高一数学一隅三反系列(人教A版必修第一册)2.2基本不等式(精讲)(原卷版+解析)

这是一份高一数学一隅三反系列(人教A版必修第一册)2.2基本不等式(精讲)(原卷版+解析)，共23页。试卷主要包含了配凑型，消元型，求参数，综合运用等内容，欢迎下载使用。


考点一 直接型
【例1-1】（2022·新疆喀什）已知，则下列说法正确的是（ ）
A．有最大值0B．有最小值为0
C．有最大值为－4D．有最小值为－4
【例1-2】（2022·河南南阳）已知，且，则的最大值为（ ）
A．2B．5C．D．
【一隅三反】
1．（2022·河南驻马店·高一期末）已知a>0，则当取得最小值时，a的值为（ ）
A．B．C．D．3
2．（2022·江苏连云港·高一期末）函数的最大值是（ ）
A．7B．C．9D．
3．（2022·北京大兴·高一期末）当时，的最大值为（ ）
A．B．C．D．
考点二 常数代换型
【例2-1】（2022·浙江）已知 x，y＞0，当x+y＝2时，求的最小值（ ）
A．B．C．D．
【例2-2】（2022·安徽省舒城中学高一阶段练习）若，则的最小值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【例2-3】（2022·广西·桂林中学高一期中）若，，则的最小值为__________.
【一隅三反】
1．（2022·江西）已知，，且，则的最小值是（ ）
A．B．2C．9D．4
2．（2022·江苏镇江）已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A．8B．12C．D．
3．（2022·全国·高一期末）设，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·河北廊坊·高一期末）（多选）已知，且，则的取值可以是（ ）
A．8B．9C．11D．12
考点三 配凑型
【例3-1】（2022·广东·梅州市）已知，则的最小值是( )
A．5B．4C．8D．6
【例3-2】（2022·福建）函数有（ ）
A．最大值B．最小值C．最大值2D．最小值2
【例3-3】（2022·湖北·高一阶段练习）已知，且，则的最小值是（ ）
A．6B．8C．14D．16
【例3-4】（2022·河南）设，为正数，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2022·安徽省）已知x>3，则对于，下列说法正确的是（ ）
A．y有最大值7B．y有最小值7C．y有最小值4D．y有最大值4
2．（2022·吉林松原）若，则的最小值为（ ）
A．4B．5C．6D．8
3．（2022·四川·树德中学高一阶段练习）已知正实数满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
考点四 消元型
【例4】（2022·浙江·镇海中学模拟预测）若正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．3B．C．D．
【一隅三反】
1．（2022·浙江浙江·高一期中）已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（2022·湖南师大附中）（多选）若，，，则的可能取值有（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·湖北·石首市第一中学）若，且，则的最小值为_________．
考点五 求参数
【例5】（2022·四川·威远中学校）当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2022·山西·怀仁市）已知，且，若有解，则实数m的取值范围为（ ）
A．（-∞，1）∪（9，+∞）B．（9，1）C．[9，1]D．（1，9）
2．（2021·江苏·高一专题练习）已知实数x、y满足，且不等式恒成立，则c的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·浙江·杭州市富阳区江南中学高一开学考试）已知，若不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A．13B．14C．15D．16
考点六 综合运用
【例6-1】（2022·浙江丽水）（多选）已知是正实数，若，则（ ）
A．的最大值是 B．的最小值是
C．的最小值是 D．的最小值是
【例6-2】（2021广东）如图，在半径为4(单位：cm)的半圆形(O为圆心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其顶点A，B在直径上，顶点C，D在圆周上，则矩形ABCD面积的最大值为________(单位：cm2)．
【一隅三反】
1．（2022·海南）（多选）已知，是正实数，则下列选项正确的是（ ）
A．若，则有最小值2
B．若，则有最大值5
C．若，则有最大值
D．有最小值
2（2022·福建泉州·高一期末）（多选）若正实数a，b满足，则（ ）
B．
C．D．
3.（2022年广西）某农业科研单位打算开发一个生态渔业养殖项目，准备购置一块1 800平方米的矩形地块(如图所示)，中间挖三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，池塘所占面积为S平方米，其中a∶b＝1∶2.
