高一数学一隅三反系列(人教A版必修第一册)3.2.2函数的奇偶性(精讲)(原卷版+解析)

这是一份高一数学一隅三反系列(人教A版必修第一册)3.2.2函数的奇偶性(精讲)(原卷版+解析)，共28页。试卷主要包含了奇偶性的判断，利用奇偶性求解析式，利用奇偶性求值，利用奇偶性求参数，利用奇偶性解不等式，利用奇偶性比较大小，抽象函数的性质等内容，欢迎下载使用。


考点一 奇偶性的判断
【例1-1】（2021·湖南）判断下列函数的奇偶性
(1)； (2)； (3)；(4).
【例1-2】（2022·广东·高一期末）下列函数既是偶函数又在上单调递减的是（ ）
A．B．
C．D．
【例1-3】（2022·全国·高一专题练习）设是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ）
A．是奇函数B．是奇函数
C．是奇函数D．是奇函数
【一隅三反】
1．（2022·湖北）下列函数中，是奇函数且在区间上单调递减的是（ ）
A．B．
C．D．
2（2022·广东珠海·高一期末）若函数是偶函数，函数是奇函数，则（ ）
A．函数是奇函数B．函数是偶函数
C．函数是偶函数D．函数是奇函数
3．（2022·湖南·高一课时练习）判断下列函数的奇偶性：
(1)；(2)；(3)；(4)．
考点二 利用奇偶性求解析式
【例2-1】（2022·全国·高一）设为奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A．B．
C．D．
【例2-2】（2022·云南）已知是定义在上的偶函数，当时，，则当时，（ ）
A．B．
C．D．
【例2-3】（2021·浙江）定义在R上的奇函数，满足当时，．当时的表示式是（ ）
A．B．
C．D．
【一隅三反】
1．（2022·湖南·新化县教育科学研究所高一期末）若函数是定义域为的奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·河南濮阳·高一期末（文））已知是偶函数，当时，，则当时，_________．
3．（2022·河南安阳）已知是定义在R上的奇函数，当时，，则当时，______．
4．（2022·山西太原）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．则函数的解析式为_________．
考点三 利用奇偶性求值
【例3-1】（2022·广东韶关）函数为上的奇函数，时，，则=（ ）
A．B．C．2D．6
【例3-2】（2022·贵州·凯里一中）已知函数，且，则（ ）
A．B．7C．3D．
【一隅三反】
1．（2022·新疆）已知函数f(x)=-bx+2，若f(2)=5，则f(-2)=（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·江苏）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则____.
3．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，，则的值是_______.
4．（2021·福建）已知分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且，则______
5．（2020·四川·广安二中高一期中）若函数是偶函数，且，则______．
考点四 利用奇偶性求参数
【例4-1】（2022·辽宁沈阳·高一期末）若函数是定义在上的偶函数，则（ ）
A．B．0C．1D．3
【例4-2】（2022·湖北荆州）已知函数是定义在上的偶函数，则的最大值为___________.
【一隅三反】
1．（2022·安徽）已知是定义在上的奇函数，且当时，则的值为（ ）
A．-2B．-6C．2D．6
2．（2021·上海）若函数为偶函数，则_______________.
3．（2022·内蒙古）若函数在上是奇函数，则的解析式为______．
考点五 利用奇偶性解不等式
【例5-1】（2022·湖北·赤壁市车埠高级中学高一期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，.若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【例5-2】（2022·山西·长治市第四中学校高一期末）定义在R上的偶函数满足：对任意的，有，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【例5-3】（2021·全国·高一专题练习）已知函数f(x)＝，f(x)为R上的奇函数且f(1)＝．
(1)求a，b；
(2)判断f(x)在[1，＋∞)上的单调性并证明；
(3)当x∈[－4，－1]时，求f(x)的最大值和最小值．
【一隅三反】
1．（2022·江苏苏州·高一期末）若定义域为R的奇函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，则不等式f（2x﹣1）﹣f（x）＜0的解集为（ ）
A．（﹣∞，1）B．[0，1）C．D．（1，＋∞）
2．（2021·山东·济南市章丘区第四中学高一阶段练习）若函数为上的奇函数，且图象连续不断，在上为增函数，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，则不等式的解集为______.
