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高考数学一轮复习全套word讲义专题33利用条件概率公式求解条件概率(原卷版+解析)
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这是一份高考数学一轮复习全套word讲义专题33利用条件概率公式求解条件概率(原卷版+解析)，共39页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．袋中有5个球（3个白球，2个黑球）现每次取一球，无放回抽取2次，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为（ ）
A．3/5B．3/4C．1/2D．3/10
2．有歌唱道：“江西是个好地方，山清水秀好风光.”现有甲乙两位游客慕名来到江西旅游，分别准备从庐山、三清山、龙虎山和明月山个著名旅游景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件：甲和乙至少一人选择庐山，事件：甲和乙选择的景点不同，则条件概率（ ）
A．B．C．D．
3．长春气象台统计，7月15日净月区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设事件为下雨，事件为刮风，那么（ ）
A．B．C．D．
4．根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为.则在下雨条件下吹东风的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．甲、乙、丙、丁四位同学计划去4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件=“四位同学去的景点不相同”，事件=“甲同学独自去一个景点”，则（ ）
A．B． C．D．
6．袋中有大小完全相同的2个白球和3个黄球，逐个不放回的摸出两球，设“第一次摸得白球”为事件，“摸得的两球同色”为事件，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知6个高尔夫球中有2个不合格，每次任取1个，不放回地取两次．在第一次取到合格高尔夫球的条件下，第二次取到不合格高尔夫球的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．袋中装有形状和大小完全相同的4个黑球，3个白球，从中不放回地依次随机摸取两球，在第一次摸到了黑球的条件下，第二次摸到白球的概率是( )
A．B．C．D．
9．已知，，则等于（ ）
A．B．C．D．
10．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件.在第一次摸出次品的条件下，第二次摸到正品的概率是（ ）
A．B．C．D．
11．一袋中共有10个大小相同的黑球和白球，若从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球的概率为，现从中不放回地取球，每次取1球，取2次，若已知第2次取得白球的条件下，则第1次取得黑球的概率为（ ）
A．B．C．D．
12．“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，阶幻方（，）是由前个正整数组成的一个阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15.现从如图所示的3阶幻方中任取3个不同的数，记“取到的3个数和为15”为事件，“取到的3个数可以构成一个等差数列”为事件，则（ ）
A．B．C．D．
13．2020年疫情的到来给我们生活学习等各方面带来种种困难.为了顺利迎接高考，省里制定了周密的毕业年级复学计划.为了确保安全开学，全省组织毕业年级学生进行核酸检测的筛查.学生先到医务室进行咽拭子检验，检验呈阳性者需到防疫部门做进一步检测.已知随机抽一人检验呈阳性的概率为0.2%，且每个人检验是否呈阳性相互独立，若该疾病患病率为0.1%，且患病者检验呈阳性的概率为99%.若某人检验呈阳性，则他确实患病的概率（ ）
A．0.99%B．99%C．49.5%.D．36.5%
14．已知，，则等于（ ）
A．B．C．D．
15．端午节是我国的传统节日，每逢端午家家户户都要吃粽子，现有5个粽子，其中3个咸蛋黄馅2个豆沙馅，随机取出2个，事件“取到的2个为同一种馅”，事件“取到的2个都是豆沙馅”，则（ ）
A．B．C．D．
16．从1，2，3，4，5，6，7中任取两个不同的数，事件为“取到的两个数的和为偶数”，事件为“取到的两个数均为偶数”，则（ ）
A．B．C．D．
17．如下图，四边形是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形内”，用B表示事件“豆子落在扇形 （阴影部分）内”，则（ ）
A．B．C．D．
18．某学校高三（）班要从名班干部（其中名男生，名女生）中选取人参加学校优秀班干部评选，事件男生甲被选中，事件有两名女生被选中，则（ ）
A．B．C．D．
19．从标有数字1，2，3，4，5的五张卡片中，依次抽出2张（取后不放回），则在第一次抽到卡片是偶数的情况下，第二次抽到卡片是奇数的概率为（ ）
A．B．C．D．
20．某次校园活动中，组织者给到场的前1000名同学分发编号的号码纸，每人一张，活动结束时公布获奖规则.获奖规则为：①号码的三位数字之和是7的倍数者可获得纪念品；②号码的三位数字全是奇数者可获得纪念品.已知某同学的号码满足获得纪念品的条件，则他同时可以获得纪念品的概率是（ ）
A．0.016B．0.032C．0.064D．0.128
21．假定男女出生率相等，某个家庭有两个小孩，已知该家庭至少有一个女孩，则两个小孩都是女孩的概率是（ ）
A．B．C．D．
22．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.8，在目标被击中的条件下，甲、乙同时击中目标的概率为（ ）
A．B．C．D．
23．如图，在边长为1的正方形内任取一点，用表示事件“点恰好取自曲线与直线及轴所围成的曲边梯形内”，表示事件“点恰好取自阴影部分内”，则（ ）
A．B．C．D．
24．.三台中学实验学校现有三门选修课，甲、乙、丙三人每人只选修一门，设事件A为“三人选修的课程都不同”，B为“甲独自选修一门”，则概率P(A|B)等于（ ）
A．B．C．D．
25．掷骰子2次，每个结果以记之，其中，，分别表示第一颗，第二颗骰子的点数，设，，则（ ）
A．B．C．D．
26．已知某同学在高二期末考试中，A和B两道选择题同时答对的概率为，在A题答对的情况下，B题也答对的概率为，则A题答对的概率为( )
A．B．C．D．
27．设，为两个事件，若事件和同时发生的概率为，在事件发生的条件下，事件发生的概率为，则事件发生的概率为（ ）
A．B．C．D．
28．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件{两次的点数均为偶数}，{两次的点数之和小于8}，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
29．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以，，表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．事件与事件相互独立D．、、两两互斥
30．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：①从中任取3球，恰有一个白球的概率是；②从中有放回的取球6次，每次任取一球，恰好有两次白球的概率为；③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为；④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为. 则其中正确命题的序号是（ ）
A．①B．②C．③D．④
31．下列有关说法正确的是（ ）
A．的展开式中含项的二项式系数为20；
B．事件为必然事件，则事件、是互为对立事件；
C．设随机变量服从正态分布，若，则与的值分别为，；
D．甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点各不相同”，事件“甲独自去一个景点”，则.
三、填空题
32．伟大出自平凡，英雄来自人民.在疫情防控一线，北京某大学学生会自发从学生会6名男生和8名女生骨干成员中选出2人作为队长率领他们加入武汉社区服务队，用表示事件“抽到的2名队长性别相同”，表示事件“抽到的2名队长都是男生”，则______.
33．袋中有5个大小完全相同的球，其中2个黑球，3个白球.不放回地连续取两次，则已知在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为__________.
34．从装有个红球个白球的袋子中先后取个球，取后不放回，在第一次取到红球的条件下，第二次取到红球的概率为______.
35．某校组织甲、乙、丙、丁、戊、己等6名学生参加演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为__________．
36．已知，，则__________.
37．某盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为_______．
38．据统计，连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0.055，连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为0.19.现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为______.
39．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6．已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率为______________．
40．为了营造勤奋读书、努力学习、奋发向上的文化氛围，提高学生的阅读兴趣，某校开展了“朗读者”闯关活动，各选手在第一轮要进行诗词朗读的比拼，第二轮进行诗词背诵的比拼.已知某学生通过第一关的概率为，在已经通过第一关的前提下通过第二关的概率为，则该同学两关均通过的概率为______.
41．设，，则等于________．
42．已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率_______
43．近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为______.
四、解答题
44．田忌赛马的故事出自《史记》中的《孙子吴起列传》.齐国的大将田忌很喜欢赛马，有一回，他和齐威王约定，要进行一场比赛.双方各自有三匹马，马都可以分为上，中，下三等.上等马都比中等马强，中等马都比下等马强，但是齐威王每个等级的马都比田忌相应等级的马强一些，比赛共三局，每局双方分别各派一匹马出场，且每匹马只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛胜利，在比赛之前，双方都不知道对方马的出场顺序.
（1）求在第一局比赛中田忌胜利的概率：
（2）若第一局齐威王派出场的是上等马，而田忌派出场的是下等马，求本场比赛田忌胜利的概率；
（3）写出在一场比赛中田忌胜利的概率（直接写出结果）.
45．2020年初，武汉出现新型冠状病毒肺炎疫情，并快速席卷我国其他地区，口罩成了重要的防疫物资.某口罩生产厂不断加大投入，高速生产，现对其2月1日~2月9日连续9天的日生产量（单位：十万只，）数据作了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量的值：
注：图中日期代码1~9分别对应2月1日~2月9日；表中，.
（1）从9个样本点中任意选取2个，在2个点的日生产量都不高于三十万只的条件下，求2个都高于二十万只的概率；
（2）由散点图分析，样本点都集中在曲线的附近，请求y关于t的方程，并估计该厂从什么时候开始日生产量超过四十万只.
参考公式：回归直线方程是，，.
参考数据：.
