高一数学一隅三反系列(人教A版必修第一册)4.2指数函数(精讲)(原卷版+解析)

这是一份高一数学一隅三反系列(人教A版必修第一册)4.2指数函数(精讲)(原卷版+解析)，共28页。试卷主要包含了指数函数的判断，指数函数的定义域与值域，指数函数的单调性运用，指数函数的定点，指数函数的图像问题，指数函数的综合运用等内容，欢迎下载使用。


考点一 指数函数的判断
【例1-1】（2021·全国·高一专题练习）下列函数：①；②；③；④；⑤.其中一定为指数函数的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【例1-2】（2022·全国·高一专题练习）函数是指数函数，则（ ）
A．或B．C．D．且
【一隅三反】
1．（2021·全国·高一课时练习）函数，，，，其中指数函数的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（2022·湖南·高一课时练习）若函数是指数函数，则等于（ ）
A．或B．
C．D．
3（2021·全国·高一专题练习）已知函数和都是指数函数，则______.
考点二 指数函数的定义域与值域
【例2-1】（2021·全国·高一课时练习）求下列函数的定义域和值域：
(1)；(2)；(3)；(4)．
【例2-2】（2022·河南开封）若函数f(x)＝的定义域是[1，＋∞)，则a的取值范围是（ ）
A．[0，1)∪(1，＋∞)B．(1，＋∞)
C．(0，1)D．(2，＋∞)
【例2-3】（2022·江苏）若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【一隅三反】
1．（2022·福建）若关于的方程有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·江苏·高一专题练习）函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·湖北·武汉市第十五中学高一期末）函数（，且）在上的最大值为13，则实数的值为___________.
4．（2021·全国·高一课前预习）求下列函数的定义域、值域.
（1）；（2）y=4x-2x+1；（3）；（4）(a为大于1的常数)
考点三 指数函数的单调性运用
【例3-1】（2021·云南·会泽县实验高级中学校高一阶段练习）若x满足不等式，则函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【例3-2】．（2022·湖南省衡南县衡云中学高一开学考试）已知，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【例3-3】（2022·江苏盐城·高一期末）已知函数，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2022·云南丽江·高一期末）若，则a､b､c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
2（2021·新疆）若满足不等式，则函数的值域是（ ）
B．C．D．
3.（2021·浙江高一期末）已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
考点四 指数函数的定点
【例4】（2022·山东淄博·高一期末）函数（且）的图象必经过点___________.
【一隅三反】
1．（2022·江西省铜鼓中学高一期末）函数，（且）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·四川内江·高一期末）若幂函数在上单调递增，则函数且过定点（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·河北·沧县中学高一阶段练习）已知函数（且），则函数的图像恒过定点______．
4．（2021·江苏·高一专题练习）已知无论取何值函数（，且）的图象恒过定点，且在幂函数的图象上，则的解析式为__________；
考点五 指数函数的图像问题
【例5-1】（2022·全国·高一专题练习）函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【例5-2】．（2022·全国·高一）已知函数，则函数的图像经过（ ）．
A．第一、二、四象限B．第二、三、四象限
C．第二、四象限D．第一、二象限
【一隅三反】
1．（2022·全国·高一专题练习）函数(是自然底数)的大致图像是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·高一课时练习）如图所示，函数的图像是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2021·湖南·金海学校高一期中）在同一坐标系中，二次函数与指数函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2021·全国·高一课时练习）若函数图象不过第二象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点六 指数函数的综合运用
【例6】（2022·全国·高一专题练习）已知函数．
(1)判断并证明在其定义域上的单调性；
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．
【一隅三反】
1．（2022·全国·高一单元测试）已知定义域为R的函数是奇函数．
(1)求的解析式；
(2)用定义证明的单调性．
2．（2022广东）已知定义在实数集上的奇函数有最小正周期2，且当时，.
(1)求函数在上的解析式；
(2)判断在上的单调性，并证明；
(3)当取何值时，方程在上有实数解.
2．（2022·内蒙古赤峰·高一期末（文））已知函数（a为常数，且，）．请在下面三个函数：
①；②；③中，选择一个函数作为，使得具有奇偶性．
(1)请写出表达式，并求a的值；
(2)当为奇函数时，若对任意的，都有成立，求实数m的取值范围．
4.2 指数函数（精讲）
考点一 指数函数的判断
【例1-1】（2021·全国·高一专题练习）下列函数：①；②；③；④；⑤.其中一定为指数函数的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【解析】形如且为指数函数，其解析式需满足①底数为大于0，且不等于1的常数，②系数为1，③指数为自变量，所以只有②是指数函数，①③④⑤都不是指数函数，故选：B.
【例1-2】（2022·全国·高一专题练习）函数是指数函数，则（ ）
A．或B．C．D．且
【答案】C
【解析】由指数函数定义知，同时，且，所以解得.故选：C
【一隅三反】
1．（2021·全国·高一课时练习）函数，，，，其中指数函数的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】因为形如的函数称为指数函数，所以和是指数函数．
故选：B．
2．（2022·湖南·高一课时练习）若函数是指数函数，则等于（ ）
A．或B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意可得，解得.故选：C.
