2024届高考数学复习知识梳理-2025新高考数学专题

这是一份2024届高考数学复习知识梳理-2025新高考数学专题，共30页。试卷主要包含了四种命题的真假关系，充分条件，含有一个量词的命题的否定，“或”“且”联结词的否定形式， f′＞0与f为增函数的关系等内容，欢迎下载使用。

①两个命题互为逆否命题，它们具有 的真假性．
②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性
例如： ∃t∈R t2--2t-a <0是假命题， 则实数a的取值范围
2、充分条件、必要条件与充分必要条件的概念
3、含有一个量词的命题的否定
4、真值表中“p且q”全真 ，一假 “p或q”全假 一真 ．
5、“或”“且”联结词的否定形式：“p或q”的否定是“ ”；
“p且q”的否定是“ ”．
专题02 函数与导数
1． 函数单调性:(1)单调函数的定义
(2)函数单调性的两种等价形式 设任意x1，x2∈[a，b]且x1＜x2，那么
f(x1)-f(x2)x1-x2 0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；
f(x1)-f(x2)x1-x2 0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x)在[a，b]上是 函数；
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)在[a，b]上是 函数．
2. 讨论分段函数的单调性时，除注意各段的单调性外，还要注意 的函数值．
3.函数的奇偶性
4．函数奇偶性的几个重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在原点x=0处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝ .
（2）奇函数在两个对称的区间上具有 的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有 的单调性．
5．有关对称性的结论
= 1 \* GB3 ①若函数y＝f(x＋a)为偶函数，则函数y＝f(x)关于 对称．
若函数y＝f(x＋a)为奇函数，则函数y＝f(x)关于点 对称．
= 2 \* GB3 ②若f(x)＝f(2a－x)，则函数f(x)关于 对称；
若f(a +x)＝f(a－x)，则函数f(x)关于 对称.
若f(2a +x)＝f(－x)，则函数f(x)关于 对称.
= 3 \* GB3 ③若f(x)＋f(2a－x)＝0， 则函数f(x)关于点 对称．
若f(x)＋f(2a－x)＝2b， 则函数f(x)关于点 对称．
若f(a +x)＋f(a－x)＝2b，则函数f(x)关于点 对称．
(即括号内和定体现对称性)
6．函数的周期性 对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称 为这个函数的周期．
= 1 \* GB3 ①若f(x＋a)＝f(x＋b)，则函数f(x)的周期为T＝ .
= 2 \* GB3 ②若在定义域内满足f(x＋a)＝－f(x)，则函数f(x)的周期为T＝
= 3 \* GB3 ③若在定义域内满足f(x＋a)＝－f(x)，则函数f(x)的周期为T＝
= 4 \* GB3 ④若在定义域内满足f(x＋a)+f(x)=k(k为常数)函数f(x)的周期为T＝
= 5 \* GB3 ⑤若在定义域内满足f(x＋a)＝1fx，则函数f(x)的周期为T＝
= 6 \* GB3 ⑥若在定义域内满足f(x＋a) f(x)=1 函数f(x)的周期为T＝
= 7 \* GB3 ⑦若在定义域内满足f(x＋a)＝－1fx (a>0)，则函数f(x)的周期为T＝
= 8 \* GB3 ⑧若在定义域内满足f(x＋a) f(x)=k(k为常数)函数f(x)的周期为T＝
= 9 \* GB3 ⑨若在定义域内满足f(x＋a) f(x+b)=k(k为常数)函数f(x)的周期为T＝
= 10 \* GB3 ⑩若在定义域内满足f(x＋a)+f(x+b)=k(k为常数)函数f(x)的周期为T＝
（即括号内差定体现周期性）
7.对称性与周期的关系：
(1)若函数f(x)的图象关于直线x＝a和直线x＝b对称，则函数f(x)的周期为T＝ ，
(2)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称，则函数f(x)的周期为T＝ ，
(3)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和直线x＝b对称，则函数f(x)的周期为T＝
8.掌握一些重要类型的奇偶函数
(1)函数f(x)＝ax＋a－x为 函数，函数f(x)＝ax－a－x为 函数；
(2)函数f(x)＝eq \f(ax－a－x,ax＋a－x)＝eq \f(a2x－1,a2x＋1)(a>0且a≠1)为 函数；
(3)函数f(x)＝lgaeq \f(b－x,b＋x)为 函数；
(4)函数f(x)＝lga(eq \r(x2＋1)±x)为 函数．
9.一元二次不等式恒成立的条件
(1)“ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立”的充要条件是 .