2.72
19
139.09
1095
专题33 利用条件概率公式求解条件概率
一、单选题
1．袋中有5个球（3个白球，2个黑球）现每次取一球，无放回抽取2次，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为（ ）
A．3/5B．3/4C．1/2D．3/10
答案:C
分析：
先记事件A为“第一次取到白球”，事件B为“第二次取到白球”，则事件AB为“两次都取到白球”，根据题意得到与，再由条件概率，即可求出结果.
【详解】
记事件A为“第一次取到白球”，事件B为“第二次取到白球”，
则事件AB为“两次都取到白球”，
依题意知，，
所以，在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是．
故选：C.
【点睛】
本题主要考查条件概率与独立事件，熟记条件概率的计算公式即可，属于常考题型.
2．有歌唱道：“江西是个好地方，山清水秀好风光.”现有甲乙两位游客慕名来到江西旅游，分别准备从庐山、三清山、龙虎山和明月山个著名旅游景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件：甲和乙至少一人选择庐山，事件：甲和乙选择的景点不同，则条件概率（ ）
A．B．C．D．
答案:D
分析：
首先根据题意分别算出和，再利用条件概率公式计算即可.
【详解】
由题知：事件：甲和乙至少一人选择庐山共有：种情况，
事件：甲和乙选择的景点不同，且至少一人选择庐山，
共有种情况，
.
故选：D
【点睛】
本题主要考查条件概率，理解条件概率及掌握公式为解题的关键，属于中档题.
3．长春气象台统计，7月15日净月区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设事件为下雨，事件为刮风，那么（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：
确定，再利用条件概率的计算公式，即可求解.
【详解】
由题意，可知，
利用条件概率的计算公式，可得，故选B.
【点睛】
本题主要考查了条件概率的计算，其中解答中认真审题，熟记条件概率的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
4．根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为.则在下雨条件下吹东风的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案:C
分析：
在下雨条件下吹东风的概率=既吹东风又下雨的概率 下雨的概率
【详解】
在下雨条件下吹东风的概率为 ，选C
【点睛】
本题考查条件概率的计算，属于简单题．
5．甲、乙、丙、丁四位同学计划去4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件=“四位同学去的景点不相同”，事件=“甲同学独自去一个景点”，则（ ）
A．B． C．D．
答案:A
分析：
由题意结合计数原理的知识求出所有基本事件数、发生的基本事件数、发生的基本事件数，由古典概型概率公式可得、，再利用条件概率概率公式即可得解.
【详解】
甲、乙、丙、丁四位同学计划去4个景点旅游，每人只去一个景点共有个基本事件，
甲同学独自去一个景点，共有个基本事件，则；
事件、同时发生即事件：四位同学去的景点不相同发生，共有个基本事件，则；
所以.
故选：A.
【点睛】
本题考查了条件概率的求解，考查了计数原理与古典概型概率公式的应用，熟记公式、合理分步是解题关键，属于中档题.
6．袋中有大小完全相同的2个白球和3个黄球，逐个不放回的摸出两球，设“第一次摸得白球”为事件，“摸得的两球同色”为事件，则（ ）
A．B．C．D．
答案:C
解析：
= ,选C.
7．已知6个高尔夫球中有2个不合格，每次任取1个，不放回地取两次．在第一次取到合格高尔夫球的条件下，第二次取到不合格高尔夫球的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：
记事件第一次取到的是合格高尔夫球，事件第二次取到不合格高尔夫球，由题意可得事件发生所包含的基本事件数，事件发生所包含的基本事件数，然后即可求出答案.
【详解】
记事件第一次取到的是合格高尔夫球
事件第二次取到不合格高尔夫球
由题意可得事件发生所包含的基本事件数
事件发生所包含的基本事件数
所以
故选：B
【点睛】
本题考查的是条件概率，较简单.
8．袋中装有形状和大小完全相同的4个黑球，3个白球，从中不放回地依次随机摸取两球，在第一次摸到了黑球的条件下，第二次摸到白球的概率是( )
A．B．C．D．
答案:C
分析：
首先求出第一次摸到黑球的概率，再求出第二次摸到白球的概率，利用条件概率的求法公式即可求解.
【详解】
设第一次摸到黑球为事件，则，
第二次摸到白球为事件，则，
设第一次摸到黑球的条件下，
第二次摸到球的概率为.
故选：C.
【点睛】
本题考查了条件概率的求法，属于基础题.
9．已知，，则等于（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：
直接利用条件概率公式求解.
【详解】
因为，，
所以，
故选：B
【点睛】
本题主要考查条件概率的求法，属于基础题.
10．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件.在第一次摸出次品的条件下，第二次摸到正品的概率是（ ）
A．B．C．D．
答案:D
分析：
分别求出第一次摸出的是次品的概率以及第一次摸出的是次品，第二次摸到的是正品的概率，结合条件概率的计算公式即可求出所求答案.
【详解】
解：记“第一次摸出的是次品”， “第二次摸到的是正品”，由题意知，
,，则,
故选:D.
【点睛】
本题考查了条件概率的求解，属于基础题.
11．一袋中共有10个大小相同的黑球和白球，若从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球的概率为，现从中不放回地取球，每次取1球，取2次，若已知第2次取得白球的条件下，则第1次取得黑球的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案:A
分析：
先计算出黑球和白球的数量，然后根据条件概率计算公式，计算出所求概率.
【详解】
设黑球有个（），则白球有个. 从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球的概率为，没有白球的概率为.即，由于，故解得.所以黑球有个，白球有个.
设事件｛第2次取得白球｝，事件｛第1次取得黑球｝，
，.
所以已知第2次取得白球的条件下，则第1次取得黑球的概率为
.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查条件概率计算，属于基础题.
12．“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，阶幻方（，）是由前个正整数组成的一个阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15.现从如图所示的3阶幻方中任取3个不同的数，记“取到的3个数和为15”为事件，“取到的3个数可以构成一个等差数列”为事件，则（ ）
A．B．C．D．
答案:D
分析：
根据题意，先列举出事件发生对应的基本事件，再列举出事件同时发生对应的基本事件，基本事件的个数比，即为所求的概率.
【详解】
根据题意，事件包含的基本事件有：，，，，，，，；共个基本事件；
事件同时发生包含的基本事件有：，，，共个基本事件，
所以.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查求条件概率，属于基础题型.
13．2020年疫情的到来给我们生活学习等各方面带来种种困难.为了顺利迎接高考，省里制定了周密的毕业年级复学计划.为了确保安全开学，全省组织毕业年级学生进行核酸检测的筛查.学生先到医务室进行咽拭子检验，检验呈阳性者需到防疫部门做进一步检测.已知随机抽一人检验呈阳性的概率为0.2%，且每个人检验是否呈阳性相互独立，若该疾病患病率为0.1%，且患病者检验呈阳性的概率为99%.若某人检验呈阳性，则他确实患病的概率（ ）
A．0.99%B．99%C．49.5%.D．36.5%
答案:C
分析：
利用条件概率可求某人检验呈阳性时他确实患病的概率.
【详解】
设为“某人检验呈阳性”，为“此人患病”.
则“某人检验呈阳性时他确实患病”为，
又，
故选：C.
【点睛】
本题考查条件概率的计算及其应用，此题需将题设的各个条件合理转化为事件的概率或条件概率.
14．已知，，则等于（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：
利用条件概率公式计算可得结果.
【详解】
由条件概率公式得.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用条件概率公式计算概率值，考查计算能力，属于基础题.
15．端午节是我国的传统节日，每逢端午家家户户都要吃粽子，现有5个粽子，其中3个咸蛋黄馅2个豆沙馅，随机取出2个，事件“取到的2个为同一种馅”，事件“取到的2个都是豆沙馅”，则（ ）
A．B．C．D．
答案:A
分析：
分别计算出取出的两个粽子为同一种馅，以及取到的2个都是豆沙馅的基本事件个数，然后由条件概率公式计算即可.
【详解】
由已知，有5个粽子，其中3个咸蛋黄馅2个豆沙馅，随机取出2个，
则，
所以
故选：A
【点睛】
本题考查条件概率的计算公式，以及古典概率的计算方法，属于基础题.
16．从1，2，3，4，5，6，7中任取两个不同的数，事件为“取到的两个数的和为偶数”，事件为“取到的两个数均为偶数”，则（ ）
A．B．C．D．
答案:D
分析：
分别计算出和，由条件概率公式可计算求得结果.
【详解】
由题意知：事件有，，，共个基本事件；事件有，，，，，，，，，共个基本事件；
，，.
故选：.
【点睛】
本题考查条件概率的求解问题，属于基础题.
17．如下图，四边形是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形内”，用B表示事件“豆子落在扇形 （阴影部分）内”，则（ ）
A．B．C．D．
答案:C
分析：
由已知关系分别求出，由几何概型求概率的计算方式求得与，最后利用条件概率计算公式求得答案.
【详解】
因为四边形是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，即，则，所以
A表示事件“豆子落在正方形内”，
B表示事件“豆子落在扇形”，则AB表示事件“豆子落在三角形EOH内”，
所以
故选：C
【点睛】
本题考查在几何图形中求条件概率，属于简单题.
