高一数学一隅三反系列(人教A版必修第一册)第4章指数函数与对数函数章末测试(提升)(原卷版+解析)

这是一份高一数学一隅三反系列(人教A版必修第一册)第4章指数函数与对数函数章末测试(提升)(原卷版+解析)，共23页。

1．（2022·全国·高一课时练习）下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·全国·高一课时练习）若，则实数的值为（ ）
A．4B．6C．9D．12
3．（2022·湖南·长沙一中高一期末）已知函数（），．若，在上有三个零点，则 a 的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的零点位于区间内，则整数（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．（2022·全国·高一课时练习）设函数的定义域为R，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022·全国·高一课时练习）已知，，分别为方程，，的根，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，，若存在，对任意，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．（1，4）
8．（2022·全国·高一课时练习）函数的反函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分）
9．（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）若函数且在上为单调递增函数，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·湖南师大附中高一开学考试）已知为函数的两个零点，且，则（ ）
A．B．
C．D．
11．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，，，有，则实数a的可能取值是（ ）
A．B．1C．D．3
12．（2022·全国·高一课时练习）（多选）定义在上的函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．的单调递减区间是B．的单调递增区间是
C．的最大值是D．的最小值是
三、填空题(每题5分，4题共20分)
13．（2022·全国·高一课时练习）若函数在上的最大值为4，则a的取值范围为________．
14．（2022·全国·高一课时练习）函数的定义域为M，值域为，则M=______．
15．（2022·全国·高一课时练习）设函数的最大值为M，最小值为N，则的值为________．
16．（2022·全国·高一课时练习）已知，，则的值为________．
四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分）
17．（2022·云南丽江·高一期末）已知函数是偶函数.当时，.
(1)求函数在上的解析式；
(2)若函数在区间上单调，求实数a的取值范围；
(3)已知，试讨论的零点个数，并求对应的m的取值范围.
18．（2022·河南信阳·高一期末）已知函数（且）.
(1)求函数的定义域，并判断的奇偶性；
(2)是否存在实数m，使得不等式成立？若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由.
19．（2022·全国·高一单元测试）已知函数（且），，．
(1)求函数的解析式；
(2)请从①，②，③这三个条件中选择一个作为函数的解析式，指出函数的奇偶性，并证明．
注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
20．（2022·全国·高一课时练习）已知是对数函数，并且它的图像过点，，其中．
(1)当时，求在上的最大值与最小值；
(2)求在上的最小值．
21．（2022·辽宁·东北育才学校高一阶段练习）已知函数．
(1)若在区间为单调增函数，求的取值范围；
(2)设函数在区间上的最小值为，求的表达式；
(3)设函数，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
22．（2022·全国·高一课时练习）定义在上的函数满足对任意的x，，都有，且当时，．
(1)求证：函数是奇函数；
(2)求证：在上是减函数；
(3)若，对任意，恒成立，求实数t的取值范围．
第4章 指数函数与对数函数 章末测试（提升）
单选题(每题5分，每题只有一个选项为正确答案，8题共40分)
1．（2022·全国·高一课时练习）下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】四个图像中，与x轴垂直的直线和图像只有一个交点，所以四个图像都表示函数的图像，
对于A，函数图像和x轴无交点，所以无零点，故错误；
对于B，D，函数图像和x轴有交点，函数均有零点，但它们均是不变号零点，因此都不能用二分法求零点；
对于C，函数图像是连续不断的，且函数图像与x轴有交点，并且其零点为变号零点.
故选：C．
2．（2022·全国·高一课时练习）若，则实数的值为（ ）
A．4B．6C．9D．12
【答案】A
【解析】∵
,
∴，∴．
故选：A．
3．（2022·湖南·长沙一中高一期末）已知函数（），．若，在上有三个零点，则 a 的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】①当时，因为，所以1为一个零点，
又，因为，所以，
所以，
所以1为的一个零点．
②当时，，，
所以在上无零点．
③当时，，在上无零点，
所以．在上的零点个数是在上的零点个数，
因为，．
函数在上有两个零点，即函数在上有两个零点，
所以，，又，
即时，在上有两个零点；
综上，a 的取值范围为.
