高一数学一隅三反系列(人教A版必修第一册)3.1函数的概念及表示(精讲)(原卷版+解析)

这是一份高一数学一隅三反系列(人教A版必修第一册)3.1函数的概念及表示(精讲)(原卷版+解析)，共33页。试卷主要包含了区间的表示，函数概念的辨析，函数的定义域，相等函数的判断，分段函数等内容，欢迎下载使用。

考点一 区间的表示
【例1-1】（2022·全国·高一专题练习）将下列集合用区间表示出来．
(1)； (2)； (3)； (4)或．
【例1-2】（2022广东）若函数的定义域为，值域为，则a的取值范围是________.
【方法总结】
用区间表示数集的原则有
①数集是连续的；②左小右大；③区间的一端是开或闭不能弄错；
用区间表示数集的方法：区间符号里面的两个数字(或字母)之间用“，”隔开；
（3）用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别．
【一隅三反】
1．（2021·全国高一课时练习）用区间表示下列集合：
（1）______；（2）______；（3）______．
2．（2022·江苏·高一）下列集合不能用区间的形式表示的个数为（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．2B．3C．4D．5
2．（2021·安徽）已知为一个确定的区间，则a的取值范围是________.
考点二 函数概念的辨析
【例2-1】（2022·湖南·高一课时练习）设集合，，那么下列四个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③D．②
【例2-2】（2022·四川省）下列是从集合A到集合B的函数的是（ ）
A．，对应法则
B．，，对应法则
C．，对应法则
D．，，对应法则
【一隅三反】
1．（2022·全国·高一专题练习）下列图形中，不能表示以为自变量的函数图象的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·江苏·高一）如图，设，，表示A到B的函数的是__________填序号．
3．（2021·云南）有对应法则f：
（1）A＝{0，2}，B＝{0，1}，x→；
（2）A＝{－2，0，2}，B＝{4}，x→x2；
（3）A＝R，B＝{y|y＞0}，x→；
（4）A＝R，B＝R，x→2x＋1；
（5）A＝{(x，y)|x，y∈R}，B＝R，(x，y)→x＋y.
其中能构成从集合A到集合B的函数的有________(填序号)．
考点三 函数的定义域
【例3-1】（2022·江苏·高一）函数的定义域为（ ）．
A．B．
C．D．
【例3-2】（2022·广东）（1）已知的定义域为，求函数的定义域；
（2）已知的定义域为，求的定义域；
（3）已知函数的定义域为，求函数的定义域．
(4）已知函数的定义域为，则函数的定义域为
【例3-3】（1）（2022·新疆）若函数的定义域为R，则a的范围是（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·广东·广州市白云中学高一期中）已知的定义域是R，则实数a的取值范围是( )
A．B．
【一隅三反】
1．（2022·江苏·高一）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·高一阶段练习）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·江苏·高一）已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全国·高一）已知函数的定义域为，则函数的定义城是________.
5．（2022·江苏·高一）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________.
6．（2021·江苏）已知函数，若的定义域为，则的取值范围是________．
7．（2022·湖南）函数的定义域为，若，则的取值范围是__________．
8．（2022·青海）已知函数的定义域为，求实数的取值范围 .
考点四 函数的表示方法
【例5-1】（2022·全国·专题练习）已知函数，部分与的对应关系如表：则（ ）
A．B．C．D．
【例5-2】（2022·北京）（1）已知，求的解析式；
（2）已知，求函数的解析式；
（3）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；
（4）已知，求函数的解析式；
（5）已知是上的函数，，并且对任意的实数x，y都有，求函数的解析式．
【例5-3】（2022·黑龙江）作出下列函数的大致图像
（1）； （2）；（3）；（4）；（5）．
【一隅三反】
1．（2022·河南）已知函数，用列表法表示如下：
则（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·高一专题练习）根据下列条件，求函数的解析式；
（1）已知是一次函数，且满足；
（2）已知函数为二次函数，且，求的解析式；
（3）已知；
（4）已知等式对一切实数､都成立，且；
（5）知函数满足条件对任意不为零的实数恒成立；
（6）已知，求的解析式．
3．（2021·全国·高一课时练习）把下列函数写成分段函数的形式，求出定义域和值域并作出函数图像：
（1）； （2）.
