云南省大理白族自治州民族中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试卷(含答案)

这是一份云南省大理白族自治州民族中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．复数的虚部是( )
A.2B.-2C.1D.-1
2．已知为等比数列,若,,则( )
A.4B.C.D.-4
3．已知向量,向量,满足,则( )
A.B.C.D.
4．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点( )
A.向左平行移动个单位长度B.向左平行移动个单位长度
C.向右平行移动个单位长度D.向右平行移动个单位长度
5．若直线与圆相交所得的弦长为m,则( )
A.1B.2C.3D.4
6．若直线与曲线相切,则( )
A.B.C.D.
7．已知等差数列和的前n项和分别为、，若，则( )
A.B.C.D.
8．函数的图象大致为( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题
9．已知一组数据：3,3,4,4,4,x,5,5,6,6的平均数为4.7,则( )
A.
B.这组数据的中位数为4
C.若将这组数据每一个都加上0.3,则所有新数据的平均数变为5
D.这组数据的第70百分位数为5.5
10．如图,正方体的棱长为1,则下列四个命题中正确的是( )
A. 两条异面直线和所成的角为
B. 直线与平面所成角等于
C.点C到面的距离为
D. 四面体的体积是
11．已知抛物线的焦点为F,过点F的直线l与C相交于A,B两点（点A位于第一象限）,与C的准线交于D点,F为线段AD的中点,准线与x轴的交点为E,则( )
A.直线l的斜率为B.
C.D.直线AE与BE的倾斜角互补
三、填空题
12．若直线过点,则的最小值为_____________．
13．若函数在处取得极小值,则______________.
14．已知数列中,,,,则的前n项和__________．
四、解答题
15．已知的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若.
（1）求角A的大小;
（2）若,求a,b,c.
16．已知数列满足,,.
（1）求;
（2）求数列前20项的和.
17．如图,四棱锥,底面是正方形,,,E,F分别是,的中点.
（1）取AB中点为G,求证：平面;
（2）求平面和平面所成夹角大小
18．已知椭圆的右焦点为,且经过点,过点F且不与x轴重合的直线l交椭圆C于P,Q两点.
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）设椭圆C的左顶点为A,直线,和直线分别交于点M,N,记直线,的斜率分别为,,求证：为定值.
19．已知函数,．
（1）若曲线在点处切线斜率为4,求a的值;
（2）讨论函数的单调性：
（3）已知的导函数在区间上存在零点,求证：当时,．
参考答案
1．答案：C
解析：因为,
所以复数的虚部为1.
故选：C.
2．答案：B
解析：,,
,
,
,
.
故选：B.
3．答案：D
解析：向量,向量,
若,设
则有,则,则有,,
则,
故选：D．
4．答案：D
解析：A选项，把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度得到，A错误；
B选项，把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度得到，B错误；
C选项，把函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度得到，C错误；
D选项，把函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度得到，D正确.
故选：D
5．答案：B
解析：圆的圆心坐标为,半径为,
圆心到直线的距离为,
由勾股定理得,,解得.
故选：B.
6．答案：D
解析：设切点为,
由题意.
,解得.
故选：D.
7．答案：A
解析：易知.
故选：A
8．答案：A
解析：时,函数为减函数,排除B,时,函数也是减函数,排除D,又时,,排除C,只有A可满足．
故选：A.
9．答案：ACD
解析：由题意得,解得,故A正确;
将这组数据从小到大排列为3,3,4,4,4,5,5,6,6,7,则中位数,故B错误;
若将这组数据每一个都加上0.3,则所有新数据的平均数变为,故C正确;
因为,所以这组数据的第百分位数为,故D正确．
故选：ACD．
10．答案：BCD
解析：建立如图所示空间直角坐标系,
对A：、、、,
则、,故,
故,即异面直线和所成的角为,故A错误;
对B：,由z轴平面,故平面法向量可为,
则,故直线与平面所成的角为,故B正确;
对C：,,,
设平面的法向量为,则有,
令,则,故,故C正确;
对D：易得四面体为正四面体,
则,故D正确.
故选：BCD.
11．答案：ABD
解析：易知抛物线C的焦点为,准线为,
若直线l与x轴重合,则直线l与抛物线C只有一个交点,不合乎题意,
若轴,则直线l与抛物线C的准线平行,不合乎题意,
设直线l的方程为,设点、,
联立,可得,即点,
因为点F为线段的中点,则,则,可得,
因为点A在抛物线C上,则,可得,
所以,直线l的方程为,即,
故直线l的斜率为,A对;
联立,解得或,
即点、,
易知点,所以,,,则,B对;
易知点,,,
故,C错;
,,则,
所以,直线与的倾斜角互补,D对.
故选：ABD.
12．答案：8
解析：为直线过点,所以,
因为,,
所以,
当且仅当,即,时取等号,
所以的最小值为8
故答案为：8.
13．答案：2
解析：由可得,
因为函数在处取得极小值,
所以,解得或,
若,则,
当时,,则单调递增;当时,,则单调递减;
当时,,则单调递增;所以函数在处取得极小值,符合题意;
当时,,
当时,,则单调递增;当时,,则单调递减;
当时,,则单调递增;所以函数在处取得极大值,不符合题意;
综上：.
故答案为：2.
14．答案：
解析：由可得,所以是等差数列,且公差为2,
所以,故,
所以,
所以
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,
所以,
即,
所以,
又,所以.
（2）在中,由余弦定理有,
又,
即,
所以,联立,即,
所以,则,
所以.
16．答案：（1）1
（2）-401.
解析：（1）由题意知数列的前4项是公比为2的等比数列,从第5项开始是公差为-4的等差数列.
因为,所以,又,所以.
（2）.
17．答案：（1）证明见解析;
（2）.
解析：（1）取AB中点G,连结EG,FG,如图所示：
ABCD是正方形, ,
又,,,
又E,F,G都是中点, ,,
,,,GF,平面,
平面;
（2）取中点O,连接,
由（1）中,且,,平面;
所以平面,
又,是正方形,所以;
即可得,,两两垂直;
过O作AB平行线,建立以O为坐标原点的空间直角坐标系,如下图所示：
由题意得,,,,
则,,,
设平面的法向量为,
则,即,
令,则,,得,
设平面的法向量为,
则,即,解得;
令,则,得,
因此,
所以平面和平面所成夹角大小为.
18．答案：（1）;
（2）证明见解析.
解析：（1）由题意得,解得,
故椭圆的标准方程为．
（2）由（1）知,,
设,,直线的方程为,
由消去x得,
,
则,,
直线的方程为,
由,得,
同理,
则
,
所以为定值.
19．答案：（1）
（2）答案见解析
（3）证明见解析
解析：（1）,则,
由题意可得,解得;
（2）由（1）可得：,
当时,则恒成立,
令,解得;令,解得;
故在上单调递减,在上单调递增;
当时,令,解得或,
①当,即时,令,解得或;令,解得;
故在上单调递增,在上单调递减;
②当,即时,则在定义域内恒成立,
故在上单调递增;
③当,即时,令,解得或;令,解得;
故在,上单调递增,在上单调递减;
综上所述：当时,在上单调递减,在上单调递增;
当,在,上单调递增,在上单调递减;
当,在上单调递增;
当,在,上单调递增,在上单调递减;
（3）由（2）知：若在区间上存在零点,则,解得.
由（2）知：在上单调递增,在上单调递减,
则,
构建,,则,
令,则当时恒成立,
故上单调递减,则,
即当时恒成立,
则在上单调递减,则,
故.