4．（2022·四川凉山·高一期末）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，.
(1)求函数的解析式；
(2)求关于m的不等式式的解集.
5．（2021·湖南师大附中高一阶段练习）已知函数是定义在区间上的奇函数，且.
(1)用定义法证明函数在区间上单调递增；
(2)设，求证：是偶函数，是奇函数.
考点六 利用奇偶性比较大小
【例6】（2022·山西吕梁·高一阶段练习）定义在R上的偶函数在上是减函数，则下列判断正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【一隅三反】
1．（2021·广西·高一阶段练习）设偶函数的定义域为R，当时，是减函数，则，，的大小关系是（ ）．
A．B．
C．D．
2．（2022·全国·高一专题练习）若偶函数在上是减函数，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2021·湖南·高一期中）已知定义在R上的偶函数在（0，）上是减函数，则（ ）
A．B．
C．D．
考点七 抽象函数的性质
【例7】（2022·河南）已知函数定义域为，若对于任意的，都有，且时，有.
(1)证明：为奇函数；
(2)证明：在上是增函数；
(3)设，若，对所有，恒成立，求实数m的取值范围.
【一隅三反】
1．（2021·河南焦作·高一期中）已知f (xy)＝f (x)＋f (y).
(1)若x，y∈R，求f (1)，f (－1)的值；
(2)若x，y∈R，判断y＝f (x)的奇偶性；
(3)若函数f (x)在其定义域(0，＋∞)上是增函数，f (2)＝1，f (x)＋f (x－6)≤4，求x的取值范围.
2．（2022·山西太原·高一开学考试）若定义在上的函数对任意实数，，都有成立，且当时，.
(1)求证：为奇函数；
(2)判断在上的单调性，并说明理由；
(3)若，解不等式.
3．（2022·湖北）已知函数对任意，都有，且当时，恒成立.
(1)证明：函数是奇函数；
(2)证明：为定义域上的单调减函数.
3.2.2 函数的奇偶性（精讲）
考点一 奇偶性的判断
【例1-1】（2021·湖南）判断下列函数的奇偶性
(1)； (2)； (3)；(4).
【答案】(1)奇函数(2)偶函数(3)既是奇函数又是偶函数(4)非奇非偶函数
【解析】(1) ，定义域为，有，则函数为奇函数，
(2)，定义域为，有，则函数为偶函数，
(3)因为，所以，则有，解得，则函数定义域为，且，所以和同时成立，故既是奇函数又是偶函数，
(4)，其定义域为，其定义域不关于原点对称，则是非奇非偶函数．
【例1-2】（2022·广东·高一期末）下列函数既是偶函数又在上单调递减的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】对于A是偶函数，且在上单调递减故A正确。对于B是奇函数故B错误
对于C在上单调递增故C错误对于D是非奇非偶函数故D错误故选：A
【例1-3】（2022·全国·高一专题练习）设是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ）
A．是奇函数B．是奇函数
C．是奇函数D．是奇函数
【答案】C
【解析】A选项：设，，则为偶函数，A错误；
B选项：设，则，与关系不定，即不确定的奇偶性，B错误；
C选项：设，则，则为奇函数，C正确；
D选项：设，则，则为偶函数，D错误．
故选：C.