18．某学校高三（）班要从名班干部（其中名男生，名女生）中选取人参加学校优秀班干部评选，事件男生甲被选中，事件有两名女生被选中，则（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：
计算出事件、的概率，利用条件概率公式可求得的值.
【详解】
由题意可得，
事件男生甲与两名女生被选中，则，
因此，.
故选：B.
【点睛】
本题考查条件概率的计算，考查运算求解能力和推理论证能力，考查数学运算和逻辑推理核心素养，属于中等题.
19．从标有数字1，2，3，4，5的五张卡片中，依次抽出2张（取后不放回），则在第一次抽到卡片是偶数的情况下，第二次抽到卡片是奇数的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案:C
分析：
设事件表示“第一张抽到偶数”，事件表示“第二张抽取奇数”，分别求出和，利用条件概率计算公式即可求得结果.
【详解】
从标有1，2，3，4，5五张卡片中，依次抽出2张，
设事件表示“第一张抽到偶数”，
事件表示“第二张抽取奇数”，
则，，
在第一次抽到卡片是偶数的情况下，第二次抽到卡片是奇数的概率为
，
故选：C.
【点睛】
本题主要考查的是条件概率的计算，要熟记条件概率的计算公式，属于基础题.事件发生的前提下，事件发生的概率，用公式可表示为.
20．某次校园活动中，组织者给到场的前1000名同学分发编号的号码纸，每人一张，活动结束时公布获奖规则.获奖规则为：①号码的三位数字之和是7的倍数者可获得纪念品；②号码的三位数字全是奇数者可获得纪念品.已知某同学的号码满足获得纪念品的条件，则他同时可以获得纪念品的概率是（ ）
A．0.016B．0.032C．0.064D．0.128
答案:D
分析：
记某同学获得纪念品､纪念品分別为事件､，由分步乘法计数原理结合古典概型概率公式可得；再由分类加法、排列组合的知识结合古典概型概率公式可得；最后由条件概率公式即可得解.
【详解】
记某同学获得纪念品､纪念品分別为事件､，
则事件发生的充要条件是：三位数字均是1，3，5，7，9五个数中的一个，
对应的概率；
事件是在三位数字均为奇数的基础上，还需满足三位数字之和为7的倍数，
三个之间的数字之和范围为，
又因为每位数字都是奇数，故其和亦为奇数，
故三位数字之和只可能是7或21，所以三位数字从小到大排列只有以下五种可能：
①1，1，5，对应的三位数个数为；
②1，3，3，对应的三位数个数为；
③3，9，9，对应的三位数个数为；
④5，7，9，对应的三位数个数为；
⑤7，7，7，对应的三位数有1个；
故.
于是所求概率为.
故选：D.
【点睛】
本题考查了计数原理及古典概型概率公式的应用，考查了条件概率公式的应用及运算求解能力，属于中档题.
21．假定男女出生率相等，某个家庭有两个小孩，已知该家庭至少有一个女孩，则两个小孩都是女孩的概率是（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：
记事件为“至少有一个女孩”，事件为“另一个也是女孩”，分别求出、的结果个数，问题是求在事件发生的情况下，事件发生的概率，即求，由条件概率公式求解即可.
【详解】
解：一个家庭中有两个小孩只有4种可能：男，男，男，女，女，男，女，女．
记事件为“至少有一个女孩”，事件为“另一个也是女孩”，则（男，女），（女，男），（女，女），（男，女），（女，男），（女，女），（女，女）．
于是可知，．
问题是求在事件发生的情况下，事件发生的概率，即求，由条件概率公式，得．
故选：B．
【点睛】
本题的考点是条件概率与独立事件，主要考查条件概率的计算公式：，等可能事件的概率的求解公式：（其中为试验的所有结果，为基本事件的结果）.
22．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.8，在目标被击中的条件下，甲、乙同时击中目标的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：
根据题意,记甲击中目标为事件A,乙击中目标为事件B,目标被击中为事件C,由相互独立事件的概率公式,计算可得目标被击中的概率,进而计算在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率,可得答案.
【详解】
根据题意,记甲击中目标为事件A,乙击中目标为事件B,目标被击中为事件C,
则；
则在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率为.
故选：B.
【点睛】
本题考查条件概率的计算,是基础题,注意认清事件之间的关系,结合条件概率的计算公式正确计算即可.属于基础题.
23．如图，在边长为1的正方形内任取一点，用表示事件“点恰好取自曲线与直线及轴所围成的曲边梯形内”，表示事件“点恰好取自阴影部分内”，则（ ）
A．B．C．D．
答案:A
【详解】
根据题意，正方形的面积为1×1=1，
而与直线及轴所围成的曲边梯形的面积为
而阴影部分的面积为,
∴正方形中任取一点，
点取自阴影部分的概率为，
.
故选：A．
考点：几何概型，条件概率
24．.三台中学实验学校现有三门选修课，甲、乙、丙三人每人只选修一门，设事件A为“三人选修的课程都不同”，B为“甲独自选修一门”，则概率P(A|B)等于（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：
利用条件概率的计算公式即可求解.
【详解】
甲独自选修一门，则有门选修课可选，
则乙、丙只能从剩下的门选修课中选择，可能性为，
所以甲独自选修一门的可能性为，
因为三个人选修的课程都不同的可能性为.
.
故选：B
【点睛】
本题考查了条件概率的求法，考查了排列、组合的应用，属于基础题.
25．掷骰子2次，每个结果以记之，其中，，分别表示第一颗，第二颗骰子的点数，设，，则（ ）
A．B．C．D．
答案:C
分析：
根据古典概型概率计算方法,列举出A集合的所有情况,即可由条件概率求解.
【详解】
根据题意
则集合A所有可能为
,则B集合为
根据条件概率求法可得
故选:C
【点睛】
本题考查了列举法求古典概型的概率,条件概率的求法,属于基础题.
26．已知某同学在高二期末考试中，A和B两道选择题同时答对的概率为，在A题答对的情况下，B题也答对的概率为，则A题答对的概率为( )
A．B．C．D．
答案:B
分析：
根据条件概率公式计算即可.
【详解】
设事件A：答对A题，事件B：答对B题，
则，
.
.
故选：B.
【点睛】
本题考查了条件概率的计算，属于基础题.
27．设，为两个事件，若事件和同时发生的概率为，在事件发生的条件下，事件发生的概率为，则事件发生的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案:A
分析：
根据条件概率公式求解即可得答案.
【详解】
解：由题意得，，
根据条件概率的公式得：，解得.
所以事件发生的概率为.
故选：A.
【点睛】
本题考查条件概率公式，是基础题.
28．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件{两次的点数均为偶数}，{两次的点数之和小于8}，则（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：
先求出事件包含的基本事件数，以及在发生的条件下，事件包含的基本事件数，再用条件概率公式求出结果．
【详解】
由题意，事件{两次的点数均为偶数}，包含的基本事件数是共9个基本事件；
在事件发生的条件下，事件{两次的点数之和小于}， 包含的基本事件数是共个基本事件，
所以．
故选：B．
【点睛】
本题考查条件概率，考查学生的计算能力，属于基础题．
二、多选题
29．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以，，表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．事件与事件相互独立D．、、两两互斥
答案:BD
分析：
根据每次取一球，易得，，是两两互斥的事件，求得，然后由条件概率求得，，再逐项判断.
【详解】
因为每次取一球，所以，，是两两互斥的事件，故D正确；
因为，
所以，故B正确；
同理，
所以，故AC错误；
故选：BD
【点睛】
本题主要考查互斥事件，相互独立事件，条件概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
30．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：①从中任取3球，恰有一个白球的概率是；②从中有放回的取球6次，每次任取一球，恰好有两次白球的概率为；③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为；④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为. 则其中正确命题的序号是（ ）
A．①B．②C．③D．④
答案:ABD
分析：
①利用古典概型的概率求解判断.②利用独立重复实验的概率求解判断.③利用古典概型概率求解判断.④利用独立重复实验的概率求解判断.
【详解】
一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，
①从中任取3球，恰有一个白球的概率是故正确；
②从中有放回的取球6次，每次任取一球，每次抽到白球的概率为，则恰好有两次白球的概率为，故正确；
③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为，故错误；
④从中有放回的取球3次，每次任取一球，每次抽到红球的概率为：则至少有一次取到红球的概率为，故正确.
故选：ABD.
【点睛】
本题主要考查概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
31．下列有关说法正确的是（ ）
A．的展开式中含项的二项式系数为20；
B．事件为必然事件，则事件、是互为对立事件；
C．设随机变量服从正态分布，若，则与的值分别为，；
D．甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点各不相同”，事件“甲独自去一个景点”，则.
答案:CD
分析：
由二项式定理得：的展开式中含项的二项式系数为，即可判断；由对立事件与互斥事件的概念，进行判断；由正态分布的特点，即可判断；由条件概率的公式，计算即可判断.
