高一数学一隅三反系列(人教A版必修第一册)第3章函数的概念与性质章末测试(提升)(原卷版+解析)

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1．（2022·浙江·高三专题练习）一次函数g(x)满足g[g(x)]=9x+8，则g(x)的解析式是（ ）
A．g(x)=9x+8 B．g(x)=3x-2
C．g(x)= -3x-4或g(x)=3x+2 D．g(x)=3x+8
2．（2022·重庆南开中学高一阶段练习）已知是定义在上的奇函数，当时，，则当时，（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·黑龙江·鹤岗一中高二期末）已知函数是奇函数，且，则（ ）
A．1B．-1C．5D．-5
4．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足，且在上是增函数.不等式对于恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·全国·高三专题练习（文））已知偶函数的定义域为R，当时，单调递增，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，函数，对于任意，总存在，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2022·陕西·榆林市第十中学高二期中（文））已知函数，当时，恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分）
9．（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
10．（2022·全国·高一课时练习）下列说法中错误的是（ ）
A．幂函数的图象不经过第四象限
B．的图象是一条直线
C．若函数的定义域为，则它的值域为
D．若函数的值域为是，则它的定义域一定是
11．（2022·全国·高一单元测试）下列函数中,是偶函数,且在区间上为增函数的是（ ）
A．B．y=1-x2C．D．
12．（2022·全国·高一单元测试）已知函数图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（ ）
A．函数为增函数B．函数为偶函数
C．若，则D．若，则
第II卷（非选择题）
三、填空题(每题5分，4题共20分)
13．（2022·全国·高三专题练习）函数是偶函数，则实数__________．
14．（2022·全国·高一期末）满足：对任意都有成立，a的取值范围________．
15．（2022·全国·高一课时练习）已知定义域为的奇函数，则的解集为_______．
16．（2022·全国·高一单元测试）已知函数，则的最小值为________
四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分）
17．（2022·全国·高一课时练习）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度(单位：千米/小时)是车流密度(单位：辆/千米)的函数．当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当时，车流速度是车流密度的一次函数．
(1)当时，求函数的表达式；
(2)当车流密度为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)﹒
18．（2022·全国·高三专题练习）设函数且是定义域为的奇函数；
（1）若，判断的单调性并求不等式的解集；
（2）若，且，求在上的最小值．
19．（2022·全国·高一单元测试）函数（）．
(1)当时，
①求函数的单调区间；
②求函数在区间的值域；
(2)当时，记函数的最大值为，求的表达式．
20．（2022·江西吉安·高二阶段练习（文））已知是定义在R上的奇函数，当时，．
（1）求时，函数的解析式；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围．
（3）解不等式．
21．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数在上单调递增，函数．
（1）求m的值；
（2）当时，记的值域分别为集合A，B，设，若p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围．
（3）设，且在上单调递增，求实数k的取值范围．
22．（2022·安徽·合肥一中高一期末）设，已知函数.
（1）若是奇函数，求的值；
（2）当时，证明：；
（3）设，若实数满足，证明：.
第3章 函数的概念与性质 章末测试（提升）
第I卷（选择题）
单选题(每题5分，每题只有一个选项为正确答案，8题共40分)
1．（2022·浙江·高三专题练习）一次函数g(x)满足g[g(x)]=9x+8，则g(x)的解析式是（ ）
A．g(x)=9x+8 B．g(x)=3x-2
C．g(x)= -3x-4或g(x)=3x+2 D．g(x)=3x+8
【答案】C
【解析】因为g(x)是一次函数，所以设g(x)=kx+b(k≠0)，所以g[g(x)]=k(kx+b)+b，
又因为g[g(x)]=9x+8，所以解得或所以g(x)=3x+2或g(x)= -3x – 4.故选：C
2．（2022·重庆南开中学高一阶段练习）已知是定义在上的奇函数，当时，，则当时，（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为是定义在上的奇函数，所以，.
当时，，.故选：D.
3．（2022·黑龙江·鹤岗一中高二期末）已知函数是奇函数，且，则（ ）
A．1B．-1C．5D．-5
【答案】B
【解析】解法1：设，则，
因为为奇函数，
所以，解得.