【一隅三反】
1．（2022·湖北）下列函数中，是奇函数且在区间上单调递减的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】对于A是偶函数故A错误对于B在上单调递增故B错误
对于C是奇函数且在上单调递减故C正确对于D在上单调递减，在上单调递增故D错误故选：C
2（2022·广东珠海·高一期末）若函数是偶函数，函数是奇函数，则（ ）
A．函数是奇函数B．函数是偶函数
C．函数是偶函数D．函数是奇函数
【答案】C
【解析】因为函数是偶函数，函数是奇函数，所以、，
对于A：令，则，故是非奇非偶函数，故A错误；
对于B：令，则，故为奇函数，故B错误；
对于C：令，则，故为偶函数，故C正确；
对于D：令，则，故为偶函数，故D错误；故选：C
3．（2022·湖南·高一课时练习）判断下列函数的奇偶性：
(1)；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)偶函数(2)奇函数(3)奇函数(4)非奇非偶函数
【解析】(1)的定义域为，它关于原点对称.
，故为偶函数.
(2)的定义域为，它关于原点对称.
，故为奇函数.
(3)的定义域为，它关于原点对称.
，故为奇函数.
(4)，故，故为非奇非偶函数.
考点二 利用奇偶性求解析式
【例2-1】（2022·全国·高一）设为奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设，则，所以，又为奇函数，所以，
所以当时，.故选：B.
【例2-2】（2022·云南）已知是定义在上的偶函数，当时，，则当时，（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为函数是定义在上的偶函数，且当时，
设，则，,故选：B．
【例2-3】（2021·浙江）定义在R上的奇函数，满足当时，．当时的表示式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为是定义在R上的奇函数，故，又当时，，故，故故选：C
【一隅三反】
1．（2022·湖南·新化县教育科学研究所高一期末）若函数是定义域为的奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当时，，由奇函数的定义可得.故选：D.
2．（2022·河南濮阳·高一期末（文））已知是偶函数，当时，，则当时，_________．
【答案】
【解析】由，则，且函数是偶函数，故当时，
故答案为：
3．（2022·河南安阳）已知是定义在R上的奇函数，当时，，则当时，______．
【答案】
【解析】时，，是奇函数，此时故答案为：
4．（2022·山西太原）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．则函数的解析式为_________．
【答案】
【解析】设 -3-x>0，则有，又因为，所以，又，所以故答案为：
考点三 利用奇偶性求值
【例3-1】（2022·广东韶关）函数为上的奇函数，时，，则=（ ）
A．B．C．2D．6
【答案】B
【解析】因为为上的奇函数，且时，，所以，所以；
故选：B
【例3-2】（2022·贵州·凯里一中）已知函数，且，则（ ）
A．B．7C．3D．
【答案】C
【解析】由函数，令，则，
由可知：奇函数，
故，则，所以，故选：C
【一隅三反】
1．（2022·新疆）已知函数f(x)=-bx+2，若f(2)=5，则f(-2)=（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由得：，所以
故选：A
2．（2022·江苏）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则____.
【答案】3
【解析】因为函数是定义在上的奇函数，故，，故.故答案为：3.
3．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，，则的值是_______.
【答案】
【解析】是奇函数
.故答案为: .
4．（2021·福建）已知分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且，则______
【答案】
【解析】由题意，，∴，即，∴.故答案为：
5．（2020·四川·广安二中高一期中）若函数是偶函数，且，则______．
【答案】0
【解析】由函数是偶函数可得，又，故.故答案为：0.
考点四 利用奇偶性求参数
【例4-1】（2022·辽宁沈阳·高一期末）若函数是定义在上的偶函数，则（ ）
A．B．0C．1D．3
【答案】D
【解析】由题设，，可得，则，
又为偶函数，则，可得，综上，，故.故选：D.
【例4-2】（2022·湖北荆州）已知函数是定义在上的偶函数，则的最大值为___________.
【答案】
【解析】根据题意，是定义在上的偶函数，可知，
则定义域关于原点对称，且二次函数的对称轴，
所以，解得：，所以，对应抛物线开口向下，对称轴为，
故的最大值为.故答案为：-1.
【一隅三反】
1．（2022·安徽）已知是定义在上的奇函数，且当时，则的值为（ ）
A．-2B．-6C．2D．6
【答案】B
【解析】是定义在上的奇函数，则，解得，
当时，，所以.故选：B
2．（2021·上海）若函数为偶函数，则_______________.
