高一数学一隅三反系列(人教A版必修第一册)2.2基本不等式(精练)(原卷版+解析)

这是一份高一数学一隅三反系列(人教A版必修第一册)2.2基本不等式(精练)(原卷版+解析)，共25页。

A．3B．C．D．
2．（2022·广东茂名·高一期末）若a，b都为正实数且，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·广东·深圳市高级中学高一期末）设正实数满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·浙江杭州·高一期末）若为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．
5．（2022·广东深圳·高一期末）已知，则的最大值为（ ）
A．B．C．0D．2
6．（2022·北京通州·高一期末）已知函数，则（ ）
A．当且仅当时，有最小值为
B．当且仅当时，有最小值为
C．当且仅当时，有最大值为
D．当且仅当时，有最大值为
7．（2022·北京东城·高一期末）已知实数x，y满足，那么的最大值为（ ）
A．B．C．1D．2
8．（2022·北京丰台·高一期末）已知a>0，那么的最小值是（ ）
A．B．C．D．
9．（2022·上海浦东新·高一期末）任意，下列式子中最小值为2的是（ ）
A．B．
C．D．
2 常数代换型
1．（2022·四川省）已知，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·河南信阳·高一期末）设，且，则的最小值是（ ）
A．B．8C．D．16
3．（2022·河南新乡·高一期末）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．24B．25C．26D．27
4．（2022·云南·会泽县实验高级中学校高一开学考试）已知a，b＞0，且a＋2b＝1，则的最小值为（ ）
A．6B．8C．9D．10
5．（2022·山东泰安·模拟预测）已知，则的最小值是（ ）
A．2B．C．D．3
6．（2022·甘肃·永昌县）（多选）已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则对于，下列说法准确的是（ ）
A．取得最小值时a＝B．最小值是5
C．取得最小值时b＝D．最小值是
7．（2022·江苏淮安·高一期末）已知实数x，y>0，且，则的最小值是________．
8．（2022·江西南昌·高一期末）当时，函数的最小值为___________．
3 配凑型
1．（2022·四川·树德中学高一阶段练习）若，则函数的最小值为（ ）
A．4B．6C．D．
2．（2021·辽宁·沈阳市第五中学）已知正实数x，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·浙江省乐清中学）已知实数，则的最小值是（ ）
A．1B．C．2D．
4．（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）已知正数，则的最大值为_________．
5．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）已知，则的最小值为___ .
6．（2022·重庆·高一期末）已知，且，则的最小值为____________.
4 消元型
1．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））已知，满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．2D．2
2．（2021·江苏·常州市北郊高级中学）已知，且，则最大值为______．
3．（2022·浙江）已知，若，则的最大值为_______．
4（2021·浙江高三期末）已知实数x，y满足x2+xy=1，则y2﹣2xy的最小值为___________.
5（2022云南）．若正实数，满足，则的最小值为______.
6．（2021·全国高三）已知，，且，则的最小值为
7（2022年福建）.若正数满足，则的最小值是 。
5 求参数
1．（2022·河南新乡·高一期中）已知，，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2022·河南）若对任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·河南·虞城县高级中学高一期末）若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知，若不等式恒成立，则的最大值为________．
5．（2022·江苏·高一）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是______．
6．（2021·河南·高一阶段练习）已知x、y为两个正实数，且不等式恒成立，则实数a的取值范围是______．
7．（2022·广东·深圳科学高中高一期中）若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．
8．（2022·全国·高一）已知函数f(x)＝4x＋ (x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.
6 综合运用
1．（2022·陕西安康·高一期中）若，，，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·新疆·乌苏市第一中学高一开学考试）下列函数，最小值为2的函数是（ ）
A．B．
C．D．
3（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知，则（ ）
A．的最大值为
B．的最小值为4
C．的最小值为
D．的最小值为16
4．（2022·辽宁朝阳·高一开学考试）（多选）设正实数､满足，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·贵州·赫章县教育研究室高一期末）（多选）若正实数a，b满足，则下列说法错误的是（ ）
A．有最小值B．有最大值
C．有最小值4D．有最小值
6．（2022·福建龙岩·高一期末）（多选）设，且，则下列不等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2022·贵州六盘水·高一期中）（多选）若x，．且，则（ ）
A．B．
C．D．
8．（2022·江苏·高二课时练习）做一个容积为的方底无盖水箱，求它的高为何值时最省料．
2.2 基本不等式（精练）
1 直接型
1．（2022·江西）当时，的最小值为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】D
【解析】由（当且仅当时等号成立．）
可得当时，的最小值为故选：D
2．（2022·广东茂名·高一期末）若a，b都为正实数且，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，都为正实数，，所以，
当且仅当，即时，取最大值.故选：D
3．（2022·广东·深圳市高级中学高一期末）设正实数满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由基本不等式可得，即，解得，
当且仅当，即，时，取等号，故选：C.
