高一数学一隅三反系列(人教A版必修第一册)1.1集合的概念及特征(精练)(原卷版+解析)

这是一份高一数学一隅三反系列(人教A版必修第一册)1.1集合的概念及特征(精练)(原卷版+解析)，共21页。试卷主要包含了判断下列各组对象能否构成集合，已知集合，那么正确的是，，则.，用列举法表示下列集合等内容，欢迎下载使用。

1．（2022·湖南）下列对象不能组成集合的是（ ）
A．不超过20的质数B．的近似值
C．方程的实数根D．函数的最小值
2．（2022·河北·武安市第一中学）（多选）下列各组对象能构成集合的是（ ）
A．拥有手机的人B．2020年高考数学难题
C．所有有理数D．小于的正整数
3．（2022·全国·专题练习）（多选）下列每组对象，能构成集合的是（ ）
A．中国各地最美的乡村B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点
C．一切很大的数D．清华大学2020年入学的全体学生
4．（2022·青海）下列描述正确的有（ ）
（1）很小的实数可以构成集合；
（2）集合与集合是同一个集合；
（3）这些数组成的集合有5个元素；
（4）偶数集可以表示为.
A．0个B．1个C．2个D．3个
5．（2022·湖南·高一课时练习）判断下列各组对象能否构成集合．若能构成集合，指出是有限集还是无限集；若不能构成集合，试说明理由．
(1)北京各区县的名称；
(2)尾数是5的自然数；
(3)我们班身高大于1.7m的同学．
2 集合与元素的关系
1．（2022·浙江丽水）下列元素与集合的关系中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·广东·信宜市第二中学）下列关系中正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·广东·惠来县第一中学）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·天津河北·高一期末）下列关系中正确的个数是（ ）
① ② ③ ④
A．1B．2C．3D．4
5．（2022·全国·高一课时练习）设集合，则下列关系式成立的是（ ）
A．B．C．D．
6（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学）（多选）下列表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·全国·高一课时练习）（多选）已知集合，那么正确的是( )
A． B． C． D．
8．（2022·上海）非空集合具有下列性质：①若、，则；②若、，则，下列判断一定成立的是（ ）
（1）；（2）；（3）若、，则；（4）若、，则.
A．（1）（3）B．（1）（2）
C．（1）（2）（3）D．（1）（2）（3）（4）
9．（2022·湖南·高一课时练习）使用“”“”和数集符号来替代下列自然语言：
(1)“255是正整数”；
(2)“不是有理数”；
(3)“3.1416是正有理数”；
(4)“是整数”；
(5)“是负实数”.
10．（2022·全国·高一）设数集由实数构成，且满足：若（且），则.
（1）若，试证明中还有另外两个元素；
（2）集合是否为双元素集合，并说明理由；
（3）若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.
3 集合的表示方法
1（2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校高一期末（文））方程的所有实数根组成的集合为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·北京西城·高一期末）方程组的解集是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·全国·高一课时练习）方程组的解集可表示为___________（填序号）．
①；②；③；④．
4．（2022·上海·曹杨二中高一期末）已知集合，则集合=______．（用列举法表示）
5．（2022·广西玉林·高一期末）集合，用列举法可以表示为_________．
6．（2022·湖南·高一课时练习）用列举法表示下列集合：
(1){x|x是14的正约数}；
(2){(x, y)|x∈{1, 2}, y∈{1, 2}}；
(3){(x, y)|x＋y＝2, x－2y＝4}；
(4){x|x＝(－1)n, n∈N}；
(5){(x, y)|3x＋2y＝16, x∈N, y∈N}.
7．（2022·湖南·高一课时练习）用自然语言描述下列集合：
(1)；
(2)；
(3).
