高一数学一隅三反系列(人教A版必修第一册)5.4三角函数的图象与性质(精讲)(原卷版+解析)

这是一份高一数学一隅三反系列(人教A版必修第一册)5.4三角函数的图象与性质(精讲)(原卷版+解析)，共29页。试卷主要包含了周期性，单调性，奇偶性，对称性，解三角函数不等式，最值等内容，欢迎下载使用。


考点一 周期性
【例1-1】（2022·北京）在函数①，② ，③，④中，最小正周期为 的所有函数为（ ）
A．②④B．①③④C．①②③D．②③④
【例1-2】（2021·上海市进才中学高一期中）已知函数的最小正周期为，则_____.
【一隅三反】
1．（2022·广东）（多选）下列函数中，最小正周期为的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2021·齐河县第一中学高一期中）（多选）下列函数周期为的是（ ）
A．B．
C．D．
考点二 单调性
【例2-1】（2022广西）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
【例2-2】（2022高一下·南阳期末）函数的单调递增区间为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【例2-3】（2022高一下·武汉期末）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．C．[1，3]D．
【一隅三反】
1．（2022高一下·镇江期末）下列区间中，函数单调递减的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022高一下·鄠邑期中）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·安丘模拟）下列区间中，函数 单调递减的区间是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022高一下·宿州期中）已知函数（）在上单调，则的可能值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
考点三 奇偶性
【例3-1】（2021·广东）（多选）下列函数中最小正周期为，且为偶函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【例3-2】（2022高一上·资阳期末）已知函数为偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2022·陕西）下列函数为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·青海）下列函数中，最小正周期为π，且为偶函数的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022浙江）已知函数 是定义在 上的偶函数，则 （ ）
A．1B．-1C．0D．1或-1
考点四 对称性
【例4-1】（2022高一下·汉中期中）下列关于函数的图象，说法正确的是（ ）
A．关于点对称B．关于直线对称
C．关于直线对称D．关于点对称
【例4-2】（2022·广州模拟）如果函数的图像关于点对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2022安徽开学考）函数的图象的一个对称中心为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022高一下·陕西期末）函数 的图象的对称轴方程可以为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·深圳模拟）若是函数图象的对称轴，则的最小正周期的最大值是（ ）
A．πB．C．D．
4．（2022·西安）如果函数y=3cs(2x+φ)的图象关于点对称，那么|φ|的最小值为（ ）
A．B．C．D．
考点五 解三角函数不等式
【例5-1】（2022高一下·南阳月考）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【例5-2】（2021·上海高一专题练习）利用图像，不等式的解集为____________.
【一隅三反】
1．（2022湖南）使得正确的一个区间是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·南京）满足，的角的集合___________.
3．（2021·上海）函数的定义域为______.
4．（2022陕西）若，则满足的的取值范围为______________；
考点六 最值
【例6-1】（2022·河南）已知函数的最小正周期为，则在区间上的最小值为 ．
【例6-2】（2022高一下·镇巴县期中）已知函数在上的值域为，则m的取值范围是 ．
【一隅三反】
1．（2022·宁夏）函数在区间上的值域是___________．
2．（2021·建平县实验中学）已知函数，在内的值域为，则的取值范围为___________.
3．（2022高一下·电白期末）已知函数，.
（1）求的最小正周期及单调增区间；
（2）求在区间的值域.
5.4 三角函数的图象与性质（精讲）
考点一 周期性
【例1-1】（2022·北京）在函数①，② ，③，④中，最小正周期为 的所有函数为（ ）
A．②④B．①③④C．①②③D．②③④
【答案】C
【解析】∵=，∴==；
图象是将=在轴下方的图像对称翻折到轴上方得到，
所以周期为，由周期公式知，为，为，故选：C.
【例1-2】（2021·上海市进才中学高一期中）已知函数的最小正周期为，则_____.
【答案】
【解析】因为函数的最小正周期为，所以，所以.故答案为：
【一隅三反】
1．（2022·广东）（多选）下列函数中，最小正周期为的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【解析】对于A，最小正周期为；
对于B，，最小正周期为；
对于C，，最小正周期为；
对于D，，最小正周期为，
故选 ：ABC
2．（2021·齐河县第一中学高一期中）（多选）下列函数周期为的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】的最小正周期为；
由的图象是由y=cs x的图象将x轴上方的部分保持不变，下方的部分向上翻转而得到，由图象可知其周期为；
的最小正周期为；
的最小正周期为.
故选：BCD.
考点二 单调性
【例2-1】（2022广西）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，解得，
又，∴.所以函数的单调递增区间为.故选：D.
【例2-2】（2022高一下·南阳期末）函数的单调递增区间为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】， 令，
得，所以函数的单调递增区间为，.故答案为：C.
【例2-3】（2022高一下·武汉期末）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．C．[1，3]D．
【答案】B
【解析】设的周期为T，因为，即，解得，
由，解得，
即在区间上单调递减，
因为，显然k只能取0，所以且，解得.故答案为：B.
【一隅三反】
1．（2022高一下·镇江期末）下列区间中，函数单调递减的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，得，
当时，其递减区间为，当时，其递减区间为，
当时，其递减区间为，
所以在，，上不递减，在上单调递减，故答案为：C
2．（2022高一下·鄠邑期中）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】根据正切函数性质可知， 当时，函数单调递增，即。故答案为：C.
