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高一数学一隅三反系列(人教A版必修第一册)3.4函数的应用(一)(精练)(原卷版+解析)
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这是一份高一数学一隅三反系列(人教A版必修第一册)3.4函数的应用(一)(精练)(原卷版+解析)，共19页。试卷主要包含了的函数图象，部分数据如下表所示等内容，欢迎下载使用。
1．（2022福建）一个矩形的周长是20，矩形的长y关于宽x的函数解析式为（ ）（默认y>x）
A．y＝10－x(0B．y＝10－2x(0C．y＝20－x(0D．y＝20－2x(02．（2022上海）如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米.为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM，使点P在边DE上.
（1）设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；
（2）求矩形BNPM面积的最大值.
3．（2022北京）小明和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前行，小明后出发匀速前行，且途中休息一段时间后继续以原速前行．家到公园的距离为2000m，如图是小明和爸爸所走的路程s（m）与步行时间t（min）的函数图象．
（1）直接写出BC段图象所对应的函数关系式（不用写出t的取值范围）_______．
（2）小明出发多长时间与爸爸第三次相遇？
（3）在速度都不变的情况下，小明希望比爸爸早18分钟到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需减少多少分钟？
2 二次函数模型
1．（2022安徽）生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为（万元）.一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为（ ）
A．18万件B．20万件C．16万件D．8万件
2．（2022海南）已知某炮弹飞行高度h（单位：m）与时间x（单位：s）之间的函数关系式为，则炮弹飞行高度高于的时间长为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022山东）某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润（万元）与销售时间（月）之间的关系（即前个月的利润总和与之间的关系）.根据图象提供的信息解答下列问题：
（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润（万元）与时间（月）之间的函数关系式；
（2）求截止到第几个月末公司累积利润可达到万元；
（3）求第八个月公司所获得的利润.
4（2021·全国·高一专题练习）为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策，由政府协调，企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担.某大学毕业生校照相关政策投资销售一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月的销售量(单位:件)与销售单价(单位:元)之间的关系近似满足一次函数: .
（1）设他每月获得的利润为 (单位:元)，写出他每月获得的利润与销售单价x的函数关系式，并求出利润的最大值.
（2）相关部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于元.如果他想要每月获得的利润不少于元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少?
3 分段函数模型
1．（2022河南）某公司生产一种产品的固定成本为0．5万元，但每生产100件需要增加投入0．25万元，市场对此产品的需求量为500件，销售收入为函数R(x)＝5x－(0≤x≤5)万元，其中x是产品售出的数量(单位：百件)．
(1)把利润表示为年产量的函数f(x)；
(2)年产量为多少时，当年公司所得利润最大？
2．（2022·湖南）十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本万元，每生产（百辆）需另投入成本（万元），且.由市场调研知，每辆车售价万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.
(1)求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润=销售额—成本）
(2)当年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
3．（2022河南）年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.为降低疫情影响，某厂家拟尽快加大力度促进生产.已知该厂家生产某种产品的年固定成本为万元，每生产千件，需另投入成本为，当年产量不足千件时，(万元).当年产量不小于千件时，(万元).每件商品售价为万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.
（1）写出年利润(万元)关于年产量(千件)的函数解析式；
（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
4 基本不等式模型
1．（2022·全国·高一课时练习）近年来，中美贸易摩擦不断．特别是美国对我国华为的限制．尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为，然而这并没有让华为却步．华为在年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲．今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本万，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且．由市场调研知，每部手机售价万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．
(1)求出年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数解析式（利润销售额成本）；
(2)年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
2．（2022·江苏）某汽车公司购买了辆大客车用于长途客运，每辆万元，预计每辆客车每年收入约万元，每辆客车第一年各种费用约为万元，从第二年开始每年比上一年所需费用要增加万元.
（1）写出辆客车运营的总利润(万元)与运营年数的函数关系式：
（2）这辆客车运营多少年，可使年平均运营利润最大？最大利润是多少？
3．（2022·山西大附中）小李同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本5万元，每年生产x万件，需另投入流动成本万元，在年产量不足8万件时，（万元）；在年产量不小于8万件时，（万元）.每件产品售价为10元，经分析，生产的产品当年能全部售完.
