云南省大理白族自治州民族中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷(含答案)

这是一份云南省大理白族自治州民族中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若,A点的坐标为,则B点的坐标为( )
A.B.C.D.
2．已知复数,则z的虚部为( )
A.-2B.-1C.D.2
3．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,则角B的大小是( )
A.B.C.D.
4．若,,( )
A.B.C.D.
5．在中,若点D满足,则( )
A.B.
C.D.
6．下列区间为函数的增区间的是( )
A.B.C.D.
7．已知A,B,C是平面直角坐标系内的三点,若,,则的面积为( )
A.15B.12C.D.6
8．若向量,满足,且,则在上的投影向量为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．设z是非零复数,则下列说法正确是( )
A.若,则B.若,则
C.若,则D.若,则
10．已知向量,,则下列结论正确是( )
A.若,则
B.若,则
C.若与的夹角为,则
D.若与的夹角为,则
11．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,则下列结论正确的是( )
A.若,则有两解
B.若,则
C.的周长有最大值6
D.的面积有最大值
三、填空题
12．已知复数z满足,则___________.
13．设向量,,向量与的夹角为锐角,则x的范围为____________.
14．圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑,其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体,极具对称之美.为了估算圣·索菲亚教堂的高度,某人在教堂的正东方向找到一座建筑物,高约为,在它们之间的地面上的点M（B,M,D三点共线）处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角分别是和,在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为,则可估算圣·索菲亚教堂的高度约为_____________.
四、解答题
15．设O为坐标原点,向量、、分别对应复数、、,且,,.已知是纯虚数.
（1）求实数a的值;
（2）若,,三点共线,求实数m的值.
16．已知平面向量,的夹角为,且,,．
（1）当时,求;
（2）当时,求的值．
17．在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知
（1）求的值
（2）若,求的面积.
18．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出.该问题是：“在一个三角形内求作一点,使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答,当的三个内角均小于时,使得的点O即为费马点;当有一个内角大于或等于时,最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：
已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且
（1）求A;
（2）若,设点P为的费马点,求.
19．已知O为坐标原点,对于函数,称向量为函数的伴随向量,同时称函数为向量的伴随函数．
（1）设函数,试求的伴随向量;
（2）记向量的伴随函数为,在中,,,求的值;
（3）记向量的伴随函数为,函数,函数在区间上的最大值为,最小值为,设函数,若,求函数的值域．
参考答案
1．答案：A
解析：设,故,而,
故,故,故,
故选：A.
2．答案：A
解析：因为,
所以z的虚部为-2.
故选：A.
3．答案：A
解析：在中,因,由正弦定理可得
,
因,所以,故,即,
又因,所以,
故选：A.
4．答案：B
解析：因为,所以,
又,所以,
则
.
故选：B.
5．答案：A
解析：由条件可知,得.
故选：A
6．答案：B
解析：令,,
解得：,,
当时,,
当时,,
当时,,
故四个选项中,只有B选项满足要求,
故选：B.
7．答案：C
解析：因为,,
所以,即,
所以,
故选：C.
8．答案：D
解析：由,则,
由在上的投影向量.
故选：D.
9．答案：AB
解析：设,a,但a,b不同时为0,则,可得,
对于A：若,则,
故,A正确;
对于B：,
若,则,
解得：或（舍）,B正确;
对于C：若,即,解得,
故,则,
可得,C不正确;
对于D：,则,解得,
即z为纯虚数,此时,,
故,D不正确.
故选：AB.
10．答案：ABC
解析：向量,,
对于A,由,得,因此,A正确;
对于B,由,得,因此,B正确;
对于C,与的夹角为,,,,C正确;
对于D,由C知,,故D错误.
故选：ABC.
11．答案：ABD
解析：因为,,由正弦定理可得,
又,所以有两解,A正确.
由,可得,,
由正弦定理可得,B正确.
由余弦定理,
,当且仅当时,取到等号,解得,C不正确.
由余弦定理,
即,当且仅当时,取到等号,
所以的面积,D正确.
故选：ABD.
12．答案：1
解析：法一：由,得,所以,;
法二：由,得,所以,.
故答案为：1.
13．答案：且
解析：向量,,由得,,所以.
由已知得,,所以,即,且,不共线.
则,所以.
又,不共线,则.所以x的取值范围为且.
故答案为：且.
14．答案：
解析：由题可得在直角中,,,所以,
在中,,,
所以,
所以由正弦定理可得,所以,
则在直角中,,即圣·索菲亚教堂的高度约为54m.
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意可得,
由于复数是纯虚数,则,解得;
（2）由（1）可得,,则点,,点
所以,,
因,,三点共线,所以,所以,
所以.
16．答案：（1）;
（2）．
解析：（1）
,故．
（2）由条件知,故,
所以．
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由正弦定理得,
所以
即
即有,即
所以
（2）由（1）知,即,
又因为,所以由余弦定理得：
,即,解得,
所以,又因为,所以,
故的面积为=.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）由已知中,
即,
故,由正弦定理可得,
故直角三角形,即.
（2）由（1）,所以三角形的三个角都小于,
则由费马点定义可知：,
设,,,由
得：,整理得,
则
19．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）,
所以．
（2）由题意,得．
所以,又C为的内角,所以．
因为,所以,所以．
所以．
（3）由题意,得,故,
,,
在上单调递增,在上单调递减,且,,
所以,,
此时,;
,,,
即可得函数的值域为.