(1)试用x，y表示S；
(2)若要使S最大，则x，y的值分别为多少？
2.2 基本不等式（精讲）
考点一 直接型
【例1-1】（2022·新疆喀什）已知，则下列说法正确的是（ ）
A．有最大值0B．有最小值为0
C．有最大值为－4D．有最小值为－4
【答案】B
【解析】由题意，，由均值不等式，当且仅当，即时等号成立
故，有最小值0故选：B
【例1-2】（2022·河南南阳）已知，且，则的最大值为（ ）
A．2B．5C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，当且仅当时，等号成立.
所以的最大值为.故选：D
【一隅三反】
1．（2022·河南驻马店·高一期末）已知a>0，则当取得最小值时，a的值为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】C
【解析】∵a>0，∴，当且仅当，即时，等号成立，故选：C
2．（2022·江苏连云港·高一期末）函数的最大值是（ ）
A．7B．C．9D．
【答案】B
【解析】由题意可得函数的定义域为，则，
所以，
当且仅当，即时，取等号，所以函数的最大值是，故选：B
3．（2022·北京大兴·高一期末）当时，的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，，又，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为故选：B
考点二 常数代换型
【例2-1】（2022·浙江）已知 x，y＞0，当x+y＝2时，求的最小值（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题，，当且仅当，即，即时取等号故选：C
【例2-2】（2022·安徽省舒城中学高一阶段练习）若，则的最小值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【解析】因为，所以，
∴，
当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为1.故选：D.
【例2-3】（2022·广西·桂林中学高一期中）若，，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】由得，则有，有，同理可得，
由两边除以xy得：，于是得：
，当且仅当时取“=”，
由解得：，所以当时，取得最小值.
故答案为：
【一隅三反】
1．（2022·江西）已知，，且，则的最小值是（ ）
A．B．2C．9D．4
【答案】A
【解析】由题意可得．因为，，所以，则，当且仅当，时，等号成立．故选：A
2．（2022·江苏镇江）已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A．8B．12C．D．
【答案】B
【解析】由已知，，均为正数，，故，即，所以，当且仅当时等号成立.故选：B.
3．（2022·全国·高一期末）设，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，，（当且仅当，即时取等号），的最小值为.故选：C.
4．（2022·河北廊坊·高一期末）（多选）已知，且，则的取值可以是（ ）
A．8B．9C．11D．12
【答案】CD
【解析】因为，所以，则.
因为，所以，
所以（当且仅当时，等号成立），
则.因为，所以，即.故选：CD
考点三 配凑型
【例3-1】（2022·广东·梅州市）已知，则的最小值是( )
A．5B．4C．8D．6
【答案】A
【解析】∵，∴，∴，
当且仅当，即时等号成立，∴的最小值是5．故选：A．
【例3-2】（2022·福建）函数有（ ）
A．最大值B．最小值C．最大值2D．最小值2
【答案】D
【解析】（方法1），，则，当且仅当，即时，等号成立.
（方法2）令，，，.
将其代入，原函数可化为，当且仅当，即时等号成立，此时.故选：D
【例3-3】（2022·湖北·高一阶段练习）已知，且，则的最小值是（ ）
A．6B．8C．14D．16
【答案】A
【解析】因为，所以.因为，所以，所以，即，当且仅当时，等号成立，故的最小值是6.故选：A
【例3-4】（2022·河南）设，为正数，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵，∴，即，
∴
，当且仅当，且时，即
，时等号成立.故选：.
【一隅三反】
1．（2022·安徽省）已知x>3，则对于，下列说法正确的是（ ）
A．y有最大值7B．y有最小值7C．y有最小值4D．y有最大值4
【答案】B
【解析】因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以有最小值；故选：B
2．（2022·吉林松原）若，则的最小值为（ ）
A．4B．5C．6D．8
【答案】C
【解析】因为，所以，所以，
当且仅当，即时等号成立，故，的最小值为6．故选：C．
3．（2022·四川·树德中学高一阶段练习）已知正实数满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以
，
当且仅当时，取等号，的最小值是.故选：D
考点四 消元型
【例4】（2022·浙江·镇海中学模拟预测）若正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】C
【解析】因为正实数x，y满足，所以.
所以，
当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是，故选：C．
【一隅三反】
1．（2022·浙江浙江·高一期中）已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】根据题意可得，
由，所以，
由，可得，即，
，
当且仅当，时取等号，
所以的最小值为.