4．（2022·浙江杭州·高一期末）若为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】D
【解析】因为为正实数，，所以，
当且仅当，即，时取等号.所以的最小值为.故选：D
5．（2022·广东深圳·高一期末）已知，则的最大值为（ ）
A．B．C．0D．2
【答案】C
【解析】时，（当且仅当时等号成立）
则，即的最大值为0.故选：C
6．（2022·北京通州·高一期末）已知函数，则（ ）
A．当且仅当时，有最小值为
B．当且仅当时，有最小值为
C．当且仅当时，有最大值为
D．当且仅当时，有最大值为
【答案】A
【解析】因为，所以，当且仅当即时等号成立.故选：A.
7．（2022·北京东城·高一期末）已知实数x，y满足，那么的最大值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【解析】由，可得，当且仅当或时等号成立.故选：C.
8．（2022·北京丰台·高一期末）已知a>0，那么的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为a>0，所以，
当且仅当，即时，等号成立，故选：D
9．（2022·上海浦东新·高一期末）任意，下列式子中最小值为2的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】A.当时，，排除；
B.，当且仅当时等号成立，符合；
C.，当且仅当时等号成立，排除；
D. ，当且仅当时等号成立，故等号不能成立，则，排除.故选：B.
2 常数代换型
1．（2022·四川省）已知，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，，
所以（当且仅当，即时取等号），
即的最小值为4.故选：D.
2．（2022·河南信阳·高一期末）设，且，则的最小值是（ ）
A．B．8C．D．16
【答案】B
【解析】由题意，故
则
当且仅当，即时等号成立故选：B
3．（2022·河南新乡·高一期末）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．24B．25C．26D．27
【答案】B
【解析】因为，，且，
所以，
当且仅当，即，，等号成立．所以的最小值为25，故选：B
4．（2022·云南·会泽县实验高级中学校高一开学考试）已知a，b＞0，且a＋2b＝1，则的最小值为（ ）
A．6B．8C．9D．10
【答案】C
【解析】∵a＋2b＝1，∴＝＝9，
当且仅当时即时等号成立,故选：C.
5．（2022·山东泰安·模拟预测）已知，则的最小值是（ ）
A．2B．C．D．3
【答案】A
【解析】由，得，
即，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是2.故选：A.
6．（2022·甘肃·永昌县）（多选）已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则对于，下列说法准确的是（ ）
A．取得最小值时a＝B．最小值是5
C．取得最小值时b＝D．最小值是
【答案】AD
【解析】，当且仅当，
即时取等号.故AD正确，BC错误.故选：AD.
7．（2022·江苏淮安·高一期末）已知实数x，y>0，且，则的最小值是________．
【答案】
【解析】∵x，y>0，且，∴，
∴，
当且仅当，即时取等号，
∴的最小值是，故答案为：
8．（2022·江西南昌·高一期末）当时，函数的最小值为___________．
【答案】
【解析】因为，则，则，
当且仅当时，等号成立，所以，当时，函数的最小值为.
故答案为：.
3 配凑型
1．（2022·四川·树德中学高一阶段练习）若，则函数的最小值为（ ）
A．4B．6C．D．
【答案】B
【解析】因为.所以.
当且仅当“”即时取“=”.故选：B.
2．（2021·辽宁·沈阳市第五中学）已知正实数x，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，又因为，所以，
所以，当且仅当时，即时等号成立，
所以，即y的最大值是.故选：D.
3．（2022·浙江省乐清中学）已知实数，则的最小值是（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
所以，
，
当且仅当，即时取等号，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是2，故选：C
4．（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）已知正数，则的最大值为_________．
【答案】
【解析】（当且仅当，时取等号），的最大值为.故答案为：.
5．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）已知，则的最小值为___ .
【答案】1
【解析】因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，，
令，因为在上递增，所以，故答案为：1
6．（2022·重庆·高一期末）已知，且，则的最小值为____________.
【答案】
【解析】由题意得：，
当且仅当 时取得等号，故答案为：
4 消元型
1．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））已知，满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．2D．2
【答案】D
【解析】由，得，而，则有，
因此，，当且仅当，即时取“=”，
所以的最小值为2.故选：D
2．（2021·江苏·常州市北郊高级中学）已知，且，则最大值为______．
【答案】
【解析】由且，可得，代入，
又，
当且仅当，即，
又，可得，时，不等式取等，即的最大值为，故答案为：．
3．（2022·浙江）已知，若，则的最大值为_______．
【答案】
【解析】由条件可知，则，
，，
，设，
，
当，即时，等号成立，
所以的最大值是.
故答案为：
4（2021·浙江高三期末）已知实数x，y满足x2+xy=1，则y2﹣2xy的最小值为___________.
【答案】
【解析】由x2+xy=1，得，
所以，
当且仅当 时取等号.
故答案为：.
5（2022云南）．若正实数，满足，则的最小值为______.
【答案】
【解析】由可得
当且仅当时，等号成立.
则的最小值为
故答案为：
6．（2021·全国高三）已知，，且，则的最小值为
【答案】
【解析】因为，所以，
因为，，所以，得，
所以，
记，所以，
所以，且，
所以
，当且仅当即等号成立，
此时 ， .