解法2：设，则，
因为为奇函数，
所以，所以，
所以也是奇函数，所以.
故选：B.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足，且在上是增函数.不等式对于恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题可知，的图象关于轴对称，且在上单调递减，
由得在上恒成立，
得在上恒成立，因为和单调递增，
所以当时，取最大值为；当时，取最小值为，
所以.故选:A.
5．（2022·全国·高三专题练习（文））已知偶函数的定义域为R，当时，单调递增，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为为偶函数，所以，．又当时，单调递增，且，所以，即．故选：B．
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，函数，对于任意，总存在，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，
所以，即的值域为[1,2]，
因为对于任意，总存在，使得成立，
所以的值域为[1,2]是在上值域的子集，
当时，在上为增函数，所以，所以，
所以，解得，
当时，在上为减函数，所以，所以
所以，解得，
综上实数a的取值范围是，
故选：C
7．（2022·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题意可知：当时，不等式恒成立.
当时，显然成立，故符合题意；
当时，要想当时，不等式恒成立，
只需满足且成立即可，解得：，
综上所述：实数a的取值范围是.
故选：D
8．（2022·陕西·榆林市第十中学高二期中（文））已知函数，当时，恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，则由，得．由题意，得在上恒成立，故有．①当，即时，函数在上单调递增，，由，得，因此．
②当，即时，，由，得，因此．
③当，即时，函数在上单调递减，，由，得，与矛盾．
综上，．
故选：C．
二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分）
9．（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】AC
【解析】对于选项A：的定义域为，的定义域为，定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数；
对于选项B：的定义域为，的定义域为，定义域相同对应关系不同，不是同一个函数；
对于选项C：的定义域为，的定义域，定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数；
对于选项D：的定义域为，的定义域为，对应关系不同，不是同一个函数.
故选：AC
10．（2022·全国·高一课时练习）下列说法中错误的是（ ）
A．幂函数的图象不经过第四象限
B．的图象是一条直线
C．若函数的定义域为，则它的值域为
D．若函数的值域为是，则它的定义域一定是
【答案】BCD
【解析】对于A，由幂函数的图象知，它不经过第四象限，所以A对；
对于B，因为当时，无意，即在无定义，所以B错；
对于C，函数的定义域为，则它的值域为，不是，所以C错；
对于D，定义域不一定是，如，所以D错.
故选：BCD.
11．（2022·全国·高一单元测试）下列函数中,是偶函数,且在区间上为增函数的是（ ）
A．B．y=1-x2C．D．
【答案】AD
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝|x|，是偶函数，且在区间（0，+∞）上为增函数，符合题意；
对于B，y＝1﹣x2，是二次函数，在区间（0，1）上为减函数，不符合题意；
对于C，y，是反比例函数，是奇函数，不符合题意；
对于D，y＝2x2+4，为二次函数，是偶函数且在区间（0，+∞）上为增函数，符合题意；
故选：AD．
12．（2022·全国·高一单元测试）已知函数图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（ ）
A．函数为增函数B．函数为偶函数
C．若，则D．若，则
【答案】ACD
【解析】将点(4,2)代入函数得：，则.
所以，
显然在定义域上为增函数，所以A正确.
的定义域为，所以不具有奇偶性，所以B不正确.
当时，，即，所以C正确.
当若时，
=
=.
即成立，所以D正确.
故选：ACD.
第II卷（非选择题）
三、填空题(每题5分，4题共20分)
13．（2022·全国·高三专题练习）函数是偶函数，则实数__________．
【答案】1
【解析】，且是偶函数，则，
，
即，所以实数．
故答案为: 1.
14．（2022·全国·高一期末）满足：对任意都有成立，a的取值范围________．
【答案】
【解析】因为对任意都有成立，
不妨设，则有，所以为减函数，
所以需满足：，解得：.
则a的取值范围.