(1)写出年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）
(2)年产量为多少万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大?最大利润是多少?
4．（2022·全国·高一课时练习）2022年第24届北京冬季奥林匹克运动会，于2022年2月4日星期五开幕，将于2月20日星期日闭幕．该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，与冰雪运动有关的商品销量持续增长．对某店铺某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行调查发现：该款冰雪运动装备的日销售单价（元/套）与时间x（被调查的一个月内的第x天）的函数关系近似满足（k为正常数）．该商品的日销售量（个）与时间x（天）部分数据如下表所示：
已知第10天该商品的日销售收入为121元．
(1)求k的值；
(2)给出两种函数模型：①，②，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间x的关系，并求出该函数的解析式；
(3)求该商品的日销售收入（，）（元）的最小值．x
10
20
25
30
110
120
125
120
3.4 函数的应用（一）（精练）
1 一次函数模型
1．（2022福建）一个矩形的周长是20，矩形的长y关于宽x的函数解析式为（ ）（默认y>x）
A．y＝10－x(0B．y＝10－2x(0C．y＝20－x(0D．y＝20－2x(0【答案】A
【解析】由题意可知2y＋2x＝20，即y＝10－x，又10－x>x，所以0所以函数解析式为.故选：A
2．（2022上海）如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米.为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM，使点P在边DE上.
（1）设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；
（2）求矩形BNPM面积的最大值.
【答案】（1）；（2）48.
【解析】（1）如图所示，延长NP交AF于点Q，
所以PQ＝8－y，EQ＝x－4.
在中， ，所以.
所以，定义域为.
（2）设矩形BNPM的面积为S，
则，开口向下，且对称轴为，则在上单调递增，所以当x＝8时，S取最大值48，所以矩形BNPM面积的最大值为48.
3．（2022北京）小明和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前行，小明后出发匀速前行，且途中休息一段时间后继续以原速前行．家到公园的距离为2000m，如图是小明和爸爸所走的路程s（m）与步行时间t（min）的函数图象．
（1）直接写出BC段图象所对应的函数关系式（不用写出t的取值范围）_______．
（2）小明出发多长时间与爸爸第三次相遇？
（3）在速度都不变的情况下，小明希望比爸爸早18分钟到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需减少多少分钟？
【答案】(1) s=40t–400 (2) 37.5min (3) 3min
【解析】（1）设直线BC所对应的函数表达式为s=kt+b，
将（30，800），（60，2000）代入得，
，解得，
∴直线BC所对应的函数表达式为s=40t–400．
（2）设小明的爸爸所走路程s与时间t的函数关系式为s=mt+n，
则，解得．
即小明的爸爸所走路程s与时间t的函数关系式是s=24t+200，
解方程组，得，
即小明出发37.5min时与爸爸第三次相遇．
（3）当s=2000时，2000=24t+200，得t=75，
∵75–60=15，
∴小明希望比爸爸早18 min到达公园，
则小明在步行过程中停留的时间需要减少3min．
2 二次函数模型
1．（2022安徽）生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为（万元）.一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为（ ）
A．18万件B．20万件C．16万件D．8万件
【答案】A
【解析】利润.
所以当时，L(x)有最大值.故选：A
2．（2022海南）已知某炮弹飞行高度h（单位：m）与时间x（单位：s）之间的函数关系式为，则炮弹飞行高度高于的时间长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据题意可得，解得，则炮弹飞行高度高于的时间长为（s）.
故选：A.
3．（2022山东）某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润（万元）与销售时间（月）之间的关系（即前个月的利润总和与之间的关系）.根据图象提供的信息解答下列问题：
（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润（万元）与时间（月）之间的函数关系式；
（2）求截止到第几个月末公司累积利润可达到万元；
（3）求第八个月公司所获得的利润.
【答案】（1）；（2）第十个月；（3）利润为万元.
【解析】（1）设与的函数关系式为.
由题中函数图象过点、、，得，解得，
因此，所求函数关系式为；
（2）把代入，得，整理得，
，解得，
因此，截止到第十个月末公司累积利润可达到万元；
（3）第八个月公司所获得的利润为（万元）.
