高一数学一隅三反系列(人教A版必修第一册)5.7三角函数的应用(精练)(原卷版+解析)

这是一份高一数学一隅三反系列(人教A版必修第一册)5.7三角函数的应用(精练)(原卷版+解析)，共24页。试卷主要包含了的形式等内容，欢迎下载使用。

1．（2022广东）如图，在扇形POQ中，半径，圆心角，B是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形．其中CD在半径OQ上，记．
（1）当时，求矩形ABCD的面积；
（2）求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大值．
2．（2022·江苏·徐州中学高一开学考试）如图，正方形ABCD边长为5，其中AEF是一个半径为4的扇形，在弧EF上有一个动点Q，过Q作正方形边长BC，CD的垂线分别交BC，CD于G，H，设，长方形QGCH的面积为S.
（1）求关于的函数解析式；
（2）求的最大值.
3．（2022·江西省万载中学高一阶段练习）如图所示，一条河宽AC为1km，两岸各有一座城市A和B，A与B的直线距离是4km，今需铺设一条电缆连接城市A和B，已知地下电缆的修建费是2万元/km，水下电缆的修建费是4万元/km，假设两岸是平行直线（没有弯曲），设∠CAD=θ，铺设电缆总施工费用为y元.
(1)求y关于θ的函数关系式.
(2)应该铺设地下电缆BD多长时方可使总施工费用y达到最小.
2 在生活中的应用
1．（2022广西）（多选）如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则（ ）．
A．点第一次到达最高点需要20秒
B．当水轮转动155秒时，点距离水面2米
C．当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面2米
D．点距离水面的高度（米）与（秒）的函数解析式为
2．（2022·广东清远·高一期中）（多选）如图为一半径为3m的水轮，水轮圆心O距水面2m，已知水轮每分钟转5圈，水轮上的点P到水面距离y（m）与时间x（s）满足关系式，则有（ ）
B．
C．D．
3．（2021·全国·高一专题练习）游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：
（1）你与地面的距离随时间的变化而变化，这个现象是周期现象吗？
（2）转四圈需要多少时间？
（3）你第四次距地面最高需要多少时间？
（4）转60分钟时，你距离地面是多少？
4．（2022·辽宁丹东·高一期末）如图，某地一天从时的温度变化曲线近似满足，其中，，.
(1)求，，，；
(2)求这一天时的最大温差近似值.
参考数据：，.
5．（2021·陕西师大附中高一期中）如图，公园摩天轮的半径为40米，圆心距地面的高度为50米，摩天轮做匀速转动每2分钟转一圈．某人从摩天轮的最低点处登上摩天轮并开始计时，已知经过t分钟时，此人距离地面的高度为y米，且．
(1)求的解析式．
(2)当离地面米以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中此人有多长时间可以看到公园的全貌？
3 在物理上的应用
1．（2021·全国·高一专题练习）如图所示为一质点做简谐运动的图象，则下列判断中正确的是（ ）
A．该质点的振动周期为B．该质点的振幅为
C．该质点在和时振动速度最大D．该质点在和时的振动速度为0
2．（2022·湖南·高一课时练习）电流随时间变化的函数的图象如图所示，则时的电流为______．
3．（2021·全国·高一专题练习）某星星的亮度变化周期为10天，此星星的平均亮度为3.8星等，最高亮度距离平均亮度0.2星等，则可近似地描述此星星的亮度与时间之间关系的一个三角函数为________．
4．（2022·陕西 ）如图，一根长l（单位：cm）的线，一端固定，另一端悬挂一个小钢球，当小钢球做单摆运动时，离开平衡位置的位移S（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系可近似的表示为，其中.
(1)当时，小钢球离开平衡位置的位移S是多少cm？
(2)要使小钢球摆动的周期是1s，则线的长度l应该为多少cm（精确到0.1cm）？
5（2022·江苏 ）若单摆中小球相对静止位置的位移随时间的变化而周期性变化，如图所示，请回答下列问题：
(1)单摆运动的周期是多少？
(2)从点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从点算起呢？
(3)当时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？
6（2022·河南·高一阶段练习）如图，某个弹簧振子（简称振子）在完成一次全振动的过程中，时间（单位：）与位移（单位：）之间的对应数据如表所示，其变化规律可以用来刻画．
(1)试确定位移关于时间的函数关系式；
(2)在理想状态下，经过10秒，该弹簧振子的位移和路程分别是多少？（精确到0.1）
7．（2022·湖南·高一课时练习）如图为某简谐振动的图象，它符合（，，）的形式．
(1)求该简谐振动的振幅、周期、频率和初相；
(2)求该简谐振动的函数解析式；
(3)求该函数的单调递增区间．
8．（2021·全国·高一专题练习）用弹簧挂着的小球做上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度h厘米由下列关系式确定：．以t为横坐标，h为纵坐标，作出这个函数在上的图象，并回答下列问题．
(1)小球在开始振动时（即时）的位置在哪里？
(2)小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？
(3)经过多长时间小球往复运动一次？
(4)每秒钟小球能往复运动多少次？t
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
y
10.3
20.0
10.3
5.7 三角函数的应用（精练）
1 在几何中的应用
1．（2022广东）如图，在扇形POQ中，半径，圆心角，B是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形．其中CD在半径OQ上，记．
（1）当时，求矩形ABCD的面积；
（2）求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大值．
【答案】（1）；（2）当时，矩形ABCD的面积，最大面积为．
【解析】（1）在中，，，
在中，，
所以，
所以，
设矩形ABCD的面积为S，则.