7（2022年福建）.若正数满足，则的最小值是 。
【答案】4
【解析】因为正数满足，所以，
所以，当且仅当，即时，等号成立
5 求参数
1．（2022·河南新乡·高一期中）已知，，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由题意得，
所以
（当且仅当，即，时，等号成立），所以.
由推得出，由推不出，
故“”是“”的充分不必要条件.故选：A
2．（2022·河南）若对任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】依题意得，当时， 恒成立，
又因为，当且仅当时取等号，所以，的最大值为，
所以，解得的取值范围为．故选：B
3．（2022·河南·虞城县高级中学高一期末）若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意可得，对于任意实数恒成立，则只需求的最大值即可，，设，则，再设，则，当且仅当时取得“=”.所以，即实数a的最小值为.故选：D.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知，若不等式恒成立，则的最大值为________．
【答案】
【解析】由得．
又，当且仅当，即当时等号成立，
∴，∴的最大值为．故答案为：
5．（2022·江苏·高一）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是______．
【答案】或
【解析】不等式有解，，
，，且，，
当且仅当，即，时取“”，，
故，即，解得或，故答案为：或．
6．（2021·河南·高一阶段练习）已知x、y为两个正实数，且不等式恒成立，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】因为x、y为两个正实数，由可得，
因为，
当且仅当时，等号成立．所以，因此，实数a的取值范围是,故答案为：
7．（2022·广东·深圳科学高中高一期中）若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】根据题意先求得最小值，由，
得，
所以若要不等式恒成立，只要，即，
解得，所以.故答案为：
8．（2022·全国·高一）已知函数f(x)＝4x＋ (x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.
【答案】36
【解析】f(x)＝4x＋ (x＞0，a＞0)在(0，]上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝时取得最小值，由题意知＝3，∴a＝36.故答案为：
6 综合运用
1．（2022·陕西安康·高一期中）若，，，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】对于选项A：∵，当且仅当时取等号，∴A错误；
对于选项B： ，，∴B错误；
对于选项C ：，
因为 ∴C错误；对于选项D：∵，当且仅当时取等号，
∴，D正确；故选：D
2．（2022·新疆·乌苏市第一中学高一开学考试）下列函数，最小值为2的函数是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】对A，可取负数，故A错误；
对B，，故B错误；
对C，，故C错误；
对D，，等号成立当且仅当，故D正确；故选：D
3（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知，则（ ）
A．的最大值为
B．的最小值为4
C．的最小值为
D．的最小值为16
【答案】BCD
【解析】由得：，
因为，所以，所以，
由基本不等式可得：
当且仅当时，等号成立，此时，
解得：或，
因为，所以舍去，故的最大值为2，A错误；
由得：，
因为，所以，所以，
由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，
即，解得：或，
因为，所以舍去，
故的最小值为4，B正确；
由变形为，则，
由基本不等式得：，当且仅当时等号成立，
此时，令，则由，
解得：或（舍去）
所以的最小值为，C正确；
由可得：，
从而
当且仅当时，即，等号成立，
故最小值为16.
故选：BCD，
4．（2022·辽宁朝阳·高一开学考试）（多选）设正实数､满足，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】对于A中，由，
可得，当且仅当时，等号成立，所以A正确；
对于B中，由基本不等式得，所以，解得，所以B正确；对于C中，由基本不等式可得，
因为，故，当且仅当时，等号成立，所以C错误；
对于D中，由正实数满足，则，
可得，故，所以D正确.
故选：ABD.
5．（2022·贵州·赫章县教育研究室高一期末）（多选）若正实数a，b满足，则下列说法错误的是（ ）
A．有最小值B．有最大值
C．有最小值4D．有最小值
【答案】AD
【解析】选项A：由（当且仅当时等号成立），
得，故有最大值.判断错误；
选项B：
（当且仅当时等号成立），
则，则有最大值.判断正确；
选项C：（当且仅当时等号成立），
故有最小值4，判断正确；
选项D：（当且仅当时等号成立），
所以有最小值.判断错误.
故选：AD.
6．（2022·福建龙岩·高一期末）（多选）设，且，则下列不等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】对于选项A，因为，且，则，
由，则，即，解得，故A正确，
对于选项B，因为，所以，当且仅当时取等号，此时，解得，故B错误；
对于选项C，，且，则，即，由选项B可得：，当且仅当时取等号，故C正确；
选项D：因为 ，当且仅当时取等号，故D错误.
故选：AC．
7．（2022·贵州六盘水·高一期中）（多选）若x，．且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于A，若，，，当且仅当时等号成立，A正确；
对于B，，
，，B正确；
对于C，，当且仅当时等号成立，C错误；
对于D，，则有，变形可得，
故，当且仅当时，取等号，故D正确；
故选：ABD．
8．（2022·江苏·高二课时练习）做一个容积为的方底无盖水箱，求它的高为何值时最省料．
【答案】
【解析】设此水箱的高为x，底面棱长为a，则a2x＝256，
其表面积S＝4ax+a2a2a2≥3×26＝192．
当且仅当a＝8即h4时，S取得最小值．
答：它的高为4 dm时最省料．