因此，第八个月公司所获得的利润为万元.
4（2021·全国·高一专题练习）为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策，由政府协调，企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担.某大学毕业生校照相关政策投资销售一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月的销售量(单位:件)与销售单价(单位:元)之间的关系近似满足一次函数: .
（1）设他每月获得的利润为 (单位:元)，写出他每月获得的利润与销售单价x的函数关系式，并求出利润的最大值.
（2）相关部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于元.如果他想要每月获得的利润不少于元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少?
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）依题意可得：每件的销售利润为元，每月的销售量为件，
所以每月获得的利润与销售单价x的函数关系式为：
，
对称轴为，开口向下，此时最大值为，
所以利润与销售单价x的函数关系式，最大利润为元.
（2）由每月获得的利润不小于元，
得，
即 ，解得：，
这种节能灯的销售单价不得高于元，所以，
设政府每个月为他承担的总差价为元，
则，
由可得，
所以政府每个月为他承担的总差价的取值范围是元.
3 分段函数模型
1．（2022河南）某公司生产一种产品的固定成本为0．5万元，但每生产100件需要增加投入0．25万元，市场对此产品的需求量为500件，销售收入为函数R(x)＝5x－(0≤x≤5)万元，其中x是产品售出的数量(单位：百件)．
(1)把利润表示为年产量的函数f(x)；
(2)年产量为多少时，当年公司所得利润最大？
【答案】(1)f(x)＝；
(2)475件．
【解析】(1)产量为x(百件)，
当0≤x≤5时，f(x)＝5x－－(0.5＋0.25x)；
当x＞5时，销售收入为万元，此时f(x)＝－(0.5＋0.25x)＝12－0.25x；
∴f(x)＝；
(2)当0≤x≤5时，f(x)＝＋10.78125；
当x＞5时，函数f(x)为单调递减函数．
∴当x＝4.75时，即年产量为475件时，公司所得利润最大．
2．（2022·湖南）十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本万元，每生产（百辆）需另投入成本（万元），且.由市场调研知，每辆车售价万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.
(1)求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润=销售额—成本）
(2)当年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
【答案】(1)
(2)百辆，最大利润为万
【解析】（1）由题意得当时，，当时，，所以,
（2）由（1）得当时，，当时，，当时， ，当且仅当，即时等号成立，，时，，，时，即年产量为百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为万元.
3．（2022河南）年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.为降低疫情影响，某厂家拟尽快加大力度促进生产.已知该厂家生产某种产品的年固定成本为万元，每生产千件，需另投入成本为，当年产量不足千件时，(万元).当年产量不小于千件时，(万元).每件商品售价为万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.
（1）写出年利润(万元)关于年产量(千件)的函数解析式；
（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）；（2）当年产量为千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为万元.
【解析】（1）因为每件商品售价为万元，则千件商品销售额为万元，
依题意得：
当时，，
当时，，
所以；
（2）当时，，
此时，当时，即万元.
当时，，
此时，即万元，
由于，
所以当年产量为千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为万元.
4 基本不等式模型
1．（2022·全国·高一课时练习）近年来，中美贸易摩擦不断．特别是美国对我国华为的限制．尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为，然而这并没有让华为却步．华为在年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲．今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本万，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且．由市场调研知，每部手机售价万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．
(1)求出年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数解析式（利润销售额成本）；
(2)年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)；
(2)年产量为（千部）手机时，企业利润最大，最大利润为万元.
【解析】(1)由题意知：每生产（千部）手机，投入的成本，
，
即；
(2)①当时，，
当时，；
②当时，（当且仅当，即时取等号），；
综上所述：年产量为（千部）手机时，企业利润最大，最大利润为万元.
2．（2022·江苏）某汽车公司购买了辆大客车用于长途客运，每辆万元，预计每辆客车每年收入约万元，每辆客车第一年各种费用约为万元，从第二年开始每年比上一年所需费用要增加万元.
