBA
多项选择题：9．AC10．ABC11．ABCD12．AD
填空题：13．略14．15．16．
解答题
17．（1），，，
，轨迹C是以为圆心，为半径的圆．
（2），，
当G，C，M三点共线，且C在GM中间位置时，面积最大，
面积最大为．
18．（1），
，，，故直线恒过．
又，在圆内，直线与圆总有两个交点，与m的取值无关．
（2）设圆心到直线l的距离为d，则，．
①若直线l的斜率存在，即，则有，．
②若直线l的斜率不存在，即，则，不满足条件，舍
综上所述，．
19．（1），，．
又，，面ABCD，
故建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，，，
，，，
设为面PEF的法向量，
令，则，，，，
设点D到平面PEF的距离为d，则．
（2）设点AC到平面PEF的距离为，，则．
20．（1）以D为原点，，，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系．
设，，则，，，，，
，，于是，．
又，，面DEF．
（2），，
面ABCD，是面ABCD的一个法向量，
又面DEF，是面DEF的一个法向量．
设面DEF与面ABCD所成二面角的平面角为，，
由图可知面DEF与面ABCD所成二面角的平面角为锐二面角，．