高一数学一隅三反系列(人教A版必修第一册)5.2三角函数的定义(精讲)(原卷版+解析)

这是一份高一数学一隅三反系列(人教A版必修第一册)5.2三角函数的定义(精讲)(原卷版+解析)，共22页。试卷主要包含了三角函数的定义，三角函数正负的判断，同角三角函数的公式，弦的齐次，弦的加减乘，等式的证明等内容，欢迎下载使用。


考点一 三角函数的定义
【例1-1】（2022湖北）已知点是角终边上一点，则（ ）
A．B．C．D．
【例1-2】（2022南阳）已知角以坐标原点为顶点，以轴的非负半轴为始边，终边经过点，且，则实数的值是（ ）
A．2B．C．D．
【例1-3】（2022驻马店）已知角的终边上有一点，且，则实数m取值为 ．
【一隅三反】
1．（2022洛阳）已知角的终边过点，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2022鹤峰）已知角的终边经过点，且，则实数的值是（ ）
A．-2B．-1C．2D．1
3．（2022乐山）角的终边经过点，则的值为 ．
考点二 三角函数正负的判断
【例2-1】（2022高一上·达州期末）已知角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，，，则角为（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【例2-2】（2022高一下·陕西期末）若 ，则点 位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【一隅三反】
1．（2022湖南）若，，则角的终边在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（2022·山东临沂）设角的始边为轴的非负半轴，则“角的终边在第二象限”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2022怀化）（多选）对于① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ ，则 为第二象限角的充要条件为（ ）
A．①③B．①④C．④⑥D．②⑤
考点三 同角三角函数的公式
【例3-1】（2022镇巴县）已知，且为第四象限角，则（ ）
A．B．C．D．
【例3-2】（2022齐齐哈尔）已知，且为第四象限角，则（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2022高一上·广东期末）已知是第三象限角，且，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2022阎良）已知，，则（ ）
A．-2B．2C．D．
3．（2022广西）（多选）已知，则m的值可以等于（ ）
A．0B．4C．6D．8
4．（2022·浙江衢州·）已知，，则________
考点四 弦的齐次
【例4-1】（2022揭东）已知，则
【例4-2】（2021高一下·大荔期末）已知，则的值为（ ）
A．9B．6C．-2D．3
【例4-3】（2022鄠邑期中）已知，求下列各式的值：
（1）；
（2）.
【一隅三反】
1．（2022柳州月考）已知角的终边过点，则（ ）
A．2B．1C．-1D．-2
2．（2022沧县）已知 ，则 （ ）
A．B．C．D．
3．（2022镇巴县）已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2022高一上·泸州期末）已知第三象限角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（ ）
A．B．C．D．-1
考点五 弦的加减乘
【例5-1】（2021高一下·韩城期末）若，则（ ）
A．B．C．D．
【例5-2】（2022山西月考）已知为第四象限角，，则（ ）
A．B．C．D．
【例5-3】（2022湖北）（多选）已知，，那么的可能值为（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2022湖北）已知，则_________．
2．（2022常州期末）已知 ，则 的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022淄博期末）（多选）若角 为钝角，且 ，则下列选项中正确的有（ ）
A．B．
C．D．
考点六 等式的证明
【例6-1】（2021·全国）证明下列恒等式：
（1）
（2）
【例6-2】（2022福建）化简下列各式：（1）；
（2）．
【一隅三反】
1．（2022高一下·九江期末）化简：（是第二、三象限角）（ ）
A．B．C．D．
2．（2022高一下·南阳期末）化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·全国）若<α<2π，求证：＋＝－.
4．（2022黑龙江）化简下列各式：
（1）－；
（2） (1－cs α)．
5.2 三角函数的定义（精讲）
考点一 三角函数的定义
【例1-1】（2022湖北）已知点是角终边上一点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意点P的坐标为 ， ， ；
故答案为：D.
【例1-2】（2022南阳）已知角以坐标原点为顶点，以轴的非负半轴为始边，终边经过点，且，则实数的值是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意有，解得或，
由于，则，所以满足题意.故答案为：A
【例1-3】（2022驻马店）已知角的终边上有一点，且，则实数m取值为 ．
【答案】0或
【解析】因为角的终边上有一点， 所以，解得或.
故答案为：0或.
【一隅三反】
1．（2022洛阳）已知角的终边过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题设，。 故答案为：A
2．（2022鹤峰）已知角的终边经过点，且，则实数的值是（ ）
A．-2B．-1C．2D．1
【答案】B
【解析】 ，说明角的终边在第二或第三象限，终边上的点 ，
，说明终边在第二象限， ， ，
，解得a=-1；故答案为：B.
3．（2022乐山）角的终边经过点，则的值为 ．
【答案】
【解析】由角的终边经过点，可知
则，，所以．故答案为：
考点二 三角函数正负的判断
【例2-1】（2022高一上·达州期末）已知角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，，，则角为（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【答案】B
【解析】由，可知角是第一或第二象限角或者是轴正半轴上的角，
由，可知 是第二或第四象限角，故，，可知 是第二象限角，
故答案为：B.