【详解】
对于，由二项式定理得：的展开式中含项的二项式系数为，故错误；
对于，事件为必然事件，若，互斥，则事件、是互为对立事件；若，不互斥，则事件、不是互为对立事件，故错误
对于，设随机变量服从正态分布，若，则曲线关于对称，则与的值分别为，．故正确．
对于，设事件 “4个人去的景点不相同”，事件 “甲独自去一个景点”，
则（A），（B），，则，故正确；
故选：．
【点睛】
本题考查命题的真假判断和应用，考查事件的关系、条件概率的求法，考查二项式定理的判定方法和正态分布的特点，考查判断和推理能力，是中档题．
三、填空题
32．伟大出自平凡，英雄来自人民.在疫情防控一线，北京某大学学生会自发从学生会6名男生和8名女生骨干成员中选出2人作为队长率领他们加入武汉社区服务队，用表示事件“抽到的2名队长性别相同”，表示事件“抽到的2名队长都是男生”，则______.
答案:
分析：
求出,再利用条件概率求解.
【详解】
由已知得，，
则.
故答案为：
【点睛】
方法点睛：求条件概率常用的方法有：（1）；（2）；（3）转化为古典概型求解.
33．袋中有5个大小完全相同的球，其中2个黑球，3个白球.不放回地连续取两次，则已知在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为__________.
答案:
分析：
记事件为“第一次取得黑球”，事件为“第二次白球”，根据题中条件，由条件概率的计算公式，即可得出结果.
【详解】
记事件为“第一次取得黑球”，事件为“第二次白球”：则，
，
所以已知在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为
.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查求条件概率，属于基础题型.
34．从装有个红球个白球的袋子中先后取个球，取后不放回，在第一次取到红球的条件下，第二次取到红球的概率为______.
答案:
分析：
分别算出“第一次取到红球”的基本事件个数，“两次都取到红球”的个数，然后套用条件概率计算公式求解.
【详解】
设事件为 “第一次取到的是红球”， 事件为 “第一、二次都取到红球”，
则，，
所以在第一次取到红球的条件下，第二次取到红球的概率为：.
故答案为：.
【点睛】
本题考查条件概率及其计算，较简单，解答时要灵活运用条件概率的运算公式.
35．某校组织甲、乙、丙、丁、戊、己等6名学生参加演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为__________．
答案:
分析：
由条件概率计算方式，分别计算事件A：“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”的基本事件个数，其中分两类乙在最后与乙不在最后计数，与事件AB的基本事件个数，最后由公式求解即可.
【详解】
设事件A：“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”；事件B：“学生丙第一个出场”，
对事件A，甲和乙都不是第一个出场，第一类：乙在最后，则优先从中间4个位置中选一
个给甲，再将余下的4个人全排列有种；第二类：乙没有在最后，则优先从中间4
个位置中选两个给甲乙，再将余下的4个人全排列有种，故总的有.
对事件AB，此时丙第一个出场，优先从除了甲以外的4人中选一人安排在最后，再将余下的4人全排列有种
故.
故答案为：
【点睛】
本题考查条件概率实际应用，属于中档题.
36．已知，，则__________.
答案:
分析：
直接根据条件概率公式计算即可得答案.
【详解】
解：根据条件概率公式和已知条件，，
所以.
故答案为：
【点睛】
本题考查条件概率公式的应用，是基础题.
37．某盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为_______．
答案:
分析：
直接利用条件概率公式计算得到答案.
【详解】
记第一次摸出新球为事件A，第二次取到新球为事件B，
则.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了条件概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.
38．据统计，连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0.055，连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为0.19.现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为______.
答案:
分析：
由对立设事件的概率分别得到连续熬夜48小时和连续熬夜72小时未诱发心脏病的概率，再利用条件概率公式求解.
【详解】
设事件为发病，事件为发病，
由题意可知：，，
则，，
由条件概率公式可得：.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查对立事件和条件概率的求法，属于基础题.
39．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6．已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率为______________．
答案:
分析：
记事件A：某天的空气质量为优，事件B：第二天的空气也为优，由题意可得，，再由条件概率公式即可得解.
【详解】
记事件A：某天的空气质量为优，事件B：第二天的空气也为优，
由题意，，则.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了条件概率的求解，属于基础题.
40．为了营造勤奋读书、努力学习、奋发向上的文化氛围，提高学生的阅读兴趣，某校开展了“朗读者”闯关活动，各选手在第一轮要进行诗词朗读的比拼，第二轮进行诗词背诵的比拼.已知某学生通过第一关的概率为，在已经通过第一关的前提下通过第二关的概率为，则该同学两关均通过的概率为______.
答案:
分析：
根据条件概率公式，计算求值即可.
【详解】
设该学生通过第一关为事件，通过第二关为事件，
在通过第一关的前提下通过第二关的概率为，
因为，
所以.
【点睛】
本题考查条件概率的计算，考查逻辑分析，运算求解的能力，属基础题.
41．设，，则等于________．
答案:
分析：
由可判断出,进而可求.
【详解】
解:
. .
故答案为:.
【点睛】
本题考查了条件概率.易错点是对条件概率公式不熟练,记错公式.
42．已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率_______
答案:
分析：
记“三人中至少有两人解答正确”为事件A，“甲解答不正确”为事件B，利用二项分布求得，然后利用条件概率公式求解.
【详解】
记“三人中至少有两人解答正确”为事件A，“甲解答不正确”为事件B，
则，
，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查条件概率的求法，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.
43．近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为______.
答案:
分析：
记“某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电”为事件A，“他的车能够充电2500次”为事件B，即求条件概率：，由条件概率公式即得解.
【详解】
记“某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电”为事件A，“他的车能够充电2500次”为事件B，
即求条件概率：
故答案为：
【点睛】
本题考查了条件概率的应用，考查了学生概念理解，数学应用，数学运算的能力，属于基础题.
四、解答题
44．田忌赛马的故事出自《史记》中的《孙子吴起列传》.齐国的大将田忌很喜欢赛马，有一回，他和齐威王约定，要进行一场比赛.双方各自有三匹马，马都可以分为上，中，下三等.上等马都比中等马强，中等马都比下等马强，但是齐威王每个等级的马都比田忌相应等级的马强一些，比赛共三局，每局双方分别各派一匹马出场，且每匹马只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛胜利，在比赛之前，双方都不知道对方马的出场顺序.
（1）求在第一局比赛中田忌胜利的概率：
（2）若第一局齐威王派出场的是上等马，而田忌派出场的是下等马，求本场比赛田忌胜利的概率；
（3）写出在一场比赛中田忌胜利的概率（直接写出结果）.
答案:（1）；（2）；（3）.
分析：
（1）首先将田忌的三匹马按照上、中、下三等分别记为、、，齐威王的三匹马按照上、中、下三等分别记为、、，列出第一局双方参赛的马匹的全部情况，再找到田忌胜利的情况，即可得到答案.
（2）首先设事件“第一局齐威王派出场的是上等马，而田忌派出场的是下等马”，事件“田忌获得本场比赛胜利”，列举出事件，的个数，利用条件概率公式即可的得到答案.
（3）根据题意直接写出答案即可.
【详解】
将田忌的三匹马按照上、中、下三等分别记为、、，
齐威王的三匹马按照上、中、下三等分别记为、、，
并且用马的记号表示该马上场比赛.
（1）设事件“第一局双方参赛的马匹”，事件“在第一局比赛中田忌胜利”，
由题意得，
，
则在第一局比赛中田忌胜利的概率是.
（2）设事件“第一局齐威王派出场的是上等马，而田忌派出场的是下等马”，
事件“田忌获得本场比赛胜利”，
由题意得，
，
则本场比赛田忌胜利的概率是.
（3）.
【点睛】
本题主要考查古典概率的求法，同时考查了条件概率，考查学生分析问题的能力，属于中档题.
45．2020年初，武汉出现新型冠状病毒肺炎疫情，并快速席卷我国其他地区，口罩成了重要的防疫物资.某口罩生产厂不断加大投入，高速生产，现对其2月1日~2月9日连续9天的日生产量（单位：十万只，）数据作了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量的值：
注：图中日期代码1~9分别对应2月1日~2月9日；表中，.
（1）从9个样本点中任意选取2个，在2个点的日生产量都不高于三十万只的条件下，求2个都高于二十万只的概率；
（2）由散点图分析，样本点都集中在曲线的附近，请求y关于t的方程，并估计该厂从什么时候开始日生产量超过四十万只.
参考公式：回归直线方程是，，.
参考数据：.
答案:（1）；（2），从2月14日开始日生产量超过四十万只.
分析：
（1）设出事件，利用条件概率的概率公式即可求出概率.
（2）由，可得，即，利用已知数据求出、的值，再，两边同时求导即可.
【详解】
（1）9个样本点中日生产量都不高于三十万只的有5个，高于二十万只且不高于三十万只的有3个，
设事件A：所取2个点的日生产量都不高于三十万只，
事件B：所取2个点的日生产量高于二十万只，
事件：所取2个点的日生产量高于二十万只且不高于三十万只，
则，，
.
（2），，
，，
，
.
令，解得，
，即该厂从2月14日开始日生产量超过四十万只.