(2)“ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立”的充要条件是 ．
(3)a≥f(x)恒成立⇔a≥ ， a≤f(x)恒成立⇔a≤ .
(4)a≥f(x)有解⇔a≥ ， a≤f(x)有解⇔a≤ .
10.幂函数图象的性质 α<0, y＝xα在第一象限内是单调递 的.
α>0, y＝xα在第一象限内是单调递 的.
11、.(1) nan= n为奇数，n为偶数,(2) (eq \r(n,a))n＝ (注意a必须使eq \r(n,a)有意义)．
12．指数函数的图象与性质
13．对数的性质与运算法则
(1)对数的性质①algaN＝ ；②lgaaN＝ (a>0，且a≠1)；③零和负数没有对数．
(2)对数的运算法则(a>0，且a≠1，M>0，N>0)
①lga(M·N)＝ ；
②lgaeq \f(M,N)＝
③lgaMn＝ (n∈R)．
(3)对数的重要公式
①换底公式：lgbN＝ a，b均大于零且不等于1)；
②lgab＝
（4）指数式与对数式互化：ax＝N⇔x＝
（5）对数运算的一些结论：
①lgambn＝ ②lgab·lgba＝ . = 3 \* GB3 ③lgab·lgbc·lgcd＝
14.对数函数的图象与性质
导 数
1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limfx0+∆x-f(x0)∆x＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，
即f′(x0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) imfx0+∆x-f(x0)∆x.
(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点 处的 ．相应地，切线方程为
2．基本初等函数的导数公式
3.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝______________________．
(2)[f(x)·g(x)]′＝_______________________．
(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(f（x）,g（x）)))′＝_____________________(g(x)≠0)．
4.(1)含参数的能成立(存在型)问题的解题方法
①a≥f(x)在x∈D上能成立，则a≥f(x)min；
②a≤f(x)在x∈D上能成立，则a≤f(x)max.
(2)含全称、存在量词不等式能成立问题
①存在x1∈A，任意x2∈B使f(x1)≥g(x2)成立，则f(x)max≥g(x)max；
②任意x1∈A，存在x2∈B，使f(x1)≥g(x2)成立，则f(x)min≥g(x)min.
5．常见构造辅助函数的几种类型
（1）出现, 构造=
（2）出现，构造=
（3）出现, 构造=
（4）出现, 构造=
（5）对于不等式f ′(x)＋g′(x)＞0，构造函数F(x)＝
（6）对于不等式f ′(x)－g′(x)＞0，构造函数F(x)＝
特别地，对于不等式f ′(x)＞k，构造函数F(x)＝
(7)对于不等式f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，构造函数F(x)＝
(8)对于不等式f ′(x)g(x)－f(x)g′(x)＞0，构造函数F(x)＝
(9)对于不等式xf ′(x)＋nf(x)＞0，构造函数F(x)＝ ．
(10)对于不等式f ′(x)＋kf(x)＞0，构造函数F(x)＝ ．
6．复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为即y对x的导数等于 的导数与
7.求曲线y＝f(x)的切线方程
若已知曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)，求曲线过点P的切线方程．
(1)当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为
(2)当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：
第一步：设出 第二步：写出 ；
第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出 ；
第四步： 可得过点P(x0，y0)的切线方程．
8．函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与其导数的正负关系
(1)若f ′(x)>0，则f(x)在这个区间上是 的；
(2)若f ′(x)<0，则f(x)在这个区间上是 的；
(3)若f ′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是 ．
9、 f′(x)＞0与f(x)为增函数的关系
f ′(x)＞0能推出f(x)为增函数，但反之不一定．如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上是增函数，但f ′(x)≥0，所以f ′(x)＞0是f(x)为增函数的 条件．
10、利用导数判断函数单调性的一般步骤
(1)求 ；(2)在定义域内解不等式 ；
(3)根据结果确定f(x)的单调区间．
11、与单调性有关的结论
(1)可导函数f(x)在D上单调递增(或递减)求参数范围问题，可转化为 (或 ) 问题，再参变分离，转化为求最值问题，要注意“＝”是否取到．
(2)可导函数在某一区间上存在单调递增(或递减)区间，可转化为 (或 )在该区间上 ，这样就把函数的单调性问题转化成不等式问题．
(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的 ，从而可求出参数的取值范围．
(4)若已知f(x)在a,b上不单调，可转化为 ．
12、对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的 条件．
13、若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数
f ′(x)的 点
专题03 三角函数与三角恒等变换
知识点1 任意角与弧度制
1、角的概念
（1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．
（2）象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
（3）所有与角α终边相同的角，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
2、弧度制
知识点2 任意角的三角函数
知识点3 同角三角函数基本关系式与诱导公式
1、平方关系：sin2α＋cs2α＝1.