3．（2022·安丘模拟）下列区间中，函数 单调递减的区间是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】 的单调递减区间即函数 的单调递增区间，令 ，解不等式得到 ，令 得 ， ，
所以 是函数的单调递减区间，其他选项均不符合，
故答案为：B
4．（2022高一下·宿州期中）已知函数（）在上单调，则的可能值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】AB
【解析】因为，，故可得，
又因为的单调增区间为，
故，解得且，
又因为，故，。故答案为：AB.
考点三 奇偶性
【例3-1】（2021·广东）（多选）下列函数中最小正周期为，且为偶函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】对于A，定义域为，因为，所以函数为偶函数，因为的图像是由的图像在轴下方的关于轴对称后与轴上方的图像共同组成，所以的最小正周期为，所以A正确，
对于B，定义域为，因为，所以函数为奇函数，所以B错误，
对于C，定义域为，，最小正周期为，因为，所以函数为偶函数，所以C正确，对于D，定义域为，最小正周期为，所以D错误，故选：AC
【例3-2】（2022高一上·资阳期末）已知函数为偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为函数为偶函数， 所以，，
因为，所以当时，，故答案为：C．
【一隅三反】
1．（2022·陕西）下列函数为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】A.函数的定义域为，满足，所以函数是偶函数，故错误；
B. 函数的定义域为，满足，所以函数是偶函数，故错误；
C. 函数的定义域为，满足，所以函数是奇函数，故正确；
D. 函数的定义域为，函数既不满足，也不满足，所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，故错误.
故选：C
2．（2022·青海）下列函数中，最小正周期为π，且为偶函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】A. 的最小正周期为，是非奇非偶函数，故错误；
B. 的最小正周期为，是奇函数，故错误；
C.如图所示： ，不周期函数，为偶函数，故错误；D. 如图所示：，的最小正周期为，是偶函数，故正确；故选：D
3．（2022浙江）已知函数 是定义在 上的偶函数，则 （ ）
A．1B．-1C．0D．1或-1
【答案】C
【解析】∵函数 是定义在 上的偶函数，
∴函数的图象关于y轴对称∴，k∈z
∴
考点四 对称性
【例4-1】（2022高一下·汉中期中）下列关于函数的图象，说法正确的是（ ）
A．关于点对称B．关于直线对称
C．关于直线对称D．关于点对称
【答案】C
【解析】A：，即关于对称，故错误；
B：，即关于对称，故错误；
C：，即关于对称，故正确；
D：，故错误.故答案为：C.
【例4-2】（2022·广州模拟）如果函数的图像关于点对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据题意，，即，
解得；当时，取得最小值.故答案为：B.
【一隅三反】
1．（2022安徽开学考）函数的图象的一个对称中心为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】【解答】由，可得，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以为图象的一个对称中心，故答案为：D
2．（2022高一下·陕西期末）函数 的图象的对称轴方程可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由2x+=kπ+(k∈Z)，得x=，当k=0时，x= .故选：A
3．（2022·深圳模拟）若是函数图象的对称轴，则的最小正周期的最大值是（ ）
A．πB．C．D．
【答案】A
【解析】依题意，解得，因为，所以且，所以的最小正周期，所以，当时，。 故答案为：A
4．（2022·西安）如果函数y=3cs(2x+φ)的图象关于点对称，那么|φ|的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因函数y=3cs(2x+φ)的图象关于点对称，则有，
于是得 ，显然 对于 是递增的，
而 时， ， ，当 时， ， ，
所以|φ|的最小值为 .故答案为：A
考点五 解三角函数不等式
【例5-1】（2022高一下·南阳月考）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】依题意，，即，于是得，
解得：所以函数的定义域是.故答案为：B
【例5-2】（2021·上海高一专题练习）利用图像，不等式的解集为____________.
【答案】
【解析】函数图象如下所示：
令，则，解得；
令，则，解得，
因为，所以，即原不等式的解集为，
故答案为：.
【一隅三反】
1．（2022湖南）使得正确的一个区间是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】作出与的图象，如图：
由图可知，若，其中满足，
故选：A
2．（2022·南京）满足，的角的集合___________.
【答案】
【解析】由得，，
因为，所以.
当时，
若，则可能的取值为，，
相应的的取值为，.
所以所求角的集合为.
故答案为：.
3．（2021·上海）函数的定义域为______.
【答案】
【解析】要使函数有意义，则，
即，所以.
故答案为：.
4．（2022陕西）若，则满足的的取值范围为______________；
【答案】
【解析】当时，令，解得或，结合正弦函数的图象与性质，可得当时，的解集为.故答案为：
考点六 最值
【例6-1】（2022·河南）已知函数的最小正周期为，则在区间上的最小值为 ．
【答案】-2
【解析】因为，且函数的最小正周期为， 所以，所以，
由，得，
又函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当即时，函数取得最小值，且最小值为-2。故答案为：-2。
【例6-2】（2022高一下·镇巴县期中）已知函数在上的值域为，则m的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为，所以，因为在上的值域为，，所以，解得。 故答案为：。
【一隅三反】
1．（2022·宁夏）函数在区间上的值域是___________．
【答案】
【解析】当时，，
∴，故，
即的值域为.
故答案为：.
2．（2021·建平县实验中学）已知函数，在内的值域为，则的取值范围为___________.
【答案】
【解析】函数，
当时，，又，
，画出图形如图所示；
所以，解得，
的取值范围是．故答案为：．
3．（2022高一下·电白期末）已知函数，.
（1）求的最小正周期及单调增区间；
（2）求在区间的值域.
【答案】见解析
【解析】（1）解：∵，∴，即最小正周期.
由，解得，
∴增区间为，
（2）解：∵，∴，∴，
∴，∴值域为.