（1）写出辆客车运营的总利润(万元)与运营年数的函数关系式：
（2）这辆客车运营多少年，可使年平均运营利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）；（2）这4辆客车运营年，可使年平均运营利润最大，最大利润为48万元.
【解析】（1）依题意得，每辆车年总收入为万元，
总支出为，
所以辆客车运营的总利润.
（2）年平均运营利润为，
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
此时，
所以这4辆客车运营年，可使年平均运营利润最大，最大利润为48万元.
3．（2022·山西大附中）小李同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本5万元，每年生产x万件，需另投入流动成本万元，在年产量不足8万件时，（万元）；在年产量不小于8万件时，（万元）.每件产品售价为10元，经分析，生产的产品当年能全部售完.
(1)写出年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）
(2)年产量为多少万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大?最大利润是多少?
【答案】(1)
(2)当年产量为8万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润为万元.
【解析】(1)解：因为每件产品售价为10元，所以x万件产品销售收入为万元.
依题意得，当时，；
当时，.
所以；
(2)当时，，
当时，取得最大值；
当时，由双勾函数的单调性可知，函数在区间上为减函数.
当时，取得最大值.
由，则可知当年产量为8万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大，
最大利润为万元.
4．（2022·全国·高一课时练习）2022年第24届北京冬季奥林匹克运动会，于2022年2月4日星期五开幕，将于2月20日星期日闭幕．该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，与冰雪运动有关的商品销量持续增长．对某店铺某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行调查发现：该款冰雪运动装备的日销售单价（元/套）与时间x（被调查的一个月内的第x天）的函数关系近似满足（k为正常数）．该商品的日销售量（个）与时间x（天）部分数据如下表所示：
已知第10天该商品的日销售收入为121元．
(1)求k的值；
(2)给出两种函数模型：①，②，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间x的关系，并求出该函数的解析式；
(3)求该商品的日销售收入（，）（元）的最小值．
【答案】(1)
(2)选择②，，（，）
(3)121元
【解析】(1)因为第10天该商品的日销售收入为121元，所以，解得；
(2)由表中数据可得，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调，
故只能选②:
代入数据可得：，解得，，
所以，（，）
(3)由（2）可得，，
所以，，
所以当，时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以当时，有最小值，且为121；
当，时，为单调递减函数，
所以当时，有最小值，且为124，
综上，当时，有最小值，且为121元，
所以该商品的日销售收入最小值为121元．x
10
20
25
30
110
120
125
120
1．（2022福建）一个矩形的周长是20，矩形的长y关于宽x的函数解析式为（ ）（默认y>x）
A．y＝10－x(0
（1）设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；
（2）求矩形BNPM面积的最大值.
3．（2022北京）小明和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前行，小明后出发匀速前行，且途中休息一段时间后继续以原速前行．家到公园的距离为2000m，如图是小明和爸爸所走的路程s（m）与步行时间t（min）的函数图象．
（1）直接写出BC段图象所对应的函数关系式（不用写出t的取值范围）_______．
（2）小明出发多长时间与爸爸第三次相遇？
（3）在速度都不变的情况下，小明希望比爸爸早18分钟到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需减少多少分钟？
2 二次函数模型
1．（2022安徽）生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为（万元）.一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为（ ）
A．18万件B．20万件C．16万件D．8万件
2．（2022海南）已知某炮弹飞行高度h（单位：m）与时间x（单位：s）之间的函数关系式为，则炮弹飞行高度高于的时间长为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022山东）某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润（万元）与销售时间（月）之间的关系（即前个月的利润总和与之间的关系）.根据图象提供的信息解答下列问题：
（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润（万元）与时间（月）之间的函数关系式；
（2）求截止到第几个月末公司累积利润可达到万元；
（3）求第八个月公司所获得的利润.
4（2021·全国·高一专题练习）为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策，由政府协调，企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担.某大学毕业生校照相关政策投资销售一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月的销售量(单位:件)与销售单价(单位:元)之间的关系近似满足一次函数: .
（1）设他每月获得的利润为 (单位:元)，写出他每月获得的利润与销售单价x的函数关系式，并求出利润的最大值.
（2）相关部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于元.如果他想要每月获得的利润不少于元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少?