（2）在中，，．
在中，，
所以，
所以，
设矩形ABCD的面积为S，
则，
，
由，得，
所以当，即时．
因此，当时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为．
2．（2022·江苏·徐州中学高一开学考试）如图，正方形ABCD边长为5，其中AEF是一个半径为4的扇形，在弧EF上有一个动点Q，过Q作正方形边长BC，CD的垂线分别交BC，CD于G，H，设，长方形QGCH的面积为S.
（1）求关于的函数解析式；
（2）求的最大值.
【答案】（1），；（2）5.
【解析】⑴，则在竖直方向上的投影的长度为，在水平方向上的投影长度为，
故，，
，，
整理得：，；
（2），，
令，即，平方可得，
当时，可求得.
，，
根据二次函数对称性可知，当时，.
3．（2022·江西省万载中学高一阶段练习）如图所示，一条河宽AC为1km，两岸各有一座城市A和B，A与B的直线距离是4km，今需铺设一条电缆连接城市A和B，已知地下电缆的修建费是2万元/km，水下电缆的修建费是4万元/km，假设两岸是平行直线（没有弯曲），设∠CAD=θ，铺设电缆总施工费用为y元.
(1)求y关于θ的函数关系式.
(2)应该铺设地下电缆BD多长时方可使总施工费用y达到最小.
【答案】(1)，其中
(2)
【解析】（1）由题可知，，其中
（2）由（1）可得
因为，所以，设，则，即，因为，所以，解得，，此时，，满足，故当时，总施工费用y达到最小，
所以
2 在生活中的应用
1．（2022广西）（多选）如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则（ ）．
A．点第一次到达最高点需要20秒
B．当水轮转动155秒时，点距离水面2米
C．当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面2米
D．点距离水面的高度（米）与（秒）的函数解析式为
【答案】ABC
【解析】设点距离水面的高度（米）和时间（秒）的函数解析式为
，
由题意得：解得
故．故D错误；
对于A，令，即，解得：，故A正确；
对于B，令，代入，解得：，故B正确；
对于C，令，代入，解得：，故C正确．
故选：ABC
2．（2022·广东清远·高一期中）（多选）如图为一半径为3m的水轮，水轮圆心O距水面2m，已知水轮每分钟转5圈，水轮上的点P到水面距离y（m）与时间x（s）满足关系式，则有（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【解析】由题意可知，可得，该函数的周期为，∴.
故选：BCD.
3．（2021·全国·高一专题练习）游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：
（1）你与地面的距离随时间的变化而变化，这个现象是周期现象吗？
（2）转四圈需要多少时间？
（3）你第四次距地面最高需要多少时间？
（4）转60分钟时，你距离地面是多少？
【答案】（1）是周期现象；（2）48（分钟）；（3）42（分钟）；（4）0.5（米）．
【解析】（1）游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心距离地面40.5米，半径40米，从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，利用三角函数的周期性得到你与地面的距离随时间的变化而变化，这个现象是周期现象．
（2）每转一圈需要12分钟，
转四圈需要分钟．
（3）游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心距离地面
40.5米，半径40米，
出发后6分钟时，摩天轮第一次到达最高点，
你第四次距地面最高需要：分钟．
（4）由已知可设，，
由周期为12分钟可知，
当时，摩天轮第一次到达最高点，即函数第一次取得最大值，所以，即，
，
转60分钟时，你距离地面高度为：（米)．
4．（2022·辽宁丹东·高一期末）如图，某地一天从时的温度变化曲线近似满足，其中，，.
(1)求，，，；
(2)求这一天时的最大温差近似值.
参考数据：，.
【答案】(1)，，，(2)
【解析】(1)由图象可知：，，最小正周期，
，，；
，，
，解得：，
又，.
(2)由图象可知：在上单调递减，在上单调递增，
，，
，
即这一天时的最大温差近似值为.
5．（2021·陕西师大附中高一期中）如图，公园摩天轮的半径为40米，圆心距地面的高度为50米，摩天轮做匀速转动每2分钟转一圈．某人从摩天轮的最低点处登上摩天轮并开始计时，已知经过t分钟时，此人距离地面的高度为y米，且．
(1)求的解析式．
(2)当离地面米以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中此人有多长时间可以看到公园的全貌？
【答案】(1)(2)分钟
【解析】(1)由题意可得，所以，
又，即，因为，所以，
所以；
(2)由题可得，即，
解得，即，
因为，
所以转一圈中此人有分钟可以看到公园的全貌.
