长春市第二实验中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份长春市第二实验中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知复数z满足，i为虚数单位，则( )
A.B.C.D.
2．已知向量，，.若与平行，则实数λ的值为( )
A.B.C.1D.-1
3．如图，在空间四边形中，，，，点M在上，且，N为的中点，则等于( )
A.B.C.D.
4．如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形.已知，，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C.四边形的周长为
D.四边形的面积为
5．如图，在正方形中，E，F分别是BC，CD的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为G，且取EF中点为O，则在这个空间图形中必有( )
A.B.C.D.
6．已知平行四边形ABCD中，，,,点P在线段CD上（不包含端点），则的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．如图，在正方体中，M,N分别为,的中点，则异面直线和所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
8．在棱长为2的正方体中，若在线段和线段上分别取点E，F，使得直线平面，则EF的长的最小值为( )
A.B.1C.D.
二、多项选择题
9．A，B，C表示不同的点，n，l表示不同的直线，,表示不同的平面，下列说法错误的是( )
A.若，,,则
B.若，，则
C.若，，，则
D.若，则
10．欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，下列说法中正确的是( )
A.对应的点位于第二象限B.为纯虚数
C.的模长等于D.的共轭复数为
11．已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则下列四个命题中正确的命题是( )
A.若，则一定是等边三角形
B.若，则一定是等腰三角形
C.若，则一定是锐角三角形
D.若，则一定是锐角三角形
三、填空题
12．已知向量，，则在上的投影向量的坐标为________.
13．如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱.若侧面水平放置时，液面恰好过，，，的中点.当底面水平放置时，液面高为__________.
14．截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为6的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为2的截角四面体，则该截角四面体的外接球表面积为__________.
四、解答题
15．已知平面向量,.
（1）若，且，求的坐标；
（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
16．如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点.
（1）证明，是直角三角形；
（2）若，，求直线AB与平面所成角的正弦值.
17．如图，在菱形ABCD中，,，E，F分别是边AB，BC上的点，且，，连接ED、AF，交点为G.
（1）设，求t的值；
（2）求的余弦值.
18．在中，设角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知.
（1）求角B的值；
（2）若为锐角三角形，且，求的面积S的取值范围.
19．如图，在直三棱柱中，侧棱，，且M，N分别为BB1，AC的中点，连接MN.
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的平面角的大小.
参考答案
1．答案：B
解析：由题意可知：，
由，可得.
故选：B.
2．答案：D
解析：由，，得，而，与平行，
因此，解得，
所以实数λ的值为-1.
故选：D
3．答案：C
解析：由点M在上，且，知；由N为的中点，知.
所以.
故选：C.
4．答案：D
解析：如图可知，，，
四边形的周长为，四边形的面积为.
故选:D.
5．答案：C
解析：依题意，,,,,平面，则平面，
而平面，因此，而O,G不重合，C正确，A错误；
显然，B错误；
若，而，,平面，
则平面，又平面，于是，
在中，O为斜边的中点，，矛盾，D错误.
故选：C
6．答案：A
解析：，，，
，
即，即，
以A为原点，以所在的直线为x轴，以的垂线为y轴，建立如图所示的坐标系，，，，，
设，
,，
，
设，在上单调递减，在上单调递增，
，，
则的取值范围是.
故选：A.
7．答案：A
解析：如图，
延长到点E，使得，连接,，由，得，即，
所以为异面直线和所成的角或其补角.
设正方体的棱长为2，
则，，
所以.
故选：A
8．答案：A
解析：过点E,F作棱的平行线，分别交,,,,于点P,Q,M,N，连接，,,,
平面，平面，则平面，又平面，
,平面，于是平面平面，
而平面平面，平面平面，因此，
设，则,，，
又四边形为矩形，则，
当且仅当时取等号，所以EF的长的最小值为.
故选：A
9．答案：BCD
解析：对于A，由，得存在过n的平面与相交，令交线为a（不与l重合），则，
由，得存在过n的平面与相交，令交线为b（不与l重合），则，于是，
显然，则，而,，因此，，A正确；
对于B，，，则或l与相交，B错误；
对于C，，，，当时，，C错误；
对于D，由,，得，而，因此，D错误.
故选：BCD
10．答案：ACD
解析：对于A项：由题意可得：，则其对应的点为，
，则,，
对应的点位于第二象限，故A项正确；
对于B项：由题意可得：为实数，故B项错误；
对于C项：由题意可得：，
则，故C项正确；
对于D项：由题意可得：，
则的共轭复数为，故D项正确；
故选：ACD.
11．答案：AD
解析：对于A选项，因为，由正弦定理可得，
则，
因为至少有两个锐角，从而可得，
故为锐角三角形，
因为正切函数在上为增函数，故，
所以，为等边三角形，A对；
对于B选项，因为，由正弦定理可得，即，
因为，所以，，,
又因为A、B中至少有一个为锐角，则，则A、B均为锐角，
所以，，所以，或，即或，
为等腰三角形或直角三角形，B错；
对于C选项，时，由余弦定理可得，
即为锐角，但A、B是否都是锐角，不能保证，
因此不一定是锐角三角形，C错；
对于D选项，因为，
所以，
由，所以A、B、C均为锐角，
所以为锐角三角形，所以D正确.
故选：AD.
12．答案：
解析：依题意，,，所以在上的投影向量为.
故答案为：
13．答案：12
解析：设的面积为a，底面ABC水平放置时，液面高为h，
侧面水平放置时，水的体积为
当底面ABC水平放置时，水的体积为，于是，解得，
所以当底面水平放置时，液面高为12.
故答案为：12
14．答案：
解析：因为棱长为a的正四面体的高为，所以截角四面体上下底面距离为，
设其外接球的半径为R，等边三角形的中心为，正六边形的中心为，易知外接球球心O在线段上，且垂直于平面与平面，则，
所以，解得，
所以该截角四面体的外接球的表面积为.
故答案为：.
15．答案：（1）或；
（2）.
解析：（1）由，，得，由，设，，
由，得，解得，
所以的坐标是或.
（2）依题意，，由与的夹角为锐角，得，且与不共线，
因此，解得且，
所以实数的取值范围是.
16．答案：（1）证明见解析；
（2）.
解析：（1）由是⊙O的直径，C是圆周上不同于A,B的一动点，得，
由平面，平面，得，
又，平面，则平面，
又平面，因此，所以是直角三角形.
（2）过A作于H，
由平面，平面，得，
又，平面，则平面，
于是是直线与平面所成的角，
在中，，
在中，，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
17．答案：（1）；
（2）
解析：（1），
又D，G，E三点共线，则，
则，
因为，不共线，由平面向量基本定理，得且，
解得.
（2）取，作为平面的一组基底，
则，
则，
.
，
，
.
18．答案：（1）60°；
（2）﹒
解析：（1），
由正弦定理得，即，即，
即，
由余弦定理得，，；
（2），，即，又，
由正弦定理得，
，
为锐角三角形，，解得，
从而，.
19．答案：（1）证明见解析；
（2）；
解析：（1）如图，取的中点P，连接，，
N为AC中点，，且.
又，，，，
四边形是平行四边形，.
又平面，MN平面，平面.
（2）如图，做，交于E，以点B为原点，为x轴，BC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
直三棱柱的底面的边长，侧棱,，
，，，，，
，.设平面AB1C1的法向量为.
因为，，所以令x=1，则，.
平面的一个法向量为，，
由图知二面角的平面角为锐角，二面角的平面角的大小为.