3 分段函数模型
1．（2022河南）某公司生产一种产品的固定成本为0．5万元，但每生产100件需要增加投入0．25万元，市场对此产品的需求量为500件，销售收入为函数R(x)＝5x－(0≤x≤5)万元，其中x是产品售出的数量(单位：百件)．
(1)把利润表示为年产量的函数f(x)；
(2)年产量为多少时，当年公司所得利润最大？
2．（2022·湖南）十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本万元，每生产（百辆）需另投入成本（万元），且.由市场调研知，每辆车售价万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.
(1)求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润=销售额—成本）
(2)当年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
3．（2022河南）年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.为降低疫情影响，某厂家拟尽快加大力度促进生产.已知该厂家生产某种产品的年固定成本为万元，每生产千件，需另投入成本为，当年产量不足千件时，(万元).当年产量不小于千件时，(万元).每件商品售价为万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.
（1）写出年利润(万元)关于年产量(千件)的函数解析式；
（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
4 基本不等式模型
1．（2022·全国·高一课时练习）近年来，中美贸易摩擦不断．特别是美国对我国华为的限制．尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为，然而这并没有让华为却步．华为在年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲．今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本万，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且．由市场调研知，每部手机售价万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．
(1)求出年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数解析式（利润销售额成本）；
(2)年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
2．（2022·江苏）某汽车公司购买了辆大客车用于长途客运，每辆万元，预计每辆客车每年收入约万元，每辆客车第一年各种费用约为万元，从第二年开始每年比上一年所需费用要增加万元.
（1）写出辆客车运营的总利润(万元)与运营年数的函数关系式：
（2）这辆客车运营多少年，可使年平均运营利润最大？最大利润是多少？
3．（2022·山西大附中）小李同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本5万元，每年生产x万件，需另投入流动成本万元，在年产量不足8万件时，（万元）；在年产量不小于8万件时，（万元）.每件产品售价为10元，经分析，生产的产品当年能全部售完.
(1)写出年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）
(2)年产量为多少万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大?最大利润是多少?
4．（2022·全国·高一课时练习）2022年第24届北京冬季奥林匹克运动会，于2022年2月4日星期五开幕，将于2月20日星期日闭幕．该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，与冰雪运动有关的商品销量持续增长．对某店铺某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行调查发现：该款冰雪运动装备的日销售单价（元/套）与时间x（被调查的一个月内的第x天）的函数关系近似满足（k为正常数）．该商品的日销售量（个）与时间x（天）部分数据如下表所示：
已知第10天该商品的日销售收入为121元．
(1)求k的值；
(2)给出两种函数模型：①，②，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间x的关系，并求出该函数的解析式；
(3)求该商品的日销售收入（，）（元）的最小值．x
10
20
25
30
110
120
125
120
3.4 函数的应用（一）（精练）
1 一次函数模型
1．（2022福建）一个矩形的周长是20，矩形的长y关于宽x的函数解析式为（ ）（默认y>x）
A．y＝10－x(0
【解析】由题意可知2y＋2x＝20，即y＝10－x，又10－x>x，所以0
2．（2022上海）如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米.为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM，使点P在边DE上.
（1）设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；
（2）求矩形BNPM面积的最大值.
【答案】（1）；（2）48.
【解析】（1）如图所示，延长NP交AF于点Q，
所以PQ＝8－y，EQ＝x－4.
在中， ，所以.
所以，定义域为.
（2）设矩形BNPM的面积为S，
则，开口向下，且对称轴为，则在上单调递增，所以当x＝8时，S取最大值48，所以矩形BNPM面积的最大值为48.