考点五 相等函数的判断
【例5】（2022·全国·高一专题练习）下面各组函数中是同一函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
【一隅三反】
1（2022·云南）下列四组函数中，表示相等函数的一组是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．（2022·全国·高一）下列函数中与函数是同一函数的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·江苏·高一）下列各组函数的图象相同的是（ ）
A． B．
C．D．
考点六 分段函数
【例6-1】（2022·江苏·高一）函数f(x)＝若f(x)＝2，则x的值是( )
A．B．±C．0或1D．
【例6-2】（2022·新疆）已知函数，若，则a的值是（ ）
A．3或B．或4C．D．3或或4
【一隅三反】
1．（2022·河南信阳）已知函数
(1)求的值；
(2)若，求x的值.
2．（2022·浙江）已知
（1）画出的图象；
（2）若，求x的取值范围；
（3）求的值域.
3（2022·江西）已知函数
（1）在坐标系中作出函数的图象；
（2）若，求a的取值集合.
3.1 函数的概念及表示（精讲）
考点一 区间的表示
【例1-1】（2022·全国·高一专题练习）将下列集合用区间表示出来．
(1)； (2)； (3)； (4)或．
【答案】(1)；(2)；(3)；(4).
【解析】(1)用区间表示为；
(2)用区间表示为；
(3)用区间表示为；
(4)或用区间表示为.
【例1-2】（2022广东）若函数的定义域为，值域为，则a的取值范围是________.
【答案】
【解析】由区间的定义知，解得.
【方法总结】
用区间表示数集的原则有
①数集是连续的；②左小右大；③区间的一端是开或闭不能弄错；
用区间表示数集的方法：区间符号里面的两个数字(或字母)之间用“，”隔开；
（3）用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别．
【一隅三反】
1．（2021·全国高一课时练习）用区间表示下列集合：
（1）______；
（2）______；
（3）______．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）根据集合与区间的改写，可得．
（2）由或．
（3）由或．
2．（2022·江苏·高一）下列集合不能用区间的形式表示的个数为（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【解析】区间形式可以表示连续数集，是无限集
①②是自然数集的子集，③是空集为有限集，都不能用区间形式表示，
④是图形的集合，不是数集，等边三角形组成的集合．
⑥Q是有理数，数轴上大于1的有理数不是连续的，故只有⑤可以，区间形式为，故答案为：D.
2．（2021·安徽）已知为一个确定的区间，则a的取值范围是________.
【答案】.
【解析】由为一个确定的区间知，解得，因此a的取值范围是.
故答案为：
考点二 函数概念的辨析
【例2-1】（2022·湖南·高一课时练习）设集合，，那么下列四个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③D．②
【答案】C
【解析】由题意，函数的定义域为，
对于①中，函数的定义域不是集合，所以不能构成集合到集合的函数关系；
对于②中，函数的定义域为集合，值域为集合，所以可以构成集合到集合的函数关系；
对于③中，函数的定义域为集合，值域为集合，所以可以构成集合到集合的函数关系；
对于④中，根据函数的定义，集合中的元素在集合中对应两个函数值，不符合函数的定义，所以不正确.故选：C
【例2-2】（2022·四川省）下列是从集合A到集合B的函数的是（ ）
A．，对应法则
B．，，对应法则
C．，对应法则
D．，，对应法则
【答案】B
【解析】A：当，，但，所以集合A中的
一个元素在集合B中没有元素和它对应，不是函数，故A错误；
B：集合A中的任意元素在集合B中都有元素和它一一对应，是函数，故B正确；
C：集合A中的负数在集合B中没有元素和它对应，不是函数，故C错误；
D：集合A中元素为0时，其倒数不存在，所以在集合B中五对应元素，不是函数，故D错误；
【一隅三反】
1．（2022·全国·高一专题练习）下列图形中，不能表示以为自变量的函数图象的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】B中，当时，有两个值和对应，不满足函数y的唯一性，A，C，D满足函数的定义，
故选：B
2．（2022·江苏·高一）如图，设，，表示A到B的函数的是__________填序号．
【答案】④
【解析】根据函数的定义，在③中，存在一个x对应两个y，③不是函数；
①，②中函数的值域不是，故排除①②③；可知④符合题意.故答案为：④．
3．（2021·云南）有对应法则f：
（1）A＝{0，2}，B＝{0，1}，x→；
（2）A＝{－2，0，2}，B＝{4}，x→x2；
（3）A＝R，B＝{y|y＞0}，x→；
（4）A＝R，B＝R，x→2x＋1；
（5）A＝{(x，y)|x，y∈R}，B＝R，(x，y)→x＋y.