2、商数关系：eq \f(sin α,cs α)＝tan αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).
3、基本关系式的几种变形
（1）sin2α＝1－cs2α＝(1＋cs α)(1－cs α)；cs2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)．
（2）(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α.
（3）sin α＝tan αcs αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).
4、三角函数的诱导公式
确定函数名：奇变偶不变。 确定符号：符号看象限（角的象限）
注意：“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是指π/2的奇数倍还是偶数倍，
变与不变指函数名称的变化。
知识点4 三角恒等变换公式
1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
【注意】在公式T(α±β)中α，β，α±β都不等于kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，即保证tan α，tan β，tan(α±β)都有意义．
2、二倍角公式
3、辅助角公式
一般地，函数f(α)＝asin α＋bcs α(a，b为常数)可以化为f(α)＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tan φ＝\f(b,a)))
或f(α)＝eq \r(a2＋b2)cs(α－φ) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tan φ＝\f(a,b))).
专题04 解三角形
一、正弦定理
（1）正弦定理
①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.
②符号语言：在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，
则有
（2）正弦定理的推广及常用变形公式
在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则
①
②；；；
③
④
⑤，，（可实现边到角的转化）
⑥，，（可实现角到边的转化）
二、余弦定理
（1）余弦定理
①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.
②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则：
；
（2）余弦定理的变形
；；
三、面积公式
三角形面积的计算公式：
专题05 平面向量
一、向量的有关概念
（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）．
（2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．
（3）特殊向量：①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．与任意向量平行．
②单位向量：长度等于1个单位的向量．
③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．（同向或者反向）
④相等向量：长度相等且方向相同的向量．（等大同向）
⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量．（等大反向）
二、向量的线性运算（向量的加法、减法和数乘运算）
（1）向量的线性运算
注：①向量表达式中的零向量写成，而不能写成0．
②两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系．
（2）向量的三角形不等式
由向量的三角形法则，可以得到
①当不共线时，；
②当同向且共线时，同向，则；
③当反向且共线时，若，则同向，；若，则同向，．
三、向量共线定理和性质
（1）共线向量定理
如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．
（2）三点共线定理
若A、B、C三点共线存在唯一的实数，使得
存在唯一的实数，使得
存在实数，使，其中，为平面内任意一点．
（3）中线向量定理
在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确．
四、平面向量的数量积
（1）平面向量数量积的定义
已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=．
规定：零向量与任一向量的数量积为0．
（2）投影向量
设a，b是两个非零向量，如图(1)(2)，eq \(OA,\s\up6(→))表示向量a，eq \(OB,\s\up6(→))表示向量b，过点A作eq \(OB,\s\up6(→))所在直线的垂线，垂足为点A1.上述由向量a得到向量eq \(OA1,\s\up6(→))的变换称为向量a向向量b投影，向量eq \(OA1,\s\up6(→))称为向量a在向量b上的投影向量.
，向量a在向量b上的投影向量eq \(OA1,\s\up6(→))=|a|csθeq \f(b,|b|).