4 集合中元素的个数
1．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，则A中元素的个数为（ ）
A．9B．8C．5D．4
2．（2022·全国·高三专题练习）已知集合,则下列四个元素中属于M的元素的个数是（ ）
①;②;③;④
A．4B．3C．2D．1
3．（2022·内蒙古·呼和浩特市教育教学研究中心高一期末）已知集合，，则B中所含元素的个数为（ ）
A．3B．6C．8D．10
4．（2022·湖南·益阳市箴言中学高一开学考试）已知集合，则M中元素的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．（2022·湖南·岳阳一中一模）定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·江西省定南中学高二阶段练习（文））已知集合，， ，则C中元素的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5 元素互异性及其应用
1．（2022·四川自贡·高一期末）若，则的值为（ ）
A．B．C．或D．
2．（2022·江西·高一期末）已知集合，若，则（ ）
A．-1B．0C．2D．3
3．（2022·江苏·高一）已知集合，若，则实数a的值为（ ）
A．1B．1或0C．0D．或0
4．（2022·广东）若，则的可能取值有（ ）
A．0B．0，1C．0，3D．0，1，3
5．（2021·黑龙江·勃利县高级中学）已知集合 ，且 ，则实数m的值为（ ）
A．3B．2C．0或3D．0或2或3
6．（2021·湖北孝感·高一期中）（多选）已知集合，，则为（ ）
A．2B．C．5D．
7．（2022·北京石景山·高一期末）已知集合，且，则的值可能为（ ）
A．B．C．0D．1
8．（2021·甘肃·静宁县第一中学高一阶段练习）若以集合的四个元素为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是（ ）
A．矩形B．平行四边形
C．梯形D．菱形
9．（2021·安徽）已知，若集合A中恰好有5个元素，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
19．（2022·上海·高三专题练习）已知实数集合的最大元素等于该集合的所有元素之和，则__________．
11（2022·全国·高一）若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素，则a=________．
12．（2021·上海·上外附中高一期中）集合中所有元素之和为，则实数________．
13．（2022·上海·高三专题练习）已知集合中的所有元素之和为，则实数的取值范围为__________．
1.1 集合的概念及特征（精练）
1 集合的判断
1．（2022·湖南）下列对象不能组成集合的是（ ）
A．不超过20的质数B．的近似值
C．方程的实数根D．函数的最小值
【答案】B
【解析】不超过20的质数构成集合；方程的实数根构成集合；函数的最小值构成集合.而的近似值标准不明确，不能组成集合.故选：B
2．（2022·河北·武安市第一中学）（多选）下列各组对象能构成集合的是（ ）
A．拥有手机的人B．2020年高考数学难题
C．所有有理数D．小于的正整数
【答案】ACD
【解析】根据集合的概念，可知集合中元素的确定性，可得选项A、C、D中的元素都是确定的，故选项A、C、D能构成集合，但B选项中“难题”的标准不明确，不符合确定性，不能构成集合．故选：ACD.
3．（2022·全国·专题练习）（多选）下列每组对象，能构成集合的是（ ）
A．中国各地最美的乡村B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点
C．一切很大的数D．清华大学2020年入学的全体学生
【答案】BD
【解析】对于A，最美标准不明确，不具有确定性，所以不能构成集合；
对于B，直角坐标系中横、纵坐标相等的点就在一、三象限的平分线上，是确定的，所以可以构成集合；
对于C，一切很大的数不具有确定性，所以不能构成集合；
对于D，清华大学2020年入学的全体学生是确定的，能构成集合，故选：BD
4．（2022·青海）下列描述正确的有（ ）
（1）很小的实数可以构成集合；
（2）集合与集合是同一个集合；
（3）这些数组成的集合有5个元素；
（4）偶数集可以表示为.
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【解析】对于（1），很小的实数可以构成集合；不满足集合的确定性，故不正确；
对于（2），集合中的元素为实数；
集合中的元素为点的坐标，
集合的属性不同，故不是同一个集合，故不正确；
对于（3），这些数组成的集合中，
由于，，由集合元素的互异性，
集合中的元素不是5个，故不正确；
对于（4），偶数集可以表示为，正确，符合集合的含义；故选：B
5．（2022·湖南·高一课时练习）判断下列各组对象能否构成集合．若能构成集合，指出是有限集还是无限集；若不能构成集合，试说明理由．
(1)北京各区县的名称；
(2)尾数是5的自然数；
(3)我们班身高大于1.7m的同学．
【答案】(1)能；有限集；
(2)能；无限集；
(3)能；有限集.
【解析】(1)因为北京各区县的名称是确定的，故北京各区县的名称能构成集合；因为北京各区县是有限的，故该集合为有限集；
(2)因为尾数是5的自然数是确定的，故尾数是5的自然数能构成集合；因为尾数是5的自然数是无限的，故该集合为无限集；
(3)因为我们班身高大于1.7m的同学是确定的，故我们班身高大于1.7m的同学能构成集合；因为我们班身高大于1.7m的同学是有限的，故该集合为有限集.
2 集合与元素的关系
1．（2022·浙江丽水）下列元素与集合的关系中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为是整数，不是自然数，所以A不正确；因为0不是正整数，所以B正确；
因为2是无理数，不是有理数，所以C不正确：因为是实数．所以D不正确．故选：B．
2．（2022·广东·信宜市第二中学）下列关系中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】对于A，不是实数，∴A选项错误；对于B，是正整数集，易知，∴B选项错误；对于C，是有理数，∴C选项正确；对于D，是无理数，Z是整数集，∴D选项错误.故选：C.
3．（2022·广东·惠来县第一中学）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为集合，所以，故选：D.
4．（2022·天津河北·高一期末）下列关系中正确的个数是（ ）
① ② ③ ④
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】是有理数，是实数，不是正整数，是无理数，当然不是整数．只有①正确．故选：A．
5．（2022·全国·高一课时练习）设集合，则下列关系式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】中只有一个元素，故选：C.