【点睛】
本题主要考查了求条件概率，以及求非线性回归方程，属于中档题.
2.72
19
139.09
1095
1．袋中有5个球（3个白球，2个黑球）现每次取一球，无放回抽取2次，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为（ ）
A．3/5B．3/4C．1/2D．3/10
2．有歌唱道：“江西是个好地方，山清水秀好风光.”现有甲乙两位游客慕名来到江西旅游，分别准备从庐山、三清山、龙虎山和明月山个著名旅游景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件：甲和乙至少一人选择庐山，事件：甲和乙选择的景点不同，则条件概率（ ）
A．B．C．D．
3．长春气象台统计，7月15日净月区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设事件为下雨，事件为刮风，那么（ ）
A．B．C．D．
4．根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为.则在下雨条件下吹东风的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．甲、乙、丙、丁四位同学计划去4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件=“四位同学去的景点不相同”，事件=“甲同学独自去一个景点”，则（ ）
A．B． C．D．
6．袋中有大小完全相同的2个白球和3个黄球，逐个不放回的摸出两球，设“第一次摸得白球”为事件，“摸得的两球同色”为事件，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知6个高尔夫球中有2个不合格，每次任取1个，不放回地取两次．在第一次取到合格高尔夫球的条件下，第二次取到不合格高尔夫球的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．袋中装有形状和大小完全相同的4个黑球，3个白球，从中不放回地依次随机摸取两球，在第一次摸到了黑球的条件下，第二次摸到白球的概率是( )
A．B．C．D．
9．已知，，则等于（ ）
A．B．C．D．
10．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件.在第一次摸出次品的条件下，第二次摸到正品的概率是（ ）
A．B．C．D．
11．一袋中共有10个大小相同的黑球和白球，若从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球的概率为，现从中不放回地取球，每次取1球，取2次，若已知第2次取得白球的条件下，则第1次取得黑球的概率为（ ）
A．B．C．D．
12．“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，阶幻方（，）是由前个正整数组成的一个阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15.现从如图所示的3阶幻方中任取3个不同的数，记“取到的3个数和为15”为事件，“取到的3个数可以构成一个等差数列”为事件，则（ ）
A．B．C．D．
13．2020年疫情的到来给我们生活学习等各方面带来种种困难.为了顺利迎接高考，省里制定了周密的毕业年级复学计划.为了确保安全开学，全省组织毕业年级学生进行核酸检测的筛查.学生先到医务室进行咽拭子检验，检验呈阳性者需到防疫部门做进一步检测.已知随机抽一人检验呈阳性的概率为0.2%，且每个人检验是否呈阳性相互独立，若该疾病患病率为0.1%，且患病者检验呈阳性的概率为99%.若某人检验呈阳性，则他确实患病的概率（ ）
A．0.99%B．99%C．49.5%.D．36.5%
14．已知，，则等于（ ）
A．B．C．D．
15．端午节是我国的传统节日，每逢端午家家户户都要吃粽子，现有5个粽子，其中3个咸蛋黄馅2个豆沙馅，随机取出2个，事件“取到的2个为同一种馅”，事件“取到的2个都是豆沙馅”，则（ ）
A．B．C．D．
16．从1，2，3，4，5，6，7中任取两个不同的数，事件为“取到的两个数的和为偶数”，事件为“取到的两个数均为偶数”，则（ ）
A．B．C．D．
17．如下图，四边形是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形内”，用B表示事件“豆子落在扇形 （阴影部分）内”，则（ ）
A．B．C．D．
18．某学校高三（）班要从名班干部（其中名男生，名女生）中选取人参加学校优秀班干部评选，事件男生甲被选中，事件有两名女生被选中，则（ ）
A．B．C．D．
19．从标有数字1，2，3，4，5的五张卡片中，依次抽出2张（取后不放回），则在第一次抽到卡片是偶数的情况下，第二次抽到卡片是奇数的概率为（ ）
A．B．C．D．
20．某次校园活动中，组织者给到场的前1000名同学分发编号的号码纸，每人一张，活动结束时公布获奖规则.获奖规则为：①号码的三位数字之和是7的倍数者可获得纪念品；②号码的三位数字全是奇数者可获得纪念品.已知某同学的号码满足获得纪念品的条件，则他同时可以获得纪念品的概率是（ ）
A．0.016B．0.032C．0.064D．0.128
21．假定男女出生率相等，某个家庭有两个小孩，已知该家庭至少有一个女孩，则两个小孩都是女孩的概率是（ ）
A．B．C．D．
22．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.8，在目标被击中的条件下，甲、乙同时击中目标的概率为（ ）
A．B．C．D．
23．如图，在边长为1的正方形内任取一点，用表示事件“点恰好取自曲线与直线及轴所围成的曲边梯形内”，表示事件“点恰好取自阴影部分内”，则（ ）
A．B．C．D．
24．.三台中学实验学校现有三门选修课，甲、乙、丙三人每人只选修一门，设事件A为“三人选修的课程都不同”，B为“甲独自选修一门”，则概率P(A|B)等于（ ）
A．B．C．D．
25．掷骰子2次，每个结果以记之，其中，，分别表示第一颗，第二颗骰子的点数，设，，则（ ）
A．B．C．D．
26．已知某同学在高二期末考试中，A和B两道选择题同时答对的概率为，在A题答对的情况下，B题也答对的概率为，则A题答对的概率为( )
A．B．C．D．
27．设，为两个事件，若事件和同时发生的概率为，在事件发生的条件下，事件发生的概率为，则事件发生的概率为（ ）
A．B．C．D．
28．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件{两次的点数均为偶数}，{两次的点数之和小于8}，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
29．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以，，表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．事件与事件相互独立D．、、两两互斥
30．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：①从中任取3球，恰有一个白球的概率是；②从中有放回的取球6次，每次任取一球，恰好有两次白球的概率为；③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为；④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为. 则其中正确命题的序号是（ ）
A．①B．②C．③D．④
31．下列有关说法正确的是（ ）
A．的展开式中含项的二项式系数为20；
B．事件为必然事件，则事件、是互为对立事件；
C．设随机变量服从正态分布，若，则与的值分别为，；
D．甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点各不相同”，事件“甲独自去一个景点”，则.
三、填空题
32．伟大出自平凡，英雄来自人民.在疫情防控一线，北京某大学学生会自发从学生会6名男生和8名女生骨干成员中选出2人作为队长率领他们加入武汉社区服务队，用表示事件“抽到的2名队长性别相同”，表示事件“抽到的2名队长都是男生”，则______.
33．袋中有5个大小完全相同的球，其中2个黑球，3个白球.不放回地连续取两次，则已知在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为__________.
34．从装有个红球个白球的袋子中先后取个球，取后不放回，在第一次取到红球的条件下，第二次取到红球的概率为______.
35．某校组织甲、乙、丙、丁、戊、己等6名学生参加演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为__________．
36．已知，，则__________.
37．某盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为_______．
38．据统计，连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0.055，连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为0.19.现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为______.
39．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6．已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率为______________．
40．为了营造勤奋读书、努力学习、奋发向上的文化氛围，提高学生的阅读兴趣，某校开展了“朗读者”闯关活动，各选手在第一轮要进行诗词朗读的比拼，第二轮进行诗词背诵的比拼.已知某学生通过第一关的概率为，在已经通过第一关的前提下通过第二关的概率为，则该同学两关均通过的概率为______.
41．设，，则等于________．
42．已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率_______
43．近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为______.
四、解答题
44．田忌赛马的故事出自《史记》中的《孙子吴起列传》.齐国的大将田忌很喜欢赛马，有一回，他和齐威王约定，要进行一场比赛.双方各自有三匹马，马都可以分为上，中，下三等.上等马都比中等马强，中等马都比下等马强，但是齐威王每个等级的马都比田忌相应等级的马强一些，比赛共三局，每局双方分别各派一匹马出场，且每匹马只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛胜利，在比赛之前，双方都不知道对方马的出场顺序.
（1）求在第一局比赛中田忌胜利的概率：
（2）若第一局齐威王派出场的是上等马，而田忌派出场的是下等马，求本场比赛田忌胜利的概率；
（3）写出在一场比赛中田忌胜利的概率（直接写出结果）.
45．2020年初，武汉出现新型冠状病毒肺炎疫情，并快速席卷我国其他地区，口罩成了重要的防疫物资.某口罩生产厂不断加大投入，高速生产，现对其2月1日~2月9日连续9天的日生产量（单位：十万只，）数据作了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量的值：
注：图中日期代码1~9分别对应2月1日~2月9日；表中，.
（1）从9个样本点中任意选取2个，在2个点的日生产量都不高于三十万只的条件下，求2个都高于二十万只的概率；
（2）由散点图分析，样本点都集中在曲线的附近，请求y关于t的方程，并估计该厂从什么时候开始日生产量超过四十万只.
参考公式：回归直线方程是，，.
参考数据：.