（3）数量积的运算律
已知向量、、和实数，则：①； ②； ③．
（4）数量积的性质
设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则
①．
②．
③当与同向时，；当与反向时，．
特别地，或．
④．
⑤．
【常用结论】
两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；
两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线
五、平面向量基本定理（力的分解）
如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合．
①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底；
②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的．
这说明如果且，那么．
③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础．
六、平面向量的坐标表示
（1）正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
（2）平面向量的坐标表示
如图，在平面直角坐标系内，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面上的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得=．这样，平面内的任一向量都可由唯一确定，我们把有序数对叫做向量的（直角）坐标，记作=，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标．把=叫做向量的坐标表示．
（3）一一对应：向量=向量点．
七、平面向量的坐标运算
（1）向量加、减、数乘的坐标运算
已知向量，，则，①．②．
（2）数量积的坐标运算
已知非零向量，，为向量、的夹角．
（3）、设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标．
专题06 复数
复数的概念及其几何意义
复数的概念：形如a+bi（其中a，b∈R）的数叫作复数，
通常用z表示，即z=a+bi（a，b∈R），a称为复数z的实部，b称为复数z的虚部。
复数的分类：
注：（1)当且仅当b=0时，z为实数；
(2)当且仅当a=b=0时，z为实数0；
(3)当b≠0时，z为纯虚数。
（4）当b=0时，复数为实数时可以比较大小；当b≠0时，复数为虚数不能比较大小。
复数相等：若两个复数a+bi与c+di(a，b，c，d∈R）相等：
则它们的实部相等且虚部相等，即a+bi=c+di ⇒ a=c且b=d.
复数的两种几何意义：

注：两个复数一般不能比较大小，但是模可以比较大小。
复数的四则运算
复数的加法：（a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i；
复数的减法：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i；
复数的乘法：(a+bi)(c+di)=（ac-bd)+(ad+bc)i；
复数的运算律：（1）交换律：z1·z2=z2·z1
结合律：（z1·z2）·z3=z1·（z2·z3）
乘法对加法的分配律：z1·（z2+z3）=z1·z2+z1·z3
共轭复数：实部相同，虚部相反的复数互为共轭复数 例：a+bi和a-bi
注意：互为共轭复数的两个复数的乘积是实数，等于这个复数（或其共轭复数）模的平方。即z=a+bi
(a，b∈R)，则。
复数的除法：
专题07 解析几何
知识点1 直线的方程
1、直线的倾斜角
（1）定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.
（2）范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．
2、直线的斜率
（1）定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是eq \f(π,2)的直线没有斜率．
（2）过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq \f(y2－y1,x2－x1).
3、直线方程的五种形式
【注意】“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．
知识点2 两条直线的位置关系
1、两条直线平行与垂直的判定
（1）两条直线平行
①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.
②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
（2）两条直线垂直
①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.
2、两条直线的交点的求法
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，
则l1与l2的交点坐标就是方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．
3、三种距离公式
（1）平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq \r(x2＋y2).
（2）点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
（3）两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
4、直线系方程的常见类型
（1）过定点P(x0，y0)的直线系方程是：y－y0＝k(x－x0)(k是参数，直线系中未包括直线x＝x0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程；
（2）平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Ax＋By＋λ＝0(λ是参数且λ≠C)；
（3）垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)；
（4）过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是：
A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2)．
知识点3 圆的方程
1、圆的定义及方程
2、点与圆的位置关系
点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
3、二元二次方程与圆的关系
不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆．
若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则有：
（1）当F＝0时，圆过原点．
（2）当D＝0，E≠0时，圆心在y轴上；当D≠0，E＝0时，圆心在x轴上．
（3）当D＝F＝0，E≠0时，圆与x轴相切于原点；E＝F＝0，D≠0时，圆与y轴相切于原点．
（4）当D2＝E2＝4F时，圆与两坐标轴相切．
知识点4 直线与圆、圆与圆的位置关系
1、直线与圆的位置关系及判断
（1）三种位置关系：相交、相切、相离．
（2）两种判断方法：
①eq \x(代数法)eq \(――――――――――――――――→,\s\up9(联立方程得方程组消去x或y),\s\d7(得一元二次方程，Δ＝b2－4ac))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＞0⇔相交,Δ＝0⇔相切,Δ＜0⇔相离))
②eq \x(几何法)eq \(――――――――――――→,\s\up9(圆心到直线的距离为d),\s\d7(半径为r))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(d＜r⇔相交,d＝r⇔相切,d＞r⇔相离))
2、圆的切线与切线长
（1）过圆上一点的圆的切线
①过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2.