其中能构成从集合A到集合B的函数的有________(填序号)．
【答案】（1）(4)
【解析】（1）由函数的定义知，正确；
（2）当x＝0时，B中不存在数值与之对应，故错误；
（3）当x＝0时，B中不存在数值与之对应，故错误；
（4）由函数的定义知，正确；
（5）因为集合A不是数集，故错误；故答案为：（1）(4)
考点三 函数的定义域
【例3-1】（2022·江苏·高一）函数的定义域为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】要是函数有意义，必须，解之得则函数的定义域为故选：D
【例3-2】（2022·广东）（1）已知的定义域为，求函数的定义域；
（2）已知的定义域为，求的定义域；
（3）已知函数的定义域为，求函数的定义域．
(4）已知函数的定义域为，则函数的定义域为
【答案】（1）；（2）；（3）.(4)
【解析】（1）∵中的的范围与中的x的取值范围相同．
∴，∴，即的定义域为．
（2）由题意知中的，∴.
又中的取值范围与中的x的取值范围相同，∴的定义域为．
（3）∵函数的定义域为，由，得，∴的定义域为．
又，即，∴函数的定义域为.
（4）由题函数的定义域为，在中，
所以，在中，所以.
【例3-3】（1）（2022·新疆）若函数的定义域为R，则a的范围是（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·广东·广州市白云中学高一期中）已知的定义域是R，则实数a的取值范围是( )
A．B．
C．D．
【答案】（1）D（2）D
【解析】（1）若的定义域为R，则当时，满足题意；
当时，，解得：；
当时，无法满足定义域为R．综上所述：，D正确．故选：D
（2）由题意可知，的解集为，
①当时，易知，即，这与的解集为矛盾；
②当时，若要的解集为，则只需图像开口向上，且与轴无交点，即判别式小于0，即，解得，
综上所述，实数a的取值范围是.故选：D.
【一隅三反】
1．（2022·江苏·高一）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】使得函数的表达式有意义，则且，解得故选：D
2．（2022·全国·高一阶段练习）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】要使函数有意义，则有，解得且，所以其定义域为．故选：C.
3．（2022·江苏·高一）已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为函数的定义域为，所以，则，
所以，解得，所以的定义域为，故选：B
4．（2022·全国·高一）已知函数的定义域为，则函数的定义城是________.
【答案】
【解析】因为函数的定义域为，所以要使函数有意义，只需，即，所以函数的定义城是.故答案为：
5．（2022·江苏·高一）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________.
【答案】
【解析】函数的定义域为，即，所以，
所以，即，所以函数的定义域为.故答案为：.
6．（2021·江苏）已知函数，若的定义域为，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】由已知得对恒成立，即，∴.
故答案为：.
7．（2022·湖南）函数的定义域为，若，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】由于，所以解得或.
所以的取值范围是.故答案为：
8．（2022·青海）已知函数的定义域为，求实数的取值范围 .
【答案】
【解析】由题意，函数的定义域为，
即在上恒成立，
当时，对任意恒成立；
当时，要使恒成立，即方程无实根，
只需判别式，解得，综上，实数的取值范围是.
考点四 函数的表示方法
【例5-1】（2022·全国·专题练习）已知函数，部分与的对应关系如表：则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由表知，，则．故选：D．
【例5-2】（2022·北京）（1）已知，求的解析式；
（2）已知，求函数的解析式；
（3）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；
（4）已知，求函数的解析式；
（5）已知是上的函数，，并且对任意的实数x，y都有，求函数的解析式．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.
【解析】（1）∵，∴．
（2）设，则，，即，∴，
∴．
（3）∵是二次函数，∴设．由，得．
由，得，整理得，
∴，∴，∴．
（4）∵，①∴，②
②①，得，∴．
（5）令，则，∴．
【例5-3】（2022·黑龙江）作出下列函数的大致图像
（1）； （2）；（3）；（4）；（5）．
【答案】见解析
【解析】（1），图象如图所示：
（2），图象如图所示：
（3），图象如图所示：
（4），图象如图所示：
（5）
，
【一隅三反】
1．（2022·河南）已知函数，用列表法表示如下：
则（ ）A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由列表可知.故选：B.