6（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学）（多选）下列表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【解析】表示自然数集，故A不正确、B正确；表示整数集，故C不正确；
表示有理数集，故D正确.故选：BD
7．（2022·全国·高一课时练习）（多选）已知集合，那么正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由或故A对，B、C、D错故选：A
8．（2022·上海）非空集合具有下列性质：①若、，则；②若、，则，下列判断一定成立的是（ ）
（1）；（2）；（3）若、，则；（4）若、，则.
A．（1）（3）B．（1）（2）
C．（1）（2）（3）D．（1）（2）（3）（4）
【答案】C
【解析】由①可知.
对于（1），若，对任意的，，则，
所以，，这与矛盾，（1）正确；
对于（2），若且，则，，，
依此类推可得知，，，，，，（2）正确；
对于（3），若、，则且，由（2）可知，，则，所以，，（3）正确；
对于（4），由（2）得，，取 ，则，所以（4）错误.故选：C.
9．（2022·湖南·高一课时练习）使用“”“”和数集符号来替代下列自然语言：
(1)“255是正整数”；
(2)“不是有理数”；
(3)“3.1416是正有理数”；
(4)“是整数”；
(5)“是负实数”.
【答案】(1)(2)(3)(4)(5)
【解析】(1)由“255是正整数”，可表示为.
(2)由不是有理数” ，可表示为.
(3)由3.1416是正有理数，可表示为.
(4)由是整数”，可表示为.
(5)由是负实数，可表示为；
10．（2022·全国·高一）设数集由实数构成，且满足：若（且），则.
（1）若，试证明中还有另外两个元素；
（2）集合是否为双元素集合，并说明理由；
（3）若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.
【答案】（1）证明见解析；（2）不是，理由见解析；（3）.
【解析】（1）证明：若x∈A，则
又∵2∈A，∴
∵-1∈A，∴
∴中另外两个元素为，；
（2），，，且，，
，故集合中至少有3个元素，∴不是双元素集合；
（3）∵数集A由实数构成，且满足：若x∈A（x≠1且x≠0），则．
∴x∈A，，，
，，，
∴集合A中至少有3个元素，所有元素的积为：1，
∵A中元素个数不超过8个，所有元素的和为，
且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，所有元素积为1，
∴，
∵，∴2∈A，∴，∴∈A，
设m＝a，同理得∈A，∈A，
∵A中元素个数不超过8个，所有元素的和为，
∴、3、，
∴．
3 集合的表示方法
1（2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校高一期末（文））方程的所有实数根组成的集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：由，解得或，所以方程的所有实数根组成的集合为；故选：C
2．（2022·北京西城·高一期末）方程组的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由可得：或.所以方程组的解集是.
故选：A
3．（2022·全国·高一课时练习）方程组的解集可表示为___________（填序号）．
①；②；③；④．
【答案】①②④
【解析】由，所以满足条件的有①②④故答案为：①②④
4．（2022·上海·曹杨二中高一期末）已知集合，则集合=______．（用列举法表示）
【答案】
【解析】因，而，所以.故答案为：
5．（2022·广西玉林·高一期末）集合，用列举法可以表示为_________．
【答案】
【解析】因为，所以，可得，因为，所以，集合．
故答案为：
6．（2022·湖南·高一课时练习）用列举法表示下列集合：
(1){x|x是14的正约数}；
(2){(x, y)|x∈{1, 2}, y∈{1, 2}}；
(3){(x, y)|x＋y＝2, x－2y＝4}；
(4){x|x＝(－1)n, n∈N}；
(5){(x, y)|3x＋2y＝16, x∈N, y∈N}.
【答案】(1){1, 2, 7, 14}(2){(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}(3)
(4){－1, 1}(5){(0, 8), (2, 5), (4, 2)}
【解析】(1){x|x是14的正约数}={1, 2, 7, 14}.
(2){(x, y)|x∈{1, 2}, y∈{1, 2}}={(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.
(3){(x, y)|x＋y＝2, x－2y＝4}=.
(4){x|x＝(－1)n, n∈N}={－1, 1}.
(5){(x, y)|3x＋2y＝16, x∈N, y∈N}={(0, 8), (2, 5), (4, 2)}.
7．（2022·湖南·高一课时练习）用自然语言描述下列集合：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)小于10的正奇数构成的集合；(2)大于的实数构成的集合；
(3)大于2且小于20的所有质数构成的集合.
【解析】(1)因为集合表示：小于10的正奇数构成的集合；
(2)集合表示：大于的实数构成的集合；
(3)集合表示：大于2且小于20的所有质数构成的集合.