故选：B.
2．（2022·湖南师大附中）（多选）若，，，则的可能取值有（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【解析】原式
（当且仅当，时取等号）.故选：CD.
3．（2022·湖北·石首市第一中学）若，且，则的最小值为_________．
【答案】3
【解析】因为，所以，
，当且仅当时，等号成立．
故答案为：3．
考点五 求参数
【例5】（2022·四川·威远中学校）当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当时，不等式恒成立，对均成立．
由于，当且仅当时取等号，
故的最小值等于3，，则实数a的取值范围是．故选：D．
【一隅三反】
1．（2022·山西·怀仁市）已知，且，若有解，则实数m的取值范围为（ ）
A．（-∞，1）∪（9，+∞）B．（9，1）C．[9，1]D．（1，9）
【答案】A
【解析】因为，且，
所以，
当且仅当，即时取等号，此时的最小值为9，
因为有解，所以，即，
解得或，故选：A
2．（2021·江苏·高一专题练习）已知实数x、y满足，且不等式恒成立，则c的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，，当且仅当时“”成立，
又不等式恒成立，，的取值范围是．故选：B．
3．（2022·浙江·杭州市富阳区江南中学高一开学考试）已知，若不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A．13B．14C．15D．16
【答案】D
【解析】因为，所以，所以恒成立，只需
因为，所以，
当且仅当时，即时取等号.所以.即的最大值为16.故选：D
考点六 综合运用
【例6-1】（2022·浙江丽水）（多选）已知是正实数，若，则（ ）
A．的最大值是 B．的最小值是
C．的最小值是 D．的最小值是
【答案】AB
【解析】正实数，满足，由基本不等式得，，
当且仅当且，即，时取等号，解得，，正确；
，
当且仅当时取等号此时取得最小值2，正确；
∵，∴，
当时，的最小值为，错误；
当且仅当时取等号，此时，不符合题意，故等号取不到，即的最小值大于，故D错误.故选：AB
【例6-2】（2021广东）如图，在半径为4(单位：cm)的半圆形(O为圆心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其顶点A，B在直径上，顶点C，D在圆周上，则矩形ABCD面积的最大值为________(单位：cm2)．
【答案】16
【解析】如图所示，连接OC，设OB＝x(0【一隅三反】
1．（2022·海南）（多选）已知，是正实数，则下列选项正确的是（ ）
A．若，则有最小值2 B．若，则有最大值5
C．若，则有最大值 D．有最小值
【答案】AC
【解析】对于A，，，，
，当且仅当，即时取等号，则有最小值2，故A正确；
对于B，，，，，
当且仅当，即时取等号，则有最大值4，故B错误；
对于C，，，，
，
当且仅当，即时取等号，则则有最大值，故C正确；
对于D，当时，，故D错误；故选：AC
2（2022·福建泉州·高一期末）（多选）若正实数a，b满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【解析】依题意，正实数满足，
所以，当且仅当时等号成立，所以A选项错误.
，当且仅当时等号成立，所以B选项正确.
，当且仅当时等号成立，所以C选项错误.
，
当且仅当时等号成立，所以D选项正确.
故选：BD
3.（2022年广西）某农业科研单位打算开发一个生态渔业养殖项目，准备购置一块1 800平方米的矩形地块(如图所示)，中间挖三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，池塘所占面积为S平方米，其中a∶b＝1∶2.
(1)试用x，y表示S；
(2)若要使S最大，则x，y的值分别为多少？
【答案】（1）y=1 832－6x－eq \f(16,3)y(6【解析】(1)由题意得，xy＝1 800，b＝2a，则y＝a＋b＋6＝3a＋6，
S＝a(x－4)＋b(x－6)＝a(x－4)＋2a(x－6)＝(3x－16)a＝(3x－16)×eq \f(y－6,3)＝xy－6x－eq \f(16,3)y＋32＝1 832－6x－eq \f(16,3)y，
其中6(2)由(1)可知，6当且仅当6x＝eq \f(16,3)y时等号成立，∴S＝1 832－6x－eq \f(16,3)y≤1 832－480＝1 352，
此时9x＝8y，xy＝1 800，解得x＝40，y＝45，即x为40，y为45.