3（2021·全国·高一专题练习）已知函数和都是指数函数，则______.
【答案】
【解析】因为函数是指数函数，所以，
由是指数函数，所以，所以，故答案为：.
考点二 指数函数的定义域与值域
【例2-1】（2021·全国·高一课时练习）求下列函数的定义域和值域：
(1)；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)定义域为，值域为
(2)定义域为R，值域为
(3)定义域为，值域为
(4)定义域为R，值域为
【解析】(1)由题意知，∴，∴函数的定义域为．
∵，∴，∴函数的值域为．
(2)由题意知函数的定义域为R．∵，∴，
∴函数的值域为．
(3)由题意知，∴，∴，∴函数的定义域为．
∵，∴，又，∴，∴，∴，∴函数的值域为．
(4)由题意知定义域为R．∵，∴．
又，∴函数的值域为．
【例2-2】（2022·河南开封）若函数f(x)＝的定义域是[1，＋∞)，则a的取值范围是（ ）
A．[0，1)∪(1，＋∞)B．(1，＋∞)
C．(0，1)D．(2，＋∞)
【答案】B
【解析】∵ax－a≥0，∴ax≥a，∴当a＞1时，x≥1．故函数定义域为[1，＋∞)时，a＞1．
故选：B．
【例2-3】（2022·江苏）若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】令，则原问题转化为在恒成立，即在恒成立，
又当且仅当时取等号，故实数的取值范围是，故选：C．
【一隅三反】
1．（2022·福建）若关于的方程有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】方程有解，
有解，
令，
则可化为有正根，
则在有解，又当时，
所以，
故选：．
2．（2021·江苏·高一专题练习）函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，
因为
，
所以函数的值域为.
故选：C
3．（2022·湖北·武汉市第十五中学高一期末）函数（，且）在上的最大值为13，则实数的值为___________.
【答案】或
【解析】∵
令，则，
则，其对称轴为.
该二次函数在上是增函数.
①若，由，得，
故当，即时，
，解得(舍去).
②若，由，可得，
故当，即时，
.
∴或(舍去).
综上可得或.
故答案为：或.
4．（2021·全国·高一课前预习）求下列函数的定义域、值域.
（1）；（2）y=4x-2x+1；（3）；（4）(a为大于1的常数)
【答案】（1）R，(0，1)；（2）R， [)；（3），；（4）(-∞，-1)∪[1，+∞) ，[1，a)∪(a，+∞)
【解析】(1)函数的定义域为R (∵对一切xR，3x≠-1).
∵ ，
又∵ 3x>0， 1+3x>1，∴ ， ∴，
∴ ， ∴值域为(0，1).
(2)定义域为R，，
∵ 2x>0， ∴ 即=-1时，y取最小值，同时y可以取一切大于的实数，
∴ 函数的值域为[).
(3)要使函数有意义可得到不等式，即，又函数是增函数，所以，即，即函数的定义域为，值域是.
(4)∵ ，解之得(-∞，-1)∪[1，+∞)，
∴ 定义域为(-∞，-1)∪[1，+∞)，
又∵ 且，
∴ 且，
∴函数的值域为[1，)∪(，+∞).
考点三 指数函数的单调性运用
【例3-1】（2021·云南·会泽县实验高级中学校高一阶段练习）若x满足不等式，则函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由可得，
因为在R上单调递增，所以即x2+2x-3≤0，解得： ，
所以，即函数的值域是，故选:B.
【例3-2】．（2022·湖南省衡南县衡云中学高一开学考试）已知，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】∵是减函数，，所以，又，∴．故选：C．
【例3-3】（2022·江苏盐城·高一期末）已知函数，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，，即，
所以，又，所以，而递增，
故故选：D
【一隅三反】
1．（2022·云南丽江·高一期末）若，则a､b､c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为在上单调递增，且，所以，即，
因为在上单调递减，且，所以，即，所以，即故选：A
2（2021·新疆）若满足不等式，则函数的值域是（ ）
B．C．D．
【答案】B
【解析】由可得，
因为在上单调递增，所以即，解得：，
所以，即函数的值域是，故选：B.
3.（2021·浙江高一期末）已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】）因为，当时单调递减，且，当时，单调递减，且，所以函数在定义域上单调递减，因为，所以，解得，即不等式的解集为故选：A
考点四 指数函数的定点
【例4】（2022·山东淄博·高一期末）函数（且）的图象必经过点___________.
【答案】
【解析】因为函数，其中，，
令得，把代入函数的解析式得，
所以函数 (且)的图像必经过点的坐标为.