3 在物理上的应用
1．（2021·全国·高一专题练习）如图所示为一质点做简谐运动的图象，则下列判断中正确的是（ ）
A．该质点的振动周期为B．该质点的振幅为
C．该质点在和时振动速度最大D．该质点在和时的振动速度为0
【答案】B
【解析】由图象可知周期是，A错，振幅为，B正确；曲线上各点处的切线的斜率（导数值）才是相应的速度，质点在和时振动速度为0，C错，质点在和时的振动速度不为0，D错．
故选：B．
2．（2022·湖南·高一课时练习）电流随时间变化的函数的图象如图所示，则时的电流为______．
【答案】
【解析】由函数的图象可得，且，故，
而，故，
解得，故，
故，
故答案为：.
3．（2021·全国·高一专题练习）某星星的亮度变化周期为10天，此星星的平均亮度为3.8星等，最高亮度距离平均亮度0.2星等，则可近似地描述此星星的亮度与时间之间关系的一个三角函数为________．
【答案】
【解析】设所求函数为，由题意得，即，，，故．
故答案为：
4．（2022·陕西 ）如图，一根长l（单位：cm）的线，一端固定，另一端悬挂一个小钢球，当小钢球做单摆运动时，离开平衡位置的位移S（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系可近似的表示为，其中.
(1)当时，小钢球离开平衡位置的位移S是多少cm？
(2)要使小钢球摆动的周期是1s，则线的长度l应该为多少cm（精确到0.1cm）？
【答案】(1)1.5cm；(2).
【解析】(1)在函数中，当时，，
所以当时，小钢球离开平衡位置的位移S是1.5cm.
(2)依题意，，而周期，又，则，即，解得()，
所以线的长度l应该为.
5（2022·江苏 ）若单摆中小球相对静止位置的位移随时间的变化而周期性变化，如图所示，请回答下列问题：
(1)单摆运动的周期是多少？
(2)从点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从点算起呢？
(3)当时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？
【答案】(1)
(2)从点算起，到曲线上的点表示完成了一次往复运动; 从点算起，到曲线上的点表示完成了一次往复运动
(3)
【解析】(1)从题图可以看出，单摆运动的周期是；
(2)若从点算起，到曲线上的点表示完成了一次往复运动；若从点算起，到曲线上的点表示完成了一次往复运动；
(3)，所以小球经过相对于静止位置的位移是．
6（2022·河南·高一阶段练习）如图，某个弹簧振子（简称振子）在完成一次全振动的过程中，时间（单位：）与位移（单位：）之间的对应数据如表所示，其变化规律可以用来刻画．
(1)试确定位移关于时间的函数关系式；
(2)在理想状态下，经过10秒，该弹簧振子的位移和路程分别是多少？（精确到0.1）
【答案】(1)
(2)弹簧振子的位移是，路程为
【解析】(1)由数据表可知，．
振子的周期为0.60s，所以，解得．
所以，因为时，．
所以，，，
因为，所以．
所以位移y关于时间t的函数解析式为．
(2)当时，，
所以该弹簧振子的位移是10mm．
因为10秒内，该弹簧振子经过了个周期，
所以该弹簧振子经过的路程为．
7．（2022·湖南·高一课时练习）如图为某简谐振动的图象，它符合（，，）的形式．
(1)求该简谐振动的振幅、周期、频率和初相；
(2)求该简谐振动的函数解析式；
(3)求该函数的单调递增区间．
【答案】(1)振幅，周期，频率为，初相位为.
(2)
(3)
【解析】(1)
由图象可得振幅，，故周期，所以频率为，
又，故，
所以，而，故，
故初相位为：.
(2)
由（1）可得.
(3)
因为，故令，
解得，
故该函数的增区间为.
8．（2021·全国·高一专题练习）用弹簧挂着的小球做上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度h厘米由下列关系式确定：．以t为横坐标，h为纵坐标，作出这个函数在上的图象，并回答下列问题．
(1)小球在开始振动时（即时）的位置在哪里？
(2)小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？
(3)经过多长时间小球往复运动一次？
(4)每秒钟小球能往复运动多少次？
【答案】(1)小球在开始振动时在距离平衡位置厘米处
(2)都是2厘米
(3)秒
(4)
【解析】(1)函数在上的图象如图．
当时，（厘米），即小球在开始振动时在距离平衡位置厘米处．
(2)小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是2厘米．
(3)小球往复运动一次就是一个周期，易知秒，即经过秒往复运动一次．
(4)每秒钟往复运动的次数．t
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
y
10.3
20.0
10.3