故选：A.
4．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的零点位于区间内，则整数（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】因为函数与在上均为增函数，
所以函数在上为增函数，
因为，，，
所以函数的零点位于区间内，故.
故选：B.
5．（2022·全国·高一课时练习）设函数的定义域为R，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】当时，，则；
当时，，则；
当时，，则，……由此可得
由此作出函数的图象，如图所示．
由图可知当时，令，整理，得，解得或，将这两个值标注在图中．要使对任意都有，必有，即实数m的取值范围是.
故选：B．
6．（2022·全国·高一课时练习）已知，，分别为方程，，的根，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】在同一直角坐标系中作出函数，，和的大致图像，如图所示.
由函数与图像的交点的横坐标为，
函数与图像的交点的横坐标为，
函数与图像的交点的横坐标为，知.
故选：A.
7．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，，若存在，对任意，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．（1，4）
【答案】A
【解析】由题意知：在[3,4]上的最大值大于或等于在[4,8]上的最大值即可．
当时，，
由对勾函数的性质得：在[3,4]上单调递增，故．
当时，单调递增，则，
所以，可得．
故选：A
8．（2022·全国·高一课时练习）函数的反函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】∵，∴，
∴函数的值域为，
∵的定义域即函数的值域，
∴的定义域为．
故选：C
二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分）
9．（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）若函数且在上为单调递增函数，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】在上单调递增，，解得：，的取值可以为选项中的或.
故选：AD.
10．（2022·湖南师大附中高一开学考试）已知为函数的两个零点，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】令，则，
所以，
作出函数和的图象，易知，故A正确；
构造函数，则函数单调递增，
又，故，故B正确；
作直线与交于点(，)，则有，故，故C错误；
由于时，，故，
又因为，故，
所以，故D正确，
综上，正确答案为ABD.
故选：ABD
11．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，，，有，则实数a的可能取值是（ ）
A．B．1C．D．3
【答案】CD
【解析】，有等价于当，时，．
当时，令，则，因为在上为增函数，在定义域内为增函数，
所以函数在上单调递增，所以．
的图象开口向上且对称轴为，
∴当时，，
∴，解得．
故选：CD．
12．（2022·全国·高一课时练习）（多选）定义在上的函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．的单调递减区间是B．的单调递增区间是
C．的最大值是D．的最小值是
【答案】ACD
【解析】设，，则是增函数，且，
又函数在上单调递增，在上单调递减，
因此在上单调递增，在上单调递减，故A正确，B错误；
，故C正确；
，，因此的最小值是，故D正确．
故选:ACD．
三、填空题(每题5分，4题共20分)
13．（2022·全国·高一课时练习）若函数在上的最大值为4，则a的取值范围为________．
【答案】
【解析】因为，
当时，易知在上单调递增，
当时，在上单调递增．
作出的大致图象，如图所示．
由图可知，，，
因为在上的最大值为，所以的取值范围为．
故答案为：
14．（2022·全国·高一课时练习）函数的定义域为M，值域为，则M=______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】因为函数的值域为，所以，所以，
即，故，所以，则函数的定义域为．
实际上，只要即可满足条件，即可以为并上任意一个的子集均可.
故答案为：（答案不唯一）
15．（2022·全国·高一课时练习）设函数的最大值为M，最小值为N，则的值为________．
【答案】2
【解析】由已知得，
因为，
所以，
易知函数的定义域为，因此函数是奇函数．
令，则,为奇函数，
则的最大值和最小值满足．
因为，，所以．
故答案为：2．
16．（2022·全国·高一课时练习）已知，，则的值为________．
【答案】2022
【解析】.
.
所以
故答案为：2022
四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分）
17．（2022·云南丽江·高一期末）已知函数是偶函数.当时，.