【答案】2
【解析】
因为函数为偶函数，所以m-2=0，解得m=2.
也可用，解出m=2.故答案为：2
3．（2022·内蒙古）若函数在上是奇函数，则的解析式为______．
【答案】
【解析】在上是奇函数，，，．
又，，即，．
考点五 利用奇偶性解不等式
【例5-1】（2022·湖北·赤壁市车埠高级中学高一期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，.若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当时，的对称轴为，故在上单调递增.函数在x=0处连续
又是定义域为的奇函数，故在上单调递增.
因为，由，可得，
又因为在上单调递增，所以有，解得.故选：D
【例5-2】（2022·山西·长治市第四中学校高一期末）定义在R上的偶函数满足：对任意的，有，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为函数满足对任意的，有，
即在上单调递减，又是定义在R上的偶函数，所以在上单调递增，
又，所以，函数的大致图像可如下所示：
所以当时，当或时，
则不等式等价于或，
解得或，即原不等式的解集为；故选：C
【例5-3】（2021·全国·高一专题练习）已知函数f(x)＝，f(x)为R上的奇函数且f(1)＝．
(1)求a，b；
(2)判断f(x)在[1，＋∞)上的单调性并证明；
(3)当x∈[－4，－1]时，求f(x)的最大值和最小值．
【答案】(1)a＝1，b＝0 ；(2)f(x)在[1，＋∞)上为减函数，证明见解析；(3)．
【解析】(1)f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0，得b＝0，又，∴a＝1，∴f(x)＝
(2)f(x)在[1，＋∞)上为减函数，证明如下设x2>x1≥1，
∴f(x2)－f(x1)＝－＝＝＝．
∵x2>x1≥1，∴x1x2－1>0，x1－x2<0，∴f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)(3)∵f(x)为奇函数且f(x)在[1，＋∞)上是减函数，∴f(x)在(－∞，－1]上为减函数，
又x∈[－4，－1]，∴f(x)max＝f(－4)＝，f(x)min＝f(－1)＝．
【一隅三反】
1．（2022·江苏苏州·高一期末）若定义域为R的奇函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，则不等式f（2x﹣1）﹣f（x）＜0的解集为（ ）
A．（﹣∞，1）B．[0，1）C．D．（1，＋∞）
【答案】A
【解析】：∵f（x）为R上的奇函数，∴f（0）＝0；
又f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，奇函数在对称区间上单调性相同，
∴f（x）在R上单调递增；∴由不等式f（2x﹣1）﹣f（x）＜0，得f（2x﹣1）＜f（x），
∴2x﹣1＜x，解得x＜1，∴不等式f（2x﹣1）﹣f（x）＜0的解集为（﹣∞，1）.故选：A.
2．（2021·山东·济南市章丘区第四中学高一阶段练习）若函数为上的奇函数，且图象连续不断，在上为增函数，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】 函数为上的奇函数，，，的图象连续不断且在上为增函数，.故选：B.
3．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，则不等式的解集为______.
【答案】
【解析】因为定义域为，且，即为奇函数，
又与在定义域上单调递增，所以函数在上单调递增，
则不等式等价为，
即，解得，即不等式的解集为.故答案为：
4．（2022·四川凉山·高一期末）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，.
(1)求函数的解析式；
(2)求关于m的不等式式的解集.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)∵函数是定义在R上的奇函数，∴
∴当时，；当时，，则.∴.
(2)∵函数为奇函数，∴，
因为在上递增，且为奇函数，所以在R单调递增，
∴，解得：，故不等式的解集是.
5．（2021·湖南师大附中高一阶段练习）已知函数是定义在区间上的奇函数，且.
(1)用定义法证明函数在区间上单调递增；
(2)设，求证：是偶函数，是奇函数.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】(1)因为是定义在区间上的奇函数，且，
所以，（1），所以，，
检验，当，时，，，满足题意，
设，则，，，，
所以，所以，
所以在上单调递增；
(2)证明：由题意得的定义域，
令，则，且的定义域，
所以为偶函数，
令，则的定义域，
且，
所以为奇函数.