2.72
19
139.09
1095
专题33 利用条件概率公式求解条件概率
一、单选题
1．袋中有5个球（3个白球，2个黑球）现每次取一球，无放回抽取2次，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为（ ）
A．3/5B．3/4C．1/2D．3/10
答案:C
分析：
先记事件A为“第一次取到白球”，事件B为“第二次取到白球”，则事件AB为“两次都取到白球”，根据题意得到与，再由条件概率，即可求出结果.
【详解】
记事件A为“第一次取到白球”，事件B为“第二次取到白球”，
则事件AB为“两次都取到白球”，
依题意知，，
所以，在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是．
故选：C.
【点睛】
本题主要考查条件概率与独立事件，熟记条件概率的计算公式即可，属于常考题型.
2．有歌唱道：“江西是个好地方，山清水秀好风光.”现有甲乙两位游客慕名来到江西旅游，分别准备从庐山、三清山、龙虎山和明月山个著名旅游景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件：甲和乙至少一人选择庐山，事件：甲和乙选择的景点不同，则条件概率（ ）
A．B．C．D．
答案:D
分析：
首先根据题意分别算出和，再利用条件概率公式计算即可.
【详解】
由题知：事件：甲和乙至少一人选择庐山共有：种情况，
事件：甲和乙选择的景点不同，且至少一人选择庐山，
共有种情况，
.
故选：D
【点睛】
本题主要考查条件概率，理解条件概率及掌握公式为解题的关键，属于中档题.
3．长春气象台统计，7月15日净月区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设事件为下雨，事件为刮风，那么（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：
确定，再利用条件概率的计算公式，即可求解.
【详解】
由题意，可知，
利用条件概率的计算公式，可得，故选B.
【点睛】
本题主要考查了条件概率的计算，其中解答中认真审题，熟记条件概率的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
4．根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为.则在下雨条件下吹东风的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案:C
分析：
在下雨条件下吹东风的概率=既吹东风又下雨的概率 下雨的概率
【详解】
在下雨条件下吹东风的概率为 ，选C
【点睛】
本题考查条件概率的计算，属于简单题．
5．甲、乙、丙、丁四位同学计划去4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件=“四位同学去的景点不相同”，事件=“甲同学独自去一个景点”，则（ ）
A．B． C．D．
答案:A
分析：
由题意结合计数原理的知识求出所有基本事件数、发生的基本事件数、发生的基本事件数，由古典概型概率公式可得、，再利用条件概率概率公式即可得解.
【详解】
甲、乙、丙、丁四位同学计划去4个景点旅游，每人只去一个景点共有个基本事件，
甲同学独自去一个景点，共有个基本事件，则；
事件、同时发生即事件：四位同学去的景点不相同发生，共有个基本事件，则；
所以.
故选：A.
【点睛】
本题考查了条件概率的求解，考查了计数原理与古典概型概率公式的应用，熟记公式、合理分步是解题关键，属于中档题.
6．袋中有大小完全相同的2个白球和3个黄球，逐个不放回的摸出两球，设“第一次摸得白球”为事件，“摸得的两球同色”为事件，则（ ）
A．B．C．D．
答案:C
解析：
= ,选C.
7．已知6个高尔夫球中有2个不合格，每次任取1个，不放回地取两次．在第一次取到合格高尔夫球的条件下，第二次取到不合格高尔夫球的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：
记事件第一次取到的是合格高尔夫球，事件第二次取到不合格高尔夫球，由题意可得事件发生所包含的基本事件数，事件发生所包含的基本事件数，然后即可求出答案.
【详解】
记事件第一次取到的是合格高尔夫球
事件第二次取到不合格高尔夫球
由题意可得事件发生所包含的基本事件数
事件发生所包含的基本事件数
所以
故选：B
【点睛】
本题考查的是条件概率，较简单.
8．袋中装有形状和大小完全相同的4个黑球，3个白球，从中不放回地依次随机摸取两球，在第一次摸到了黑球的条件下，第二次摸到白球的概率是( )
A．B．C．D．
答案:C
分析：
首先求出第一次摸到黑球的概率，再求出第二次摸到白球的概率，利用条件概率的求法公式即可求解.
【详解】
设第一次摸到黑球为事件，则，
第二次摸到白球为事件，则，
设第一次摸到黑球的条件下，
第二次摸到球的概率为.
故选：C.
【点睛】
本题考查了条件概率的求法，属于基础题.
9．已知，，则等于（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：
直接利用条件概率公式求解.
【详解】
因为，，
所以，
故选：B
【点睛】
本题主要考查条件概率的求法，属于基础题.
10．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件.在第一次摸出次品的条件下，第二次摸到正品的概率是（ ）
A．B．C．D．
答案:D
分析：
分别求出第一次摸出的是次品的概率以及第一次摸出的是次品，第二次摸到的是正品的概率，结合条件概率的计算公式即可求出所求答案.
【详解】
解：记“第一次摸出的是次品”， “第二次摸到的是正品”，由题意知，
,，则,
故选:D.
【点睛】
本题考查了条件概率的求解，属于基础题.
11．一袋中共有10个大小相同的黑球和白球，若从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球的概率为，现从中不放回地取球，每次取1球，取2次，若已知第2次取得白球的条件下，则第1次取得黑球的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案:A
分析：
先计算出黑球和白球的数量，然后根据条件概率计算公式，计算出所求概率.
【详解】
设黑球有个（），则白球有个. 从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球的概率为，没有白球的概率为.即，由于，故解得.所以黑球有个，白球有个.
设事件｛第2次取得白球｝，事件｛第1次取得黑球｝，
，.
所以已知第2次取得白球的条件下，则第1次取得黑球的概率为
.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查条件概率计算，属于基础题.
12．“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，阶幻方（，）是由前个正整数组成的一个阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15.现从如图所示的3阶幻方中任取3个不同的数，记“取到的3个数和为15”为事件，“取到的3个数可以构成一个等差数列”为事件，则（ ）
A．B．C．D．
答案:D
分析：
根据题意，先列举出事件发生对应的基本事件，再列举出事件同时发生对应的基本事件，基本事件的个数比，即为所求的概率.
【详解】
根据题意，事件包含的基本事件有：，，，，，，，；共个基本事件；
事件同时发生包含的基本事件有：，，，共个基本事件，
所以.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查求条件概率，属于基础题型.
13．2020年疫情的到来给我们生活学习等各方面带来种种困难.为了顺利迎接高考，省里制定了周密的毕业年级复学计划.为了确保安全开学，全省组织毕业年级学生进行核酸检测的筛查.学生先到医务室进行咽拭子检验，检验呈阳性者需到防疫部门做进一步检测.已知随机抽一人检验呈阳性的概率为0.2%，且每个人检验是否呈阳性相互独立，若该疾病患病率为0.1%，且患病者检验呈阳性的概率为99%.若某人检验呈阳性，则他确实患病的概率（ ）
A．0.99%B．99%C．49.5%.D．36.5%
答案:C
分析：
利用条件概率可求某人检验呈阳性时他确实患病的概率.
【详解】
设为“某人检验呈阳性”，为“此人患病”.
则“某人检验呈阳性时他确实患病”为，
又，
故选：C.
【点睛】
本题考查条件概率的计算及其应用，此题需将题设的各个条件合理转化为事件的概率或条件概率.
14．已知，，则等于（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：
利用条件概率公式计算可得结果.
【详解】
由条件概率公式得.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用条件概率公式计算概率值，考查计算能力，属于基础题.
15．端午节是我国的传统节日，每逢端午家家户户都要吃粽子，现有5个粽子，其中3个咸蛋黄馅2个豆沙馅，随机取出2个，事件“取到的2个为同一种馅”，事件“取到的2个都是豆沙馅”，则（ ）
A．B．C．D．
答案:A
分析：
分别计算出取出的两个粽子为同一种馅，以及取到的2个都是豆沙馅的基本事件个数，然后由条件概率公式计算即可.
【详解】
由已知，有5个粽子，其中3个咸蛋黄馅2个豆沙馅，随机取出2个，
则，
所以
故选：A
【点睛】
本题考查条件概率的计算公式，以及古典概率的计算方法，属于基础题.
16．从1，2，3，4，5，6，7中任取两个不同的数，事件为“取到的两个数的和为偶数”，事件为“取到的两个数均为偶数”，则（ ）
A．B．C．D．
答案:D
分析：
分别计算出和，由条件概率公式可计算求得结果.
【详解】
由题意知：事件有，，，共个基本事件；事件有，，，，，，，，，共个基本事件；
，，.
故选：.
【点睛】
本题考查条件概率的求解问题，属于基础题.
17．如下图，四边形是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形内”，用B表示事件“豆子落在扇形 （阴影部分）内”，则（ ）
A．B．C．D．
答案:C
分析：
由已知关系分别求出，由几何概型求概率的计算方式求得与，最后利用条件概率计算公式求得答案.
【详解】
因为四边形是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，即，则，所以
A表示事件“豆子落在正方形内”，
B表示事件“豆子落在扇形”，则AB表示事件“豆子落在三角形EOH内”，
所以
故选：C
【点睛】
本题考查在几何图形中求条件概率，属于简单题.