(1)求函数在上的解析式；
(2)若函数在区间上单调，求实数a的取值范围；
(3)已知，试讨论的零点个数，并求对应的m的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
(3)答案见解析
【解析】(1)设，则
∴
∵为偶函数
∴
综上，有
(2)由（1）作出的图像如图：
因为函数在区间上具有单调性，
由图可得或，解得或；
故实数的取值范围是或.
(3)
由（1）作出的图像如图：
由图像可知：
当时，有两个零点；
当时，有四个零点；
当时，有六个零点；
当时，有三个零点；
当时，没有零点.
18．（2022·河南信阳·高一期末）已知函数（且）.
(1)求函数的定义域，并判断的奇偶性；
(2)是否存在实数m，使得不等式成立？若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)定义域为，奇函数
(2)存在，当时，，当时，
【解析】（1）由得.所以的定义域为，
因为函数的定义域关于原点对称，且，
所以为奇函数.
（2）①当时，在上为增函数，假设存在实数m，使得不等式成立，则，解得.
②当时，在上为减函数，假设存在实数m，使得不等式成立，则，解得.
综上，①当时，存在，使得不等式成立；②当时，存在，使得不等式成立.
19．（2022·全国·高一单元测试）已知函数（且），，．
(1)求函数的解析式；
(2)请从①，②，③这三个条件中选择一个作为函数的解析式，指出函数的奇偶性，并证明．
注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【解析】（1）依题意，，，而且，解得，
所以函数.
（2）选择①，，则有，解得，即的定义域为，
又，
所以函数是定义在上的奇函数．
选择②，
，则有，解得，即的定义域为，
又，
所以函数是定义在上的奇函数．
选择③，
，则有，解得，即的定义域为，
又，
所以函数是定义在上的偶函数．
20．（2022·全国·高一课时练习）已知是对数函数，并且它的图像过点，，其中．
(1)当时，求在上的最大值与最小值；
(2)求在上的最小值．
【答案】(1)最大值为3，最小值为．
(2)
【解析】（1）解：设（，且），
∵的图像过点，
∴，即，
∴，即，∴．
∵，∴，即．
设，则，，
∴，
又，，
∴．
∴当时，在上的最大值为3，最小值为．
（2）解：设，则，
由（1）知，对称轴为直线．
①当时，在上是增函数．
；
②当时，在上单调递减，在上单调递减，；
③当时，在上单调递减，．
综上所述，．
21．（2022·辽宁·东北育才学校高一阶段练习）已知函数．
(1)若在区间为单调增函数，求的取值范围；
(2)设函数在区间上的最小值为，求的表达式；
(3)设函数，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2)答案见解析；
(3).
【解析】（1）因为的图象开口向上，对称轴方程为，
所以在区间为单调增函数需满足，
解得.
（2）①当，即时，在区间为单调增函数，
此时.
②当，即时，在区间上是减函数，在区间上为增函数，此时.
③当即时，在区间上为减函数，
此时，
综上所述，
（3）
对任意，不等式恒成立，
即，由（2）知，，
因为，
所以在上为单调递减函数，
所以
①当时，由得解得（舍去）
②当时，由得，即
，解得或，所以.
③当时，由得，解得，所以.
综上，实数的取值范围.
22．（2022·全国·高一课时练习）定义在上的函数满足对任意的x，，都有，且当时，．
(1)求证：函数是奇函数；
(2)求证：在上是减函数；
(3)若，对任意，恒成立，求实数t的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3).
【解析】（1）令，，得，所以．令，得，即，所以函数是奇函数．
（2）设，则，所以．
因为，，，所以，即，所以．
又，所以，所以，
所以，即．所以在上是减函数．
（3）
由（2）知函数在上是减函数，
所以当时，函数的最大值为，
所以对任意，恒成立等价于对任意恒成立，即对任意恒成立．
设，是关于a的一次函数，，
要使对任意恒成立，
所以，即，解得或，
所以实数t的取值范围是．