②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
（2）过圆外一点的圆的切线
过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0.
（3）切线长
①从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，
切线长为 eq \r(x\\al(2,0)＋y\\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F).
②两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝eq \f(2ar,d).
3、圆的弦长
直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法：
（1）几何法：因为半弦长eq \f(L,2)、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2eq \r(r2－d2).
（2）代数法：若直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.
4、圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|)
【 注意】涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论．
知识点5 由一般式方程确定两直线位置关系的方法
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
①若l1∥l2 ⇔ A1B2＝A2B1
②若l1⊥l2 ⇔ A1A2＋B1B2＝0
③与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为：Ax＋By＋m＝0(m≠C)
与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为：Bx－Ay＋m＝0
第一部分 椭圆
一、椭圆的标准方程
二、椭圆的简单几何性质
1．椭圆的简单几何性质
2.离心率的性质
第二部分 双曲线
一、双曲线的标准方程
二、焦点三角形问题
双曲线上一点P与其两个焦点F1、F2连接而成的三角形⊿PF1F2称为焦点三角形。
①定义：
②余弦定理：
③面积公式： ； ；
三、双曲线的几何性质
1.双曲线的简单几何性质
2.等轴双曲线
(1)定义： 等长的双曲线叫做等轴双曲线．
(2)性质：
①一般方程形式： .
②渐近线方程： .
③离心率e＝ .
注意：具有相同渐近线的双曲线y＝±eq \f(b,a)x的双曲线可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0，λϵ R)
当λ＞0时，焦点在x轴上； 当λ＜0时，焦点在y轴上；
第三部分 抛物线
一、抛物线的定义
1.定义：平面内与一个定点F和一条定直线l( )的 的点的轨迹叫做
抛物线．
专题08 立体几何
知识点一 简单几何体
(1)简单旋转体的结构特征：
①圆柱可以由______________绕其任一边旋转得到；
②圆锥可以由直角三角形绕其_____________旋转得到；
③圆台可以由直角梯形绕 或等腰梯形绕 旋转得到，也可由 的平面截圆锥得到；
④球可以由半圆或圆绕 旋转得到．
(2)简单多面体的结构特征：
①棱柱的侧棱都 ，上下底面是 的多边形；
②棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个 的三角形；
③棱台可由 的平面截棱锥得到，其上下底面是 多边形．
知识点二 直观图
(1)画法：常用 .
(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为 ，z′轴与x′轴
和 y′轴所在平面 .
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍 .平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度 ，平行于y轴的线段长度在直观图中 .
• 温馨提醒 •直观图与原图形面积的关系S直观图＝ S原图形(或S原图形＝ S直观图)．
知识点 柱、锥、台和球的面积和体积
1．柱、锥、台和球的侧面积和体积
2.几何体的表面积
(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是 .
(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．
• 温馨提醒 •二级结论
1．几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，①若球为正方体的外接球，则2R＝eq \r(3)a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；③若球与正方体的各棱相切，则2R＝eq \r(2)a.
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq \r(a2＋b2＋c2).