4 集合中元素的个数
1．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，则A中元素的个数为（ ）
A．9B．8C．5D．4
【答案】A
【解析】由，得，，
又，，所以，，
易知与的任意组合均满足条件，所以A中元素的个数为.
故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知集合,则下列四个元素中属于M的元素的个数是（ ）
①;②;③;④
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【解析】①当时，可得，这与矛盾，
②
，可得 ，都是有理数，所以正确，
③，
，可得，都是有理数，所以正确，
④
而 ，
，
是无理数，
不是集合中的元素，
只有②③是集合的元素.
故选：C
3．（2022·内蒙古·呼和浩特市教育教学研究中心高一期末）已知集合，，则B中所含元素的个数为（ ）
A．3B．6C．8D．10
【答案】B
【解析】因为，
所以时，；时，或；时，，或.
所以，所以B中所含元素的个数为.故选：B.
4．（2022·湖南·益阳市箴言中学高一开学考试）已知集合，则M中元素的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】因为且，所以，即集合中只有一个元素．故选：A．
5．（2022·湖南·岳阳一中一模）定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，，，所以，
故集合中的元素个数为3，故选：C.
6．（2022·江西省定南中学高二阶段练习（文））已知集合，， ，则C中元素的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】由题意，当时， ，当，时， ，
当，时， ，即C中有三个元素，故选：C
5 元素互异性及其应用
1．（2022·四川自贡·高一期末）若，则的值为（ ）
A．B．C．或D．
【答案】A
【解析】若，则，不符合集合元素的互异性；
若，则或（舍），此时，符合题意；
综上所述：.故选：A.
2．（2022·江西·高一期末）已知集合，若，则（ ）
A．-1B．0C．2D．3
【答案】C
【解析】因为，所以或，而无实数解，所以.故选：C.
3．（2022·江苏·高一）已知集合，若，则实数a的值为（ ）
A．1B．1或0C．0D．或0
【答案】C
【解析】
若，即时，，不符合集合元素的互异性，舍去；
若，即（舍去）或时，，
故.故选：C.
4．（2022·广东）若，则的可能取值有（ ）
A．0B．0，1C．0，3D．0，1，3
【答案】C
【解析】，则，符合题设；
时，显然不满足集合中元素的互异性，不合题设；
时，则，符合题设；
∴或均可以.故选：C
5．（2021·黑龙江·勃利县高级中学）已知集合 ，且 ，则实数m的值为（ ）
A．3B．2C．0或3D．0或2或3
【答案】A
【解析】因为，且，所以或，解得或或，当时，即集合不满足集合元素的互异性，故，当时集合不满足集合元素的互异性，故，当时满足条件；
故选：A
6．（2021·湖北孝感·高一期中）（多选）已知集合，，则为（ ）
A．2B．C．5D．
【答案】BC
【解析】依题意，
当时，或，
若，则，符合题意；
若，则，对于集合，不满足集合元素的互异性，所以不符合.
当时，或，
若，则，对于集合，不满足集合元素的互异性，所以不符合.
若，则，符合题意.
综上所述，的值为或.故选：BC
7．（2022·北京石景山·高一期末）已知集合，且，则的值可能为（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】C集合，四个选项中，只有，故选：C．
8．（2021·甘肃·静宁县第一中学高一阶段练习）若以集合的四个元素为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是（ ）
A．矩形B．平行四边形
C．梯形D．菱形
【答案】C
【解析】由题意，集合的四个元素为边长构成一个四边形，
根据集合中元素的互异性，可得四个元素互不相等，
以四个元素为边长构成一个四边形，结合选项，只能为梯形.故选：C.
9．（2021·安徽）已知，若集合A中恰好有5个元素，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题意可知，可得.故选：D
19．（2022·上海·高三专题练习）已知实数集合的最大元素等于该集合的所有元素之和，则__________．
【答案】-3
【解析】因为实数集合的最大元素等于该集合的所有元素之和，
所以（无解）或者，解得：．故答案为：-3．
11（2022·全国·高一）若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素，则a=________．
【答案】4
【解析】中只有一个元素，
若，方程等价为，等式不成立，不满足条件．
若，则方程满足，即，解得或（舍去）．故答案为：4
12．（2021·上海·上外附中高一期中）集合中所有元素之和为，则实数________．
【答案】
【解析】由得或
所以或题意得，得故答案为：．
13．（2022·上海·高三专题练习）已知集合中的所有元素之和为，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【解析】令，解得：
①若无实根，即，解得：
此时集合只有一个元素，满足题意
②若有两个相等实根，即，解得：
，解得： 集合为，不满足元素之和为
③若有两个不等实根，即，解得：
设此时方程的两根为，则
若，，此时集合为，不满足元素之和为
若，则，此时集合为，满足元素之和为
综上所述：
故答案为.