湖北省武昌实验中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷(含答案)

这是一份湖北省武昌实验中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．,,,1的大小关系是( )
A.B.
C.D.
2．若向量,的夹角为,,若,则实数( )
A.B.C.D.
3．已知向量,,若在上的投影向量,则向量与的夹角为( )
A.B.C.D.
4．一半径为2米的水轮如图所示,水轮圆心O距离水面1米,已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈,如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点)开始计时,则点P距离水面的高度h(米)与t(秒)的一个函数解析式为( )
A.B.
C.D.
5．如图,在中,设,,,,则( )
A.B.C.D.
6．已知A为锐角,,,则( )
A.B.C.D.
7．已知函数的图象关于原点对称,且在区间上是减函数,若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点,则ω的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．在中,的最大值为( )
A.B.2C.D.
二、多项选择题
9．下列四个等式中正确的是( )
A.
B.
C.已知函数,则的最小正周期是
D.已知,,,则的最小值为
10．已知,,,,则( )
A.B.C.D.
11．对于函数，，下列说法正确是( )
A.对任意的k，的最大值为1
B.当时，的值域中只有一个元素
C.当时，在内只有一个零点
D.当时，的值域为
三、填空题
12．已知,且,则________.
13．若,且,,则的值是________.
14．已知函数的图象如图所示,M,N是直线与曲线的两个交点,且,则的值为________
四、解答题
15．已知,,且.当k为何值时,
（1）向量与互相垂直;
（2）向量与平行.
16．已知函数.
（1）求函数的单调减区间;
（2）将函数的图象向左平移个单位,再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数的图象,求在上的值域.
17．已知向量,,函数
,,.
（1）若的最小值为,求实数m的值;
（2）是否存在实数m,使函数,有四个不同的零点?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
18．某工厂有甲,乙两生产车间,其污水瞬时排放量y(单位:)关于时间t(单位:h)的关系均近似地满足函数,其图象如图所示:
（1）根据图象求函数解析式;
（2）若甲车间先投产,1小时后乙车间再投产,求该厂两车间都投产时刻的污水排放量;
（3）由于受工厂污水处理能力的影响,环保部门要求该厂两车间任意时刻的污水排放量之和不超过,若甲车间先投产,为满足环保要求,乙车间比甲车间至少需推迟多少小时投产?
19．已知函数,若存在实数m,k(),使得对于定义域内的任意实数x,均有成立,则称函数为“可平衡”函数;有序数对称为函数的“平衡”数对.
（1）若,求函数的“平衡”数对;
（2）若m＝1,判断是否为“可平衡”函数,并说明理由;
（3）若,,且,均为函数的“平衡”数对,求的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：因为,所以1弧度为第一象限角,
在第一象限,单调递增,所以;
在第一象限,单调递减,所以,
在第一象限,单调递增,所以;
综上所述,有.
故选:B
2．答案：A
解析：由两边平方得.
即,也即,所以.
又由,得,即.
所以
故选:A
3．答案：C
解析：设向量与的夹角为,与同向的单位向量为,
在上的投影向量为,,
,
,,
所以,
,,
与的夹角为,
故选:C.
4．答案：A
解析：设点P距离水面的高度h(米)与t(秒)的一个函数解析式为
由,可得,由,可得
由t=0时h=0,可得,则,又,则
则点P距离水面的高度h(米)与t(秒)的一个函数解析式为
故选:A
5．答案：C
解析：因为,,
所以,,
又因为,
所以,
所以,
故选:C.
6．答案：A
解析：因为,所以,
所以,
又A为锐角,,
所以,
解得,
因为A为锐角,所以,
又,
所以.
故选:A.
7．答案：D
解析：因为函数的图象关于原点对称,
所以,又因为,所以,
所以;
令,因为,则,即,
的减区间为,
又在区间上是减函数,
所以是区间的子集,
因为,所以,,
只有时区间是由负到正,所以有:
,,解得;
因为函数在上的图象与直线有且仅有一个交点,
相当于,在上只有一个最小值,
所以有:,,解得;
综上取交集有:,解得.
故选:D
8．答案：B
解析：法1:
,
当且仅当,时,等号成立,
因此,的最大值为,故选B;
法2:,
当且仅当,时,等号成立,
因此,的最大值为,故选B.
9．答案：AB
解析：,
即,A正确;
,B正确;
,C错误;
,
即,
,
当且仅当时等号成立,
即,,方程无解,故D错误.
故选:AB.
10．答案：CD
解析：,,,
,,;
,,;
当,所以,
当,所以,
故选:CD.
11．答案：BD
解析：对于A项，当时，，，故A错误；
对于B项，，即的值域为，故B正确；
对于C项，由，解得，函数，在的图象如下图所示
由图可知，函数，在内有两个交点，即在内有2个零点，故C错误：对于D项，
，因为，所以，，即的值域为，故D正确；
故选:BD
12．答案：
解析：,
,
13．答案：
解析：,
所以,
因为,所以,所以,
因为,所以,
又,所以,
所以,
因为,
所以,
故答案为:.
14．答案：
解析：由图像可知,
设,,
由可得,
令,可得,,
则,
把代入结合五点法可得,
所以,
故答案为:.
15．答案：（1）或.
（2）
解析：（1）,,
,,
,,
若向量与互相垂直,则,
,
,
,解得或.
（2）因为,即,
则,所以,不共线,
若向量与平行,则存在实数使得成立,
所以且,解得.
16．答案：（1）;
（2）
解析：（1）函数,
当,时,解得:,,
因此,函数的单调减区间为.
（2）将函数的图象向左平移个单位,可得的图象,
再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数的图象,
,,
,的值域为.
17．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）,
,
,
,,
,令,
,,对称轴为,
①当即时,当时,,舍,
②当即时,当时,,,
③当即是,当时,,舍,
综上,.
（2）令,即,
或,,有四个不同的零点,
方程和在上共有四个不同的实根,
,,.
18．答案：（1）;
（2）;
（3）至少需推迟小时投产.
解析：（1）由图可得:,,
,
由过点可得:
所求函数的解析式为.
（2）该厂t时刻的排污量为甲乙两车间排污量之和,此时甲车间排污量为,乙车间为,根据题意可得t时刻的排污量:
（3）设乙车间至少比甲车间推迟小时投产,根据题意可得:,
,
,
,,
,
由函数周期性知,可得:
所以为满足环保要求,乙车间比甲车间至少需推迟2小时投产.
19．答案：（1）
（2）是
（3）
解析：（1）根据题意可知,对于任意实数x,,
即,即对于任意实数x恒成立,
只有,,故函数的“平衡”数对为,
（2）若,则,
,
要使得为“可平衡”函数,需使对于任意实数均成立,只有,
此时,,故k存在,所以是“可平衡”函数.
（3）假设存在实数m,,对于定义域内的任意均有
则
均为函数的“平衡”数对,
,,
,,,
,,
,设,函数单调递增,
,即,的取范围为