故答案为：
15．（2022·全国·高一课时练习）已知定义域为的奇函数，则的解集为_______．
【答案】
【解析】由题知，，
所以恒成立，即．
又因为奇函数的定义域关于原点对称，
所以，解得，
因此，，
由单调递增，单调递增，
易知函数单调递增，
故等价于
等价于
即，解得．
故答案为：
16．（2022·全国·高一单元测试）已知函数，则的最小值为________
【答案】
【解析】在同一坐标系作出的图象如下图：
根据取最大值函数的定义可知的图象如下图所示：
根据的图象可知，的最小值在的一个交点处取到，
令，解得或（舍），
所以，
故答案为：.
四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分）
17．（2022·全国·高一课时练习）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度(单位：千米/小时)是车流密度(单位：辆/千米)的函数．当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当时，车流速度是车流密度的一次函数．
(1)当时，求函数的表达式；
(2)当车流密度为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)﹒
【答案】(1)；
(2)当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.
【解析】(1)当时，；
当时，设，
由已知得解得，
故函数的表达式为；
(2)依题意并由(1)可得，
当时，为增函数，故当时，其最大值为60×20＝1200；
当时，，
∴当时，在区间(20，200]上取得最大值，
∵3333＞1200，
∴当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．
18．（2022·全国·高三专题练习）设函数且是定义域为的奇函数；
（1）若，判断的单调性并求不等式的解集；
（2）若，且，求在上的最小值．
【答案】（1）增函数，；（2）．
【解析】（1）因为函数且是定义域为的奇函数，
可得，从而得，即
当时，函数，
满足，所以，
由，可得且，解得，所以是增函数，
又由，可得，
所以，解得，即不等式的解集是．
（2）由（1）知，，
因为，即，解得，
故，
令，则在上是增函数，故，
即，
此时函数的对称轴为，且开口向上，
所以当，函数取得最小值，最小值为，
即函数的最小值为．
19．（2022·全国·高一单元测试）函数（）．
(1)当时，
①求函数的单调区间；
②求函数在区间的值域；
(2)当时，记函数的最大值为，求的表达式．
【答案】(1)①的单调递增区间为，；单调递减区间为；②
(2)
【解析】(1)当时，；
①当时，，
在上单调递增；
当时，，
在上单调递减，在上单调递增；
综上所述：的单调递增区间为，；单调递减区间为
②由①知：在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
，；
，，，，
，，
在上的值域为.
(2)
由题意得：
①当，即时，，对称轴为；
当，即时，在上单调递增，
；
当，即时，在上单调递增，在上单调递减，
；
②当，即时，若，；若，；
当时，，对称轴，
在上单调递增，
；
③当，即时
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
，
若，即时，；
若，即时，；
综上所述：.
20．（2022·江西吉安·高二阶段练习（文））已知是定义在R上的奇函数，当时，．
（1）求时，函数的解析式；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围．
（3）解不等式．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）设，则，所以
又为奇函数，所以，
所以当时，，
（2）作出函数的图像，如图所示：
要使在上单调递增，结合的图象知，所以，
所以的取值范围是.
（3）由（1）知，解不等式，
等价于或，解得：或
综上可知，不等式的解集为
21．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数在上单调递增，函数．
（1）求m的值；
（2）当时，记的值域分别为集合A，B，设，若p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围．
（3）设，且在上单调递增，求实数k的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）由幂函数的定义得：，或，
当时，在上单调递减，与题设矛盾，舍去；
当时，在上单调递增，符合题意；
综上可知：.
（2）由（1）得：，
当时，，即，
当时，，即，
由命题是成立的必要条件，则，显然，则，即，
所以实数k的取值范围为：.
（3）由（1）可得，二次函数的开口向上，对称轴为，
要使在上单调递增，如图所示：
或
即或，解得：或.
所以实数k的取值范围为：
22．（2022·安徽·合肥一中高一期末）设，已知函数.
（1）若是奇函数，求的值；
（2）当时，证明：；
（3）设，若实数满足，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】（1）由题意，对任意，都有，
即，亦即，因此；
（2）证明：因为，，
.
所以，.
（3）设，则，
当时，；
当时，；
，，
所以.
由得，即.
①当时，，，所以；
②当时，由（2）知，
，等号不能同时成立.
综上可知.