3．（2022北京）小明和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前行，小明后出发匀速前行，且途中休息一段时间后继续以原速前行．家到公园的距离为2000m，如图是小明和爸爸所走的路程s（m）与步行时间t（min）的函数图象．
（1）直接写出BC段图象所对应的函数关系式（不用写出t的取值范围）_______．
（2）小明出发多长时间与爸爸第三次相遇？
（3）在速度都不变的情况下，小明希望比爸爸早18分钟到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需减少多少分钟？
【答案】(1) s=40t–400 (2) 37.5min (3) 3min
【解析】（1）设直线BC所对应的函数表达式为s=kt+b，
将（30，800），（60，2000）代入得，
，解得，
∴直线BC所对应的函数表达式为s=40t–400．
（2）设小明的爸爸所走路程s与时间t的函数关系式为s=mt+n，
则，解得．
即小明的爸爸所走路程s与时间t的函数关系式是s=24t+200，
解方程组，得，
即小明出发37.5min时与爸爸第三次相遇．
（3）当s=2000时，2000=24t+200，得t=75，
∵75–60=15，
∴小明希望比爸爸早18 min到达公园，
则小明在步行过程中停留的时间需要减少3min．
2 二次函数模型
1．（2022安徽）生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为（万元）.一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为（ ）
A．18万件B．20万件C．16万件D．8万件
【答案】A
【解析】利润.
所以当时，L(x)有最大值.故选：A
2．（2022海南）已知某炮弹飞行高度h（单位：m）与时间x（单位：s）之间的函数关系式为，则炮弹飞行高度高于的时间长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据题意可得，解得，则炮弹飞行高度高于的时间长为（s）.
故选：A.
3．（2022山东）某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润（万元）与销售时间（月）之间的关系（即前个月的利润总和与之间的关系）.根据图象提供的信息解答下列问题：
（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润（万元）与时间（月）之间的函数关系式；
（2）求截止到第几个月末公司累积利润可达到万元；
（3）求第八个月公司所获得的利润.
【答案】（1）；（2）第十个月；（3）利润为万元.
【解析】（1）设与的函数关系式为.
由题中函数图象过点、、，得，解得，
因此，所求函数关系式为；
（2）把代入，得，整理得，
，解得，
因此，截止到第十个月末公司累积利润可达到万元；
（3）第八个月公司所获得的利润为（万元）.
因此，第八个月公司所获得的利润为万元.
4（2021·全国·高一专题练习）为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策，由政府协调，企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担.某大学毕业生校照相关政策投资销售一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月的销售量(单位:件)与销售单价(单位:元)之间的关系近似满足一次函数: .
（1）设他每月获得的利润为 (单位:元)，写出他每月获得的利润与销售单价x的函数关系式，并求出利润的最大值.
（2）相关部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于元.如果他想要每月获得的利润不少于元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少?
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）依题意可得：每件的销售利润为元，每月的销售量为件，
所以每月获得的利润与销售单价x的函数关系式为：
，
对称轴为，开口向下，此时最大值为，
所以利润与销售单价x的函数关系式，最大利润为元.
（2）由每月获得的利润不小于元，
得，
即 ，解得：，
这种节能灯的销售单价不得高于元，所以，
设政府每个月为他承担的总差价为元，
则，
由可得，
所以政府每个月为他承担的总差价的取值范围是元.
3 分段函数模型
1．（2022河南）某公司生产一种产品的固定成本为0．5万元，但每生产100件需要增加投入0．25万元，市场对此产品的需求量为500件，销售收入为函数R(x)＝5x－(0≤x≤5)万元，其中x是产品售出的数量(单位：百件)．
(1)把利润表示为年产量的函数f(x)；
(2)年产量为多少时，当年公司所得利润最大？
【答案】(1)f(x)＝；
(2)475件．
【解析】(1)产量为x(百件)，
当0≤x≤5时，f(x)＝5x－－(0.5＋0.25x)；
当x＞5时，销售收入为万元，此时f(x)＝－(0.5＋0.25x)＝12－0.25x；
∴f(x)＝；
(2)当0≤x≤5时，f(x)＝＋10.78125；
当x＞5时，函数f(x)为单调递减函数．
∴当x＝4.75时，即年产量为475件时，公司所得利润最大．
2．（2022·湖南）十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本万元，每生产（百辆）需另投入成本（万元），且.由市场调研知，每辆车售价万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.
(1)求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润=销售额—成本）
(2)当年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
【答案】(1)
(2)百辆，最大利润为万
【解析】（1）由题意得当时，，当时，，所以,
（2）由（1）得当时，，当时，，当时， ，当且仅当，即时等号成立，，时，，，时，即年产量为百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为万元.
