献县第一中学2023-2024学年高一下学期6月月考数学试卷(含答案)

这是一份献县第一中学2023-2024学年高一下学期6月月考数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．复数在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2．已知向量,,若,则实数( )
A.B.0C.1D.
3．在中,,,,则( )
A.1B.2C.1或2D.2或3
4．若向量,,则在上的投影向量的坐标是( )
A.B.C.D.
5．某城市有学校700所,其中大学20所,中学200所,小学480所.现用分层抽样方法从中抽取一个容量为70的样本进行某项调查,则应抽取中学数为( )
A.70B.20C.48D.2
6．已知m,n是两条不同的直线,,是两个不同的平面,则下列命题错误的是( )
A.若,,则或
B.若,,则
C.若,,,则m与n平行或异面
D.若,,,则m与n相交或平行
7．已知圆锥的顶点为P,母线长为2,轴截面为,,若C为底面圆周上异于A,B的一点,且二面角的大小为,则的面积为( )
A.2B.3C.D.
8．在三棱锥中,和均为边长为2的等边三角形,,则该三棱锥的外接球的表面积是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知复数，则( )
A.z的虚部为
B.z是纯虚数
C.z的模是
D.z在复平面内对应的点位于第四象限
10．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列对解的个数的判断正确的是( )
A.当,,时,有两解
B.当,,时,有一解
C.当,,时,无解
D.当,,时,有两解
11．如图,在棱长为1的正方体中,已知E,F是线段上的两个动点,且,则( )
A.的面积为定值
B.
C.点A到直线的距离为定值
D.平面与平面所成角为
三、填空题
12．已知复数,则__________.
13．某棉纺厂为了了解一批棉花的质量,从中随机抽测了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标）,所得数据均在区间中,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的100根中,有__________根棉花纤维的长度小于.
14．在中,已知向量与满足,且,则角__________.
四、解答题
15．已知一圆锥的底面半径为.
（1）若圆锥的高为,求圆锥的体积;
（2）若圆锥的母线长为,求圆锥的表面积.
16．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,,.
（1）求和a的值;
（2）求的面积.
17．如图,在四棱锥中,侧棱底面,底面是直角梯形,,,且,,E是的中点.
（1）求证：平面;
（2）在线段上是否存在一点Q,使得平面？若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
18．如图,在中,D,E是边BC上的两点,,AE平分,.
（1）若,求的值;
（2）求证:.
19．如图,在三棱锥中,,,,为等边三角形,,点E,F分别是线段,的中点.
（1）证明：平面;
（2）求直线与平面所成角的正弦值;
（3）求点C到平面的距离.
参考答案
1．答案：D
解析：因为,
所以复数在复平面内对应的点为,
位于第四象限.
故选：D.
2．答案：C
解析：向量,,
则,解得.
故选：C.
3．答案：C
解析：由余弦定理：,即,
则,解得或.
故选：C.
4．答案：B
解析：在上的投影向量为.
故选：B.
5．答案：B
解析：由于,即每10所学校抽取1所,又因中学200所,
所以抽取（所）.
故选：B.
6．答案：D
解析：在A中,若,,则或,故A正确;
在B中,若,则由线面垂直的性质定理得,故B正确;
在C中,若,,则n与m平行或异面,故C正确;
在D中,若,则m与n相交､平行或异面,故D错误.
故选：D.
7．答案：A
解析：如图所示,记O为的中点,则垂直于底面,
所以,又,,,
所以,,取的中点D,连接,,显然有,,
即二面角的平面角为,,,
则,
的面积为.
故选：A.
8．答案：C
解析：取中点G,连接,,在和上分别作点E和点F,使得,,
过点E和点F分别作垂直平面和平面的直线交于点H,易得点H是该三棱锥外接球的球心.
因为,所以,,在中,
由余弦定理得,
故,在中,,,
所以,在中,,
故外接球的半径,外接球的表面积.
故选：C.
9．答案：AC
解析：对A：由虚部定义知z的虚部为，故A正确；
对B：纯虚数要求实部为0，故B错误；
对C：，故C正确；
对D：z在复平面内对应的点为，位于第一象限，故D错误.
故选：AC.
10．答案：AC
解析：对于A,因为,所以,又因为,,所以或,有两解,故A正确;
对于B,,无解,故B错误;
对于C,无解,故C正确;
对于D,又,所以B为锐角,此三角形只有一解,故D错误.
故选：AC.
11．答案：ABC
解析：对于A,因为在中,高为B到的距离,即的长度,为定值,底边为的长度,也为定值,所以的面积为定值,故A正确;
对于B,因为在上,,,所以,即,故B正确;
对于C,A到直线的距离等于A到的距离,为定值,故C正确;
对于D,易知在该正方体中,平面,又平面,所以平面平面,即平面平面,故平面与平面所成角为,故D错误.
故选：ABC.
12．答案：
解析：因为,所以.
13．答案：30
解析：纤维长度小于的频率约为,.
14．答案：
解析：设角A的平分线交于D,因为,故.
设,（如图所示）,,因为,
故四边形为正方形,所以为角A的平分线,故G在上.因为,
故,故.综上,为等腰直角三角形,所以.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）据题意知,圆锥的体积.
（2）圆锥的底面面积;
圆锥的侧面积.
故圆锥的表面积.
16．答案：（1）,
（2）
解析：（1）在中,由,可得.
又由及,可得.
由余弦定理得,得,
因为,故解得.
所以,.
（2）由（1）知,,
所以的面积.
17．答案：（1）见解析
（2）3
解析：（1）证明：取中点F,连接,.
,F分别为,中点,
.
又,
四边形为平行四边形,
.
又平面,平面,
平面.
（2）取中点G,连接,.
则由题意可得四边形为正方形,
.
平面,,平面,
,.
又,易得,
.
,,.
又,,平面,
平面.
.
假设线段上存在点Q,使平面,则.
可证平面,.
又在中,.
在中,.
,.
在线段上存在点Q,使平面,且.
18．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）因为AE平分∠BAC,,所以,
因为,,
所以.
在中,,,
.
所以.
（2）证明:因为,,
由,得,
整理得,
因为,,
所以,所以.
19．答案：（1）见解析
（2）
（3）
解析：（1）证明：,,,,
又为等边三角形,,
在中,由余弦定理得,解得,
,即.
,,,平面,
平面.
（2）由（1）易知,直线与平面所成角为,
.
（3）取中点O,连接,为等边三角形,,
又由（1）可知平面,平面,,
又,且,平面,平面.
为的中点,
点C到平面的距离等于点D到平面的距离.
在中,可知,
在中,可知,
是的中位线,
,
可得的面积.
设点D到平面的距离为d,则三棱锥的体积,
又的面积,
点E到平面的距离为,
三棱锥的体积,
由,得,即点C到平面的距离为.