故答案为：
【一隅三反】
1．（2022·江西省铜鼓中学高一期末）函数，（且）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，解得，所以当时，，
所以函数过定点.故选：B
2．（2022·四川内江·高一期末）若幂函数在上单调递增，则函数且过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为是幂函数，
所以或，又因为该幂函数在上单调递增，
所以，即，因为，所以函数过定点，
故选：D
3．（2021·河北·沧县中学高一阶段练习）已知函数（且），则函数的图像恒过定点______．
【答案】
【解析】由解析式，当，即时，所以的图像恒过定点.
故答案为：
4．（2021·江苏·高一专题练习）已知无论取何值函数（，且）的图象恒过定点，且在幂函数的图象上，则的解析式为__________；
【答案】
【解析】由指数函数的性质知函数（，且）的图象恒过定点，
设幂函数为，在幂函数的图象上，可得：，解得，
所以.故答案为：
考点五 指数函数的图像问题
【例5-1】（2022·全国·高一专题练习）函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】函数，
当时，是增函数，当时，的减函数，
且时，，即图象过点；符合条件的图象是．故选：A．
【例5-2】．（2022·全国·高一）已知函数，则函数的图像经过（ ）．
A．第一、二、四象限B．第二、三、四象限
C．第二、四象限D．第一、二象限
【答案】B
【解析】因为，
所以函数的图象经过一、二象限，
又的图象是由的图象沿y轴向下平移2个单位得到，
所以函数的图象经过二、三、四象限，如图，
故选：B
【一隅三反】
1．（2022·全国·高一专题练习）函数(是自然底数)的大致图像是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】 ，函数为偶函数，且过，，
函数在上递增，在上递减，故C符合.故选：C.
2．（2022·全国·高一课时练习）如图所示，函数的图像是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】，时，时，.故选：B.
3．（2021·湖南·金海学校高一期中）在同一坐标系中，二次函数与指数函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】当时，指数函数是单调递增函数，且图像恒过定点，
此时，则二次函数的图像开口向下，顶点坐标为，
故选项A错误，选项B正确；
当时，指数函数是单调递减函数，且图像恒过定点，
此时，则二次函数的图像开口向上，顶点坐标为，
故选项C错误，选项D错误.
故选：B.
4．（2021·全国·高一课时练习）若函数图象不过第二象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于指数函数为增函数，则函数也为增函数，
若图象不过第二象限，则满足，则，解得：，
所以的取值范围是.故选：A.
考点六 指数函数的综合运用
【例6】（2022·全国·高一专题练习）已知函数．
(1)判断并证明在其定义域上的单调性；
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)在上单调递增；证明见解析(2)
【解析】（1）在上单调递增，证明如下：
设，；
，，又，，，在上单调递增.
（2），为上的奇函数，
由得：，
由（1）知：在上单调递增，在上恒成立；
当时，，在上恒成立；
令，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，，，即实数的取值范围为.
【一隅三反】
1．（2022·全国·高一单元测试）已知定义域为R的函数是奇函数．
(1)求的解析式；
(2)用定义证明的单调性．
【答案】(1)
(2)在R上单调递减，证明见解析
【解析】（1）因为是R上的奇函数，所以，即，解得，则．又，则，解得，经检验当，时，是奇函数，所以．
（2）证明：由（1）知，对任意的，R，且，有，因为，所以，所以，∴在R上单调递减．
2．（2022广东）已知定义在实数集上的奇函数有最小正周期2，且当时，.
(1)求函数在上的解析式；
(2)判断在上的单调性，并证明；
(3)当取何值时，方程在上有实数解.
【答案】(1)
(2)在上为减函数，证明见解析
(3)
【解析】（1）依题意，是定义在实数集上的奇函数，所以，当，，所以.
（2）当时，，在上为减函数，证明如下：任取，.由于，所以，所以在上为减函数.
（3）由（2）可知在上为减函数，所以，即，由于在上有实数解，所以.
2．（2022·内蒙古赤峰·高一期末（文））已知函数（a为常数，且，）．请在下面三个函数：
①；②；③中，选择一个函数作为，使得具有奇偶性．
(1)请写出表达式，并求a的值；
(2)当为奇函数时，若对任意的，都有成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)见解析(2)
【解析】(1)若选①：，
则，定义域为，
若函数为奇函数，则，故函数不能是奇函数，
若函数为偶函数，则，
由，可得，
化简可得，
则不为常数，即函数不可能为偶函数，不合乎题意；
若选②，，
则.
若函数为奇函数，则，不合乎题意；
若函数为偶函数，则，
由，可得，
整理可得，
则不为常数，不合乎题意.
选③，，
则，，
当为奇函数，则，
即，可得；
当为偶函数，则，
则，可得；
(2)
由（1）知，当为奇函数时，，，
因为，
所以，
由于函数在上为增函数，函数在为减函数，
所以，函数在上为增函数，
则，
若对于任意的，都有成立，
所以，
设，，
任取、，且，即，
则，
，则，，
可得，即，
所以，函数在上为增函数，
所以，，即.
所以的取值范围是.