18．某学校高三（）班要从名班干部（其中名男生，名女生）中选取人参加学校优秀班干部评选，事件男生甲被选中，事件有两名女生被选中，则（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：
计算出事件、的概率，利用条件概率公式可求得的值.
【详解】
由题意可得，
事件男生甲与两名女生被选中，则，
因此，.
故选：B.
【点睛】
本题考查条件概率的计算，考查运算求解能力和推理论证能力，考查数学运算和逻辑推理核心素养，属于中等题.
19．从标有数字1，2，3，4，5的五张卡片中，依次抽出2张（取后不放回），则在第一次抽到卡片是偶数的情况下，第二次抽到卡片是奇数的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案:C
分析：
设事件表示“第一张抽到偶数”，事件表示“第二张抽取奇数”，分别求出和，利用条件概率计算公式即可求得结果.
【详解】
从标有1，2，3，4，5五张卡片中，依次抽出2张，
设事件表示“第一张抽到偶数”，
事件表示“第二张抽取奇数”，
则，，
在第一次抽到卡片是偶数的情况下，第二次抽到卡片是奇数的概率为
，
故选：C.
【点睛】
本题主要考查的是条件概率的计算，要熟记条件概率的计算公式，属于基础题.事件发生的前提下，事件发生的概率，用公式可表示为.
20．某次校园活动中，组织者给到场的前1000名同学分发编号的号码纸，每人一张，活动结束时公布获奖规则.获奖规则为：①号码的三位数字之和是7的倍数者可获得纪念品；②号码的三位数字全是奇数者可获得纪念品.已知某同学的号码满足获得纪念品的条件，则他同时可以获得纪念品的概率是（ ）
A．0.016B．0.032C．0.064D．0.128
答案:D
分析：
记某同学获得纪念品､纪念品分別为事件､，由分步乘法计数原理结合古典概型概率公式可得；再由分类加法、排列组合的知识结合古典概型概率公式可得；最后由条件概率公式即可得解.
【详解】
记某同学获得纪念品､纪念品分別为事件､，
则事件发生的充要条件是：三位数字均是1，3，5，7，9五个数中的一个，
对应的概率；
事件是在三位数字均为奇数的基础上，还需满足三位数字之和为7的倍数，
三个之间的数字之和范围为，
又因为每位数字都是奇数，故其和亦为奇数，
故三位数字之和只可能是7或21，所以三位数字从小到大排列只有以下五种可能：
①1，1，5，对应的三位数个数为；
②1，3，3，对应的三位数个数为；
③3，9，9，对应的三位数个数为；
④5，7，9，对应的三位数个数为；
⑤7，7，7，对应的三位数有1个；
故.
于是所求概率为.
故选：D.
【点睛】
本题考查了计数原理及古典概型概率公式的应用，考查了条件概率公式的应用及运算求解能力，属于中档题.
21．假定男女出生率相等，某个家庭有两个小孩，已知该家庭至少有一个女孩，则两个小孩都是女孩的概率是（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：
记事件为“至少有一个女孩”，事件为“另一个也是女孩”，分别求出、的结果个数，问题是求在事件发生的情况下，事件发生的概率，即求，由条件概率公式求解即可.
【详解】
解：一个家庭中有两个小孩只有4种可能：男，男，男，女，女，男，女，女．
记事件为“至少有一个女孩”，事件为“另一个也是女孩”，则（男，女），（女，男），（女，女），（男，女），（女，男），（女，女），（女，女）．
于是可知，．
问题是求在事件发生的情况下，事件发生的概率，即求，由条件概率公式，得．
故选：B．
【点睛】
本题的考点是条件概率与独立事件，主要考查条件概率的计算公式：，等可能事件的概率的求解公式：（其中为试验的所有结果，为基本事件的结果）.
22．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.8，在目标被击中的条件下，甲、乙同时击中目标的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：
根据题意,记甲击中目标为事件A,乙击中目标为事件B,目标被击中为事件C,由相互独立事件的概率公式,计算可得目标被击中的概率,进而计算在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率,可得答案.
【详解】
根据题意,记甲击中目标为事件A,乙击中目标为事件B,目标被击中为事件C,
则；
则在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率为.
故选：B.
【点睛】
本题考查条件概率的计算,是基础题,注意认清事件之间的关系,结合条件概率的计算公式正确计算即可.属于基础题.
23．如图，在边长为1的正方形内任取一点，用表示事件“点恰好取自曲线与直线及轴所围成的曲边梯形内”，表示事件“点恰好取自阴影部分内”，则（ ）
A．B．C．D．
答案:A
【详解】
根据题意，正方形的面积为1×1=1，
而与直线及轴所围成的曲边梯形的面积为
而阴影部分的面积为,
∴正方形中任取一点，
点取自阴影部分的概率为，
.
故选：A．
考点：几何概型，条件概率
24．.三台中学实验学校现有三门选修课，甲、乙、丙三人每人只选修一门，设事件A为“三人选修的课程都不同”，B为“甲独自选修一门”，则概率P(A|B)等于（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：
利用条件概率的计算公式即可求解.
【详解】
甲独自选修一门，则有门选修课可选，
则乙、丙只能从剩下的门选修课中选择，可能性为，
所以甲独自选修一门的可能性为，
因为三个人选修的课程都不同的可能性为.
.
故选：B
【点睛】
本题考查了条件概率的求法，考查了排列、组合的应用，属于基础题.
25．掷骰子2次，每个结果以记之，其中，，分别表示第一颗，第二颗骰子的点数，设，，则（ ）
A．B．C．D．
答案:C
分析：
根据古典概型概率计算方法,列举出A集合的所有情况,即可由条件概率求解.
【详解】
根据题意
则集合A所有可能为
,则B集合为
根据条件概率求法可得
故选:C
【点睛】
本题考查了列举法求古典概型的概率,条件概率的求法,属于基础题.
26．已知某同学在高二期末考试中，A和B两道选择题同时答对的概率为，在A题答对的情况下，B题也答对的概率为，则A题答对的概率为( )
A．B．C．D．
答案:B
分析：
根据条件概率公式计算即可.
【详解】
设事件A：答对A题，事件B：答对B题，
则，
.
.
故选：B.
【点睛】
本题考查了条件概率的计算，属于基础题.
27．设，为两个事件，若事件和同时发生的概率为，在事件发生的条件下，事件发生的概率为，则事件发生的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案:A
分析：
根据条件概率公式求解即可得答案.
【详解】
解：由题意得，，
根据条件概率的公式得：，解得.
所以事件发生的概率为.
故选：A.
【点睛】
本题考查条件概率公式，是基础题.
28．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件{两次的点数均为偶数}，{两次的点数之和小于8}，则（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：
先求出事件包含的基本事件数，以及在发生的条件下，事件包含的基本事件数，再用条件概率公式求出结果．
【详解】
由题意，事件{两次的点数均为偶数}，包含的基本事件数是共9个基本事件；
在事件发生的条件下，事件{两次的点数之和小于}， 包含的基本事件数是共个基本事件，
所以．
故选：B．
【点睛】
本题考查条件概率，考查学生的计算能力，属于基础题．
二、多选题
29．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以，，表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．事件与事件相互独立D．、、两两互斥
答案:BD
分析：
根据每次取一球，易得，，是两两互斥的事件，求得，然后由条件概率求得，，再逐项判断.
【详解】
因为每次取一球，所以，，是两两互斥的事件，故D正确；
因为，
所以，故B正确；
同理，
所以，故AC错误；
故选：BD
【点睛】
本题主要考查互斥事件，相互独立事件，条件概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
30．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：①从中任取3球，恰有一个白球的概率是；②从中有放回的取球6次，每次任取一球，恰好有两次白球的概率为；③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为；④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为. 则其中正确命题的序号是（ ）
A．①B．②C．③D．④
答案:ABD
分析：
①利用古典概型的概率求解判断.②利用独立重复实验的概率求解判断.③利用古典概型概率求解判断.④利用独立重复实验的概率求解判断.
【详解】
一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，
①从中任取3球，恰有一个白球的概率是故正确；
②从中有放回的取球6次，每次任取一球，每次抽到白球的概率为，则恰好有两次白球的概率为，故正确；
③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为，故错误；
④从中有放回的取球3次，每次任取一球，每次抽到红球的概率为：则至少有一次取到红球的概率为，故正确.
故选：ABD.
【点睛】
本题主要考查概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
31．下列有关说法正确的是（ ）
A．的展开式中含项的二项式系数为20；
B．事件为必然事件，则事件、是互为对立事件；
C．设随机变量服从正态分布，若，则与的值分别为，；
D．甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点各不相同”，事件“甲独自去一个景点”，则.
答案:CD
分析：
由二项式定理得：的展开式中含项的二项式系数为，即可判断；由对立事件与互斥事件的概念，进行判断；由正态分布的特点，即可判断；由条件概率的公式，计算即可判断.