2．（2022·全国·高一专题练习）根据下列条件，求函数的解析式；
（1）已知是一次函数，且满足；
（2）已知函数为二次函数，且，求的解析式；
（3）已知；
（4）已知等式对一切实数､都成立，且；
（5）知函数满足条件对任意不为零的实数恒成立；
（6）已知，求的解析式．
【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）；（5）；（6）．
【解析】（1）设，则
所以解得：所以；
（2）设
，解得：
（3）
，
令，由双勾函数的性质可得或，
，或
（4）因为对一切实数､都成立，且
令则，又因为
所以，即
（5）将代入等式得出，
联立，变形得：，解得
（6）由题意得：定义域为
设，则
．
3．（2021·全国·高一课时练习）把下列函数写成分段函数的形式，求出定义域和值域并作出函数图像：
（1）； （2）.
【答案】（1）定义域为，值域为，图像见解析；（2）定义域为，值域为，图像见解析.
【解析】（1），定义域为，值域为，图像如图所示：
（2）定义域为，值域为.图像如图所示：
考点五 相等函数的判断
【例5】（2022·全国·高一专题练习）下面各组函数中是同一函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】C
【解析】A．函数的定义域为，，
两个函数的对应法则不相同，不是同一函数，
B．，定义域为，函数的定义域不相同，不是同一函数
C．两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数
D．由得得，由得或，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，故选：C．
【一隅三反】
1（2022·云南）下列四组函数中，表示相等函数的一组是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【解析】对于A，与定义域均为，，与为相等函数，A正确；
对于B，定义域为，定义域为，与不是相等函数，B错误；
对于C，定义域为，定义域为，与不是相等函数，C错误；
对于D，定义域为，定义域为，与不是相等函数，D错误.
故选：A.
2．（2022·全国·高一）下列函数中与函数是同一函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】函数的定义域为R.
对于A：的定义域为，故与函数不是同一函数.故A错误；
对于B：的定义域为，故与函数不是同一函数.故B错误；
对于C：的定义域为R，但是，故与函数不是同一函数.故C错误；
对于D：的定义域为R，且，故与函数是同一函数.故D正确.
故选：D.
3．（2022·江苏·高一）下列各组函数的图象相同的是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】B
【解析】若函数与的图象相同则与表示同一个函数，
则与的定义域和解析式相同.
A：的定义域为，的定义域为，故排除A；
B：，与的定义域、解析式相同，故B正确；
C：的定义域为R，的定义域为，故排除C；
D：与的解析式不相同，故排除D.故选：B
考点六 分段函数
【例6-1】（2022·江苏·高一）函数f(x)＝若f(x)＝2，则x的值是( )
A．B．±C．0或1D．
【答案】A
【解析】若f(x)＝2，
①x≤－1时，x＋2＝2，解得x＝0(不符合，舍去)；
②－1＜x＜2时，，解得x＝(符合)或x＝(不符，舍去)；
③x≥2时，2x＝2，解得x＝1(不符，舍去).
综上，x＝.故选：A.
【例6-2】（2022·新疆）已知函数，若，则a的值是（ ）
A．3或B．或4C．D．3或或4
【答案】B
【解析】函数，当时，，解得 ，
当 时，，解得，综上：或，故选：B
【一隅三反】
1．（2022·河南信阳）已知函数
(1)求的值；
(2)若，求x的值.
【答案】(1)(2)或4
【解析】(1)，，
.
(2)当时，，，不符合；
当时，，，其中，符合；
当时，时，，符合.
综上所述：x的值是或4.
2．（2022·浙江）已知
（1）画出的图象；
（2）若，求x的取值范围；
（3）求的值域.
【答案】（1）作图见解析；（2）；（3）[0，1].
【解析】（1）利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示.
（2）由于，结合函数图象可知，使的x的取值范围是.
（3）由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0，1]；当x>1或x<－1时，f(x)＝1，所以f(x)的值域为[0，1].
3（2022·江西）已知函数
（1）在坐标系中作出函数的图象；
（2）若，求a的取值集合；
【答案】(1)详见解析;（2）{，，}.
【解析】（1）函数的图象如下图所示：
（2）当a≤﹣1时，f（a）=a+2=，可得：a=；
当﹣1＜a＜2时，f（a）=a2=，可得：a=；
当a≥2时，f（a）=2a=，可得：a=（舍去）；
综上所述，a的取值构成集合为{，，}.