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
Ⅱ：空间点、直线、平面之间的位置关系
知识点一 平面的基本性质及推理
1．平面的基本性质
(1)基本事实1：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
(2)基本事实2：过 的三点，有且只有一个平面．
(3)基本事实3：如果两个不重合的平面有 公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
2．基本事实2的三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；
推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；
推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．
知识点二 空间中两直线的位置关系
(1)空间中两直线的位置关系
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(共面直线\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(平行,相交)),异面直线：不同在任何一个平面内))
知识点三 空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
(1)直线与平面的位置关系有 、 、 三种情况．
(2)平面与平面的位置关系有 、 两种情况．
直线、平面平行的判定及其性质
知识点一 线面平行（判定定理与性质定理）
知识点二 面面平行(判定定理与性质定理)
• 温馨提醒 •
平面与平面平行的几个有用性质
(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．
(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．
(6)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．
直线、平面垂直的判定及其性质
知识点一 直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义
如果一条直线l与平面α内的 直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
(2)判定定理与性质定理
知识点二 平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直．
(2)判定定理与性质定理
专题08 数列
一．公式法
（1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法．
（2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法．
（3）一些常见的数列的前n项和：
①；
②；
③；
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④
二．几种数列求和的常用方法
（1）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
（2）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．
（3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解．
（4）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解．
三．常见的裂项技巧
积累裂项模型1：等差型
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
（9） （10）
（11）
（12）
积累裂项模型2：根式型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
积累裂项模型3：指数型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6），设，易得，
于是
（7）
积累裂项模型4：对数型
若p⇒q，则p是q的 条件，q是p的 条件
p是q的 条件
p⇒q且q⇒ p
p是q的 条件
p⇒ q且q⇒p
p是q的 条件
p⇔q
p是q的 条件
p⇒ q且q⇒ p
命题
命题的否定
∀x∈M，p(x)

∃x0∈M，p(x0)

增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1＜x2时，都有 ，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数
当x1＜x2时，都有 ，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
奇偶性
定 义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，
那么函数f(x)是偶函数
关于 对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)是奇函数
关于 对称
0a>1
图象
性质
定义域：
值域：
过定点
当x>0时， ；
当x<0时,
当x>0时， ；
当x<0时,
在R上是 函数
在R上是 函数
y=lgax
a>1
0图象

定义域
值域
性质
过点 ，即x＝ 时，y＝
当x>1时， ；
当0当x>1时， ；
当0在(0，＋∞)上是 函数
在(0，＋∞)上是 函数
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f ′(x)＝____________
f(x)＝xn(n∈Q*)
f ′(x)＝____________
f(x)＝sin x
f ′(x)＝_____________
f(x)＝cs x
f ′(x)=______________
f(x)＝ax (a＞0且a≠1)
f ′(x)＝_____________
f(x)＝ex
f ′(x)＝_____________
f(x)＝lgax (x＞0，a＞0且a≠1)
f ′(x)＝_____________
f(x)＝ln x (x＞0)
f ′(x)＝______________
定义
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad
角α的弧度数公式
|α|＝eq \f(l,r)(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
①1°＝eq \f(π,180) rad；②1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)|α|r2
三角函数
正弦
余弦
正切
定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
eq \a\vs4\al(y)叫做α的正弦，记作sin α
eq \a\vs4\al(x)叫做α的余弦，记作cs α
eq \f(y,x)叫做α的正切，记作tan α
各象限符号
Ⅰ
＋
＋
＋
Ⅱ
＋
－
－
Ⅲ
－
－
＋
Ⅳ
－
＋
－
三角函数线
有向线段MP为正弦线

有向线段OM为余弦线
有向线段AT为正切线
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
eq \f(π,2)－α
eq \f(π,2)＋α
正弦
sin α
－sin α
－sin α
sin α
cs α
cs α
余弦
cs α
－cs α
cs α
－cs α
sin α
－sin α
正切
tan α
tan α
－tan α
－tan α