【详解】
对于，由二项式定理得：的展开式中含项的二项式系数为，故错误；
对于，事件为必然事件，若，互斥，则事件、是互为对立事件；若，不互斥，则事件、不是互为对立事件，故错误
对于，设随机变量服从正态分布，若，则曲线关于对称，则与的值分别为，．故正确．
对于，设事件 “4个人去的景点不相同”，事件 “甲独自去一个景点”，
则（A），（B），，则，故正确；
故选：．
【点睛】
本题考查命题的真假判断和应用，考查事件的关系、条件概率的求法，考查二项式定理的判定方法和正态分布的特点，考查判断和推理能力，是中档题．
三、填空题
32．伟大出自平凡，英雄来自人民.在疫情防控一线，北京某大学学生会自发从学生会6名男生和8名女生骨干成员中选出2人作为队长率领他们加入武汉社区服务队，用表示事件“抽到的2名队长性别相同”，表示事件“抽到的2名队长都是男生”，则______.
答案:
分析：
求出,再利用条件概率求解.
【详解】
由已知得，，
则.
故答案为：
【点睛】
方法点睛：求条件概率常用的方法有：（1）；（2）；（3）转化为古典概型求解.
33．袋中有5个大小完全相同的球，其中2个黑球，3个白球.不放回地连续取两次，则已知在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为__________.
答案:
分析：
记事件为“第一次取得黑球”，事件为“第二次白球”，根据题中条件，由条件概率的计算公式，即可得出结果.
【详解】
记事件为“第一次取得黑球”，事件为“第二次白球”：则，
，
所以已知在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为
.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查求条件概率，属于基础题型.
34．从装有个红球个白球的袋子中先后取个球，取后不放回，在第一次取到红球的条件下，第二次取到红球的概率为______.
答案:
分析：
分别算出“第一次取到红球”的基本事件个数，“两次都取到红球”的个数，然后套用条件概率计算公式求解.
【详解】
设事件为 “第一次取到的是红球”， 事件为 “第一、二次都取到红球”，
则，，
所以在第一次取到红球的条件下，第二次取到红球的概率为：.
故答案为：.
【点睛】
本题考查条件概率及其计算，较简单，解答时要灵活运用条件概率的运算公式.
35．某校组织甲、乙、丙、丁、戊、己等6名学生参加演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为__________．
答案:
分析：
由条件概率计算方式，分别计算事件A：“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”的基本事件个数，其中分两类乙在最后与乙不在最后计数，与事件AB的基本事件个数，最后由公式求解即可.
【详解】
设事件A：“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”；事件B：“学生丙第一个出场”，
对事件A，甲和乙都不是第一个出场，第一类：乙在最后，则优先从中间4个位置中选一
个给甲，再将余下的4个人全排列有种；第二类：乙没有在最后，则优先从中间4
个位置中选两个给甲乙，再将余下的4个人全排列有种，故总的有.
对事件AB，此时丙第一个出场，优先从除了甲以外的4人中选一人安排在最后，再将余下的4人全排列有种
故.
故答案为：
【点睛】
本题考查条件概率实际应用，属于中档题.
36．已知，，则__________.
答案:
分析：
直接根据条件概率公式计算即可得答案.
【详解】
解：根据条件概率公式和已知条件，，
所以.
故答案为：
【点睛】
本题考查条件概率公式的应用，是基础题.
37．某盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为_______．
答案:
分析：
直接利用条件概率公式计算得到答案.
【详解】
记第一次摸出新球为事件A，第二次取到新球为事件B，
则.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了条件概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.
38．据统计，连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0.055，连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为0.19.现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为______.
答案:
分析：
由对立设事件的概率分别得到连续熬夜48小时和连续熬夜72小时未诱发心脏病的概率，再利用条件概率公式求解.
【详解】
设事件为发病，事件为发病，
由题意可知：，，
则，，
由条件概率公式可得：.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查对立事件和条件概率的求法，属于基础题.
39．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6．已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率为______________．
答案:
分析：
记事件A：某天的空气质量为优，事件B：第二天的空气也为优，由题意可得，，再由条件概率公式即可得解.
【详解】
记事件A：某天的空气质量为优，事件B：第二天的空气也为优，
由题意，，则.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了条件概率的求解，属于基础题.
40．为了营造勤奋读书、努力学习、奋发向上的文化氛围，提高学生的阅读兴趣，某校开展了“朗读者”闯关活动，各选手在第一轮要进行诗词朗读的比拼，第二轮进行诗词背诵的比拼.已知某学生通过第一关的概率为，在已经通过第一关的前提下通过第二关的概率为，则该同学两关均通过的概率为______.
答案:
分析：
根据条件概率公式，计算求值即可.
【详解】
设该学生通过第一关为事件，通过第二关为事件，
在通过第一关的前提下通过第二关的概率为，
因为，
所以.
【点睛】
本题考查条件概率的计算，考查逻辑分析，运算求解的能力，属基础题.
41．设，，则等于________．
答案:
分析：
由可判断出,进而可求.
【详解】
解:
. .
故答案为:.
【点睛】
本题考查了条件概率.易错点是对条件概率公式不熟练,记错公式.
42．已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率_______
答案:
分析：
记“三人中至少有两人解答正确”为事件A，“甲解答不正确”为事件B，利用二项分布求得，然后利用条件概率公式求解.
【详解】
记“三人中至少有两人解答正确”为事件A，“甲解答不正确”为事件B，
则，
，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查条件概率的求法，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.
43．近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为______.
答案:
分析：
记“某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电”为事件A，“他的车能够充电2500次”为事件B，即求条件概率：，由条件概率公式即得解.
【详解】
记“某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电”为事件A，“他的车能够充电2500次”为事件B，
即求条件概率：
故答案为：
【点睛】
本题考查了条件概率的应用，考查了学生概念理解，数学应用，数学运算的能力，属于基础题.
四、解答题
44．田忌赛马的故事出自《史记》中的《孙子吴起列传》.齐国的大将田忌很喜欢赛马，有一回，他和齐威王约定，要进行一场比赛.双方各自有三匹马，马都可以分为上，中，下三等.上等马都比中等马强，中等马都比下等马强，但是齐威王每个等级的马都比田忌相应等级的马强一些，比赛共三局，每局双方分别各派一匹马出场，且每匹马只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛胜利，在比赛之前，双方都不知道对方马的出场顺序.
（1）求在第一局比赛中田忌胜利的概率：
（2）若第一局齐威王派出场的是上等马，而田忌派出场的是下等马，求本场比赛田忌胜利的概率；
（3）写出在一场比赛中田忌胜利的概率（直接写出结果）.
答案:（1）；（2）；（3）.
分析：
（1）首先将田忌的三匹马按照上、中、下三等分别记为、、，齐威王的三匹马按照上、中、下三等分别记为、、，列出第一局双方参赛的马匹的全部情况，再找到田忌胜利的情况，即可得到答案.
（2）首先设事件“第一局齐威王派出场的是上等马，而田忌派出场的是下等马”，事件“田忌获得本场比赛胜利”，列举出事件，的个数，利用条件概率公式即可的得到答案.
（3）根据题意直接写出答案即可.
【详解】
将田忌的三匹马按照上、中、下三等分别记为、、，
齐威王的三匹马按照上、中、下三等分别记为、、，
并且用马的记号表示该马上场比赛.
（1）设事件“第一局双方参赛的马匹”，事件“在第一局比赛中田忌胜利”，
由题意得，
，
则在第一局比赛中田忌胜利的概率是.
（2）设事件“第一局齐威王派出场的是上等马，而田忌派出场的是下等马”，
事件“田忌获得本场比赛胜利”，
由题意得，
，
则本场比赛田忌胜利的概率是.
（3）.
【点睛】
本题主要考查古典概率的求法，同时考查了条件概率，考查学生分析问题的能力，属于中档题.
45．2020年初，武汉出现新型冠状病毒肺炎疫情，并快速席卷我国其他地区，口罩成了重要的防疫物资.某口罩生产厂不断加大投入，高速生产，现对其2月1日~2月9日连续9天的日生产量（单位：十万只，）数据作了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量的值：
注：图中日期代码1~9分别对应2月1日~2月9日；表中，.
（1）从9个样本点中任意选取2个，在2个点的日生产量都不高于三十万只的条件下，求2个都高于二十万只的概率；
（2）由散点图分析，样本点都集中在曲线的附近，请求y关于t的方程，并估计该厂从什么时候开始日生产量超过四十万只.
参考公式：回归直线方程是，，.
参考数据：.
答案:（1）；（2），从2月14日开始日生产量超过四十万只.
分析：
（1）设出事件，利用条件概率的概率公式即可求出概率.
（2）由，可得，即，利用已知数据求出、的值，再，两边同时求导即可.
【详解】
（1）9个样本点中日生产量都不高于三十万只的有5个，高于二十万只且不高于三十万只的有3个，
设事件A：所取2个点的日生产量都不高于三十万只，
事件B：所取2个点的日生产量高于二十万只，
事件：所取2个点的日生产量高于二十万只且不高于三十万只，
则，，
.
（2），，
，，
，
.
令，解得，
，即该厂从2月14日开始日生产量超过四十万只.
【点睛】
本题主要考查了求条件概率，以及求非线性回归方程，属于中档题.
2.72
19
139.09
1095
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