考点六 利用奇偶性比较大小
【例6】（2022·山西吕梁·高一阶段练习）定义在R上的偶函数在上是减函数，则下列判断正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为为偶函数，所以，，又，且在上是减函数，所以.故选：A
【一隅三反】
1．（2021·广西·高一阶段练习）设偶函数的定义域为R，当时，是减函数，则，，的大小关系是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】函数为偶函数，则，当时，是减函数，又，
则，则故选：C
2．（2022·全国·高一专题练习）若偶函数在上是减函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】为偶函数，；在上是减函数，，
即.故选：B.
3．（2021·湖南·高一期中）已知定义在R上的偶函数在（0，）上是减函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为函数是定义在R上的偶函数，所以，，
因为函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，所以函数在上是增函数，
因为∴∴.故选：D.
考点七 抽象函数的性质
【例7】（2022·河南）已知函数定义域为，若对于任意的，都有，且时，有.
(1)证明：为奇函数；
(2)证明：在上是增函数；
(3)设，若，对所有，恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)证明见详解.(2)证明见详解.(3)
【解析】(1)因为有，
令，得，所以，
令可得：，
所以，故为奇函数．
(2)由（1）可知是定义在，上的奇函数，
由题意设，则
由题意时，有，
是在上为单调递增函数；
(3)由（1）（2）可知是上为单调递增函数,所以在上的最大值为
所以要使，对所有，恒成立，只要，
由，可得解得
所以实数的取值范围为
【一隅三反】
1．（2021·河南焦作·高一期中）已知f (xy)＝f (x)＋f (y).
(1)若x，y∈R，求f (1)，f (－1)的值；
(2)若x，y∈R，判断y＝f (x)的奇偶性；
(3)若函数f (x)在其定义域(0，＋∞)上是增函数，f (2)＝1，f (x)＋f (x－6)≤4，求x的取值范围.
【答案】(1)f(1)＝0，f(－1)＝0；(2)偶函数；(3)（6，8].
【解析】(1)令x＝y＝1，则f (1)＝f (1)＋f (1)，所以f (1)＝0.
又令x＝y＝－1，则f (1)＝f (－1)＋f (－1)，所以f (－1)＝0.
(2)因为函数定义域为R，关于原点对称，令y＝－1，则f (－x)＝f (x)＋f (－1)，由(1)知f (－1)＝0，
所以f(－x)＝f(x)，即函数f(x)为偶函数．
(3)因为f (4)= f (2)+f (2)= 1+1=2，所以f (16)= f (4)+f (4) = 2 + 2 = 4，
因为f (x)＋f (x－6) ≤ 4，所以，
因为f (x)在(0，+∞)上是增函数，所以，即，所以x的取值范围是(6 , 8].
2．（2022·山西太原·高一开学考试）若定义在上的函数对任意实数，，都有成立，且当时，.
(1)求证：为奇函数；
(2)判断在上的单调性，并说明理由；
(3)若，解不等式.
【答案】(1)证明见解析(2)函数在R上单调递增，理由见解析(3)
【解析】(1)证明：∵，
∴.
设，则.
令，则，解得.
令，，则，∴.
由函数的定义域为R，得函数的定义域为R，关于原点对称，
综上，为奇函数.
(2)解：函数在上单调递增，理由如下：
任取，则，∴，
由（1）知，，即，
∴函数在上单调递增，即函数在上单调递增.
(3)解：∵，∴，∴，
由，得，即，
∵函数在上单调递增，∴，即，解得，
即不等式的解集为.
3．（2022·湖北）已知函数对任意，都有，且当时，恒成立.
(1)证明：函数是奇函数；
(2)证明：为定义域上的单调减函数.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】(1)证明：函数对任意，都有，令，则，所以，令，得，
即，而，，即函数是奇函数，
(2)证明：设，则，而
，
又当时，恒成立，，函数是上的减函数．