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
C(α－β)
cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β
C(α＋β)
cs(α＋β)＝csαcsβ－sinαsinβ
S(α－β)
sin(α－β)＝sinαcsβ－csαsinβ
S(α＋β)
sin(α＋β)＝sinαcsβ＋csαsinβ
T(α－β)
tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)；
变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)
T(α＋β)
tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)；
变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)
S2α
sin 2α＝2sin α cs α；
变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cs α)2，1－sin 2α＝(sin α－cs α)2
C2α
cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α；
变形：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)
T2α
tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)
运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
加法
求两个向量和的运算
首尾相连：三角形法则
共起点：平行四边形法则
①交换律
②结合律
减法
减一个向量等于加上它的相反向量（转化加法）

三角形法则
数乘
求实数与向量
的积的运算
向量的数乘：
当时，与的方向相同； 当时， 与 的方向相反；
当时，
结论
几何表示
坐标表示
模
数量积
夹角
的充要条件
的充要条件
与的关系
(当且仅当时等号成立)
形式
几何条件
方程
适用范围
点斜式
过一点(x0，y0)，斜率k
y－y0＝k(x－x0)
与x轴不垂直的直线
斜截式
纵截距b，斜率k
y＝kx＋b
与x轴不垂直的直线
两点式
过两点(x1，y1)，(x2，y2)
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
与x轴、y轴均不垂直的直线
截距式
横截距a，纵截距b
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0
（A2＋B2≠0）
平面直角坐标系内所有直线
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圆心：(a，b)半径：r
一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F>0)
圆心：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))
半径：r＝eq \f(\r(D2＋E2－4F),2)
理论依据
点到圆心的距离与半径的大小关系
三种情况
(x0－a)2＋(y0－b)2eq \a\vs4\al(＝)r2⇔点在圆上
(x0－a)2＋(y0－b)2eq \a\vs4\al(>)r2⇔点在圆外
(x0－a)2＋(y0－b)2eq \a\vs4\al(<)r2⇔点在圆内
相离
外切
相交
内切
内含
图形
量的关系
d＞r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|＜d＜r1＋r2
d＝|r1－r2|
d＜|r1－r2|
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)
图形
焦点
与
与
a，b，c的关系
c2＝
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准
方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
轴长
短轴长|B1B2|＝_______，长轴长|A1A2|＝_______
焦点
F1 ，F2____________
F1 ，F2____________
焦距
|F1F2|＝2c
范围
对称性
对称轴为_________，对称中心为__________
顶点
离心率
e＝eq \f(c,a)(0焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)
图形
焦点
F1 ，F2____________
F1 ，F2
焦距
|F1F2|=
a，b，c的关系
c2＝
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
图 形
性质
范围
或 ，y∈
或 ，x∈
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点

轴
实轴：线段 ，长： ；
虚轴：线段 ，长： ；
半实轴长： ，半虚轴长：
离心率
e＝ ∈
渐近线


抛
物
线
x
y
O
l
F
x
y
O
l
F
l
F
x
y
O
x
y
O
l
F
定义
平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线。
{=点M到直线的距离}
范围
对称性
关于轴对称
关于轴对称
焦点
(,0)
(,0)
(0,)
(0,)
焦点在对称轴上
顶点
离心率
=1
准线
方程
准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。
顶点到准线的距离
焦点到准线的距离
焦半径
焦 点弦 长
x
F
y
焦点弦的几条性质
以为直径的圆必与准线相切
若的倾斜角为，则
若的倾斜角为，则

切线
方程
侧面积
体积
圆柱
S侧＝
V＝ ＝πr2h
圆锥
S侧＝
V＝ ＝eq \f(1,3)πr2h＝eq \f(1,3)πr2eq \r(l2－r2)
圆台
S侧＝π(r1＋r2)l
V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h＝eq \f(1,3)π(req \\al(2,1)＋req \\al(2,2)＋r1r2)h
直棱柱
S侧＝
V＝
正棱锥
S侧＝
V＝
正棱台
S侧＝eq \f(1,2)(C＋C′)h′
V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h
球
S球面＝
V＝eq \f(4,3)πR3
文字语言
图形语言
符号语言
判
定
定
理
平面外一条直线与 的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)
性
质
定
理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)
文字语言
图形语言
符号语言
判
定
定
理
一个平面内的两条 与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)
性
质
定
理
如果两个平行平面同时和第三个平面 ，那么它们的 平行
文字语言
图形表示
符号表示
判
定
定
理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
性
质
定
理
两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线
文字语言
图形表示
符号表示
判
定
定
理
一个平面经过另一个平面的一条 ，则这两个平面互相垂直
性
质
定
理
如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们 的直线垂直于另一个平面