3．（2022河南）年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.为降低疫情影响，某厂家拟尽快加大力度促进生产.已知该厂家生产某种产品的年固定成本为万元，每生产千件，需另投入成本为，当年产量不足千件时，(万元).当年产量不小于千件时，(万元).每件商品售价为万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.
（1）写出年利润(万元)关于年产量(千件)的函数解析式；
（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）；（2）当年产量为千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为万元.
【解析】（1）因为每件商品售价为万元，则千件商品销售额为万元，
依题意得：
当时，，
当时，，
所以；
（2）当时，，
此时，当时，即万元.
当时，，
此时，即万元，
由于，
所以当年产量为千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为万元.
4 基本不等式模型
1．（2022·全国·高一课时练习）近年来，中美贸易摩擦不断．特别是美国对我国华为的限制．尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为，然而这并没有让华为却步．华为在年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲．今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本万，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且．由市场调研知，每部手机售价万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．
(1)求出年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数解析式（利润销售额成本）；
(2)年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)；
(2)年产量为（千部）手机时，企业利润最大，最大利润为万元.
【解析】(1)由题意知：每生产（千部）手机，投入的成本，
，
即；
(2)①当时，，
当时，；
②当时，（当且仅当，即时取等号），；
综上所述：年产量为（千部）手机时，企业利润最大，最大利润为万元.
2．（2022·江苏）某汽车公司购买了辆大客车用于长途客运，每辆万元，预计每辆客车每年收入约万元，每辆客车第一年各种费用约为万元，从第二年开始每年比上一年所需费用要增加万元.
（1）写出辆客车运营的总利润(万元)与运营年数的函数关系式：
（2）这辆客车运营多少年，可使年平均运营利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）；（2）这4辆客车运营年，可使年平均运营利润最大，最大利润为48万元.
【解析】（1）依题意得，每辆车年总收入为万元，
总支出为，
所以辆客车运营的总利润.
（2）年平均运营利润为，
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
此时，
所以这4辆客车运营年，可使年平均运营利润最大，最大利润为48万元.
3．（2022·山西大附中）小李同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本5万元，每年生产x万件，需另投入流动成本万元，在年产量不足8万件时，（万元）；在年产量不小于8万件时，（万元）.每件产品售价为10元，经分析，生产的产品当年能全部售完.
(1)写出年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）
(2)年产量为多少万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大?最大利润是多少?
【答案】(1)
(2)当年产量为8万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润为万元.
【解析】(1)解：因为每件产品售价为10元，所以x万件产品销售收入为万元.
依题意得，当时，；
当时，.
所以；
(2)当时，，
当时，取得最大值；
当时，由双勾函数的单调性可知，函数在区间上为减函数.
当时，取得最大值.
由，则可知当年产量为8万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大，
最大利润为万元.
4．（2022·全国·高一课时练习）2022年第24届北京冬季奥林匹克运动会，于2022年2月4日星期五开幕，将于2月20日星期日闭幕．该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，与冰雪运动有关的商品销量持续增长．对某店铺某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行调查发现：该款冰雪运动装备的日销售单价（元/套）与时间x（被调查的一个月内的第x天）的函数关系近似满足（k为正常数）．该商品的日销售量（个）与时间x（天）部分数据如下表所示：
已知第10天该商品的日销售收入为121元．
(1)求k的值；
(2)给出两种函数模型：①，②，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间x的关系，并求出该函数的解析式；
(3)求该商品的日销售收入（，）（元）的最小值．
【答案】(1)
(2)选择②，，（，）
(3)121元
【解析】(1)因为第10天该商品的日销售收入为121元，所以，解得；
(2)由表中数据可得，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调，
故只能选②:
代入数据可得：，解得，，
所以，（，）
(3)由（2）可得，，
所以，，
所以当，时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以当时，有最小值，且为121；
当，时，为单调递减函数，
所以当时，有最小值，且为124，
综上，当时，有最小值，且为121元，
所以该商品的日销售收入最小值为121元．x
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