【例2-2】（2022高一下·陕西期末）若 ，则点 位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【解析】∵ ，∴tanα<0，csα>0，∴点P(tanα，csα)位于第二象限， 故选：B
【一隅三反】
1．（2022湖南）若，，则角的终边在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【解析】∵，∴在第一或第三象限，又∵，∴在第三象限.
故选：C.
2．（2022·山东临沂）设角的始边为轴的非负半轴，则“角的终边在第二象限”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】解：已知角的始边为轴非负半轴，
若角的终边在第二象限，则；
若，则角的终边在第二、三象限或者在轴负半轴上，
故“角的终边在第二象限”是“”的充分不必要条件，
故选：．
3．（2022怀化）（多选）对于① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ ，则 为第二象限角的充要条件为（ ）
A．①③B．①④C．④⑥D．②⑤
【答案】B,C
【解析】若 为第二象限角，则 ， ， .
所以， 为第二象限角 或 或 .
故答案为：BC.
【分析】根据三角函数角的符号和象限之间的关系分别进行判断，可得答案。
考点三 同角三角函数的公式
【例3-1】（2022镇巴县）已知，且为第四象限角，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为为第四象限角 所以。故答案为：D.
【例3-2】（2022齐齐哈尔）已知，且为第四象限角，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意，在第四象限，则。 故答案为：A.
【一隅三反】
1．（2022高一上·广东期末）已知是第三象限角，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为是第三象限角，且， 所以，故答案为：A.
2．（2022阎良）已知，，则（ ）
A．-2B．2C．D．
【答案】D
【解析】因为，，， 故答案为：D
3．（2022广西）（多选）已知，则m的值可以等于（ ）
A．0B．4C．6D．8
【答案】AD
【解析】根据同角三角函数基本关系，可得，
解得或.故选：AD
4．（2022·浙江衢州·）已知，，则________
【答案】
【解析】由，即，
又由，联立方程组，解得，
又因为，所以.故答案为：.
考点四 弦的齐次
【例4-1】（2022揭东）已知，则
【答案】11
【解析】对原式分子分母同时除以， 则.
故答案为：11
【例4-2】（2021高一下·大荔期末）已知，则的值为（ ）
A．9B．6C．-2D．3
【答案】D
【解析】根据可得，又 ，
，ABC不符合题意，D符合题意. 故答案为：D.
【例4-3】（2022鄠邑期中）已知，求下列各式的值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）53 （2）2.6
【解析】（1）解：因为，所以.；
（2）解：，，，
，
【一隅三反】
1．（2022柳州月考）已知角的终边过点，则（ ）
A．2B．1C．-1D．-2
【答案】B
【解析】故答案为：B
2．（2022沧县）已知 ，则 （ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 . 故答案为：B.
3．（2022镇巴县）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意得。 故答案为：C.
4．（2022高一上·泸州期末）已知第三象限角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（ ）
A．B．C．D．-1
【答案】D
【解析】由题意得，，解得，
又为第三象限角，所以，故，
所以，故答案为：D.
考点五 弦的加减乘
【例5-1】（2021高一下·韩城期末）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为， 所以，所以，
所以，所以。故答案为：B
【例5-2】（2022山西月考）已知为第四象限角，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以，所以，所以，所以，所以，因为为第四象限角，所以，，所以。 故答案为：B
【例5-3】（2022湖北）（多选）已知，，那么的可能值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【解析】因为①，又sin2α+cs2α=1②， 联立①②，解得sinα=2−64csα=2+64或，sinα=2+64csα=2−64因为，所以或．故答案为：BD
【一隅三反】
1．（2022湖北）已知，则_________．
【答案】0
【解析】由题意得，
所以0.
故答案为：0
2．（2022常州期末）已知 ，则 的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】已知 ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以 ，所以 .
故答案为：C.
3．（2022淄博期末）（多选）若角 为钝角，且 ，则下列选项中正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】 ，解得： ，D符合题意；
，
是钝角， ，即 ，
联立 ，解得： ， 。故答案为：BD
考点六 等式的证明
【例6-1】（2021·全国）证明下列恒等式：
（1）
（2）
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）
；
（2）左边，
右边＝左边．原等式得证．
【例6-2】（2022福建）化简下列各式：（1）；
（2）．
【答案】（1）1；（2）.
【解析】（1）原式；
（2）原式．
【一隅三反】
1．（2022高一下·九江期末）化简：（是第二、三象限角）（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】．
当是第二、第三象限角时， 原式． 故答案为：C．
2．（2022高一下·南阳期末）化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】原式
.
故答案为：D.
3．（2021·全国）若<α<2π，求证：＋＝－.
【答案】证明见解析.
【解析】∵<α<2π，∴sin α<0.
左边＝＋
＝＋
＝＋
＝－－
＝－＝右边．
∴原等式成立．
4．（2022黑龙江）化简下列各式：
（1）－；
（2） (1－cs α)．
【答案】（1）－2tan2α；（2）sin α.
【解析】
（1）原式＝＝＝＝－2tan2α.
（2）原式＝ (1－cs α)＝ (1－cs α)＝＝sin α.