重庆市涪陵第五中学校2023-2024学年高一下学期5月第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份重庆市涪陵第五中学校2023-2024学年高一下学期5月第一次月考数学试卷(含答案)，共11页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知点C在线段AB上，且，若向量，则( )
A.2B.C.D.
2．如图所示的平面图形可以折叠成的立体图形为( )
A.三棱锥B.四棱柱C.四棱锥D.球
3．如图,在平行四边形中,( )
A.B.C.D.
4．已知向量,,且,则( )
A.18B.2C.-18D.-2
5．向量在向量上的投影向量为( )
A.B.C.D.
6．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,且,则角A的余弦值为( )
A.B.C.D.
7．已知等边的边长为,P为它所在平面内一点,且,则的最大值为( )
A.B.7C.5D.
8．古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数.已知，，，，与交于点O，若，则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．给出下列命题，其中正确的命题是( )
A.若，则或
B.若向量是向量的相反向量，则
C.在正方体中，
D.若空间向量，，满足，，则
10．已知向量,,,则( )
A.B.C.D.
11．在中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,则正确的结论有( )
A.若,则
B.若为锐角三角形,则
C.若,则为直角三角形
D.若,则一定是等腰三角形
三、填空题
12．已知向量,,则___________.
13．复数的共轭复数的模是_____________.
14．在中,,的外接圆的半径是,则角____________．
四、解答题
15．已知向量,.
(1)求的坐标;
(2)求.
16．在中,角A,B,C所对边分别为a,b,c.若,,,求：
（1）角B;
（2）的面积S.
17．已知向量,满足,且,.
（1）求;
（2）求与的夹角
（3）求.
18．在梯形ABCD中,,为钝角,,,.
（1）求;
（2）设点E为AD的中点,求BE的长.
19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.
试用以上知识解决下面问题：已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且.
(1)求A；
(2)若，设点P为的费马点，求；
(3)设点P为的费马点，，求实数t的最小值.
参考答案
1．答案：D
解析：如图，由，可得，所以，即，
故选：D.
2．答案：C
解析：由给定的图形知,该几何体有四个三角形面与一个四边形面组成,所以该几何体为四棱锥.
故选：C.
3．答案：A
解析：依题意,,
所以.
故选：A.
4．答案：D
解析：;
;
．
故选：D．
5．答案：C
解析：向量在向量上的投影向量为.
故选：C.
6．答案：A
解析：由得,或（舍）,.
故选：A．
7．答案：B
解析：取的中点D,连接,并延长到E,使,
因为为等边三角形,所以,,
所以,
因为,
所以,
因为等边的边长为,
所以,
要使取得最大值,则与共线且同向,
所以的最大值为,
故选：B.
8．答案：A
解析：以C为坐标原点，，所在直线分别为x，y轴建立如图所示的坐标系，
由题意得，
则，，，，.
因为，，故，
因为，所以（负值舍去），
所以，
故.又，则，
因为，所以，
解得，所以，
故选：A.
9．答案：BCD
解析：对于选项A：若，即向量与的模相等，但方向不确定，故A错误；
对于选项B：相反向量是指大小相等方向相反的两个向量，故B正确；
对于选项C：在正方体中，与大小相等，方向相同，故，所以C正确；
对于选项D：若，，则，方向相同大小相等，故，若，，中有零向量结论也正确，所以D正确.
故选：BCD.
10．答案：BD
解析：由题意,,A错误;
,,所以B正确,C错误;
,D正确.
故选：BD.
11．答案：ABC
解析：对于A中,因为,可得,所以,
所以,所以A正确;
对于B中,由为锐角三角形,可得,则,
因为A,,可得,
又由函数在上为单调递增函数,所以,
所以B正确;
对于C中,由,由正弦定理可得,
所以则为直角三角形,所以C正确;
对于D中,由,可得或,
可得或,所以一定是等腰三角形,所以D不正确.
故选：ABC.
12．答案：2
解析：由题意可得：.
故答案为：2.
13．答案：1
解析：,
所以,
所以.
故答案：1.
14．答案：
解析：三角形ABC外接圆半径,结合正弦定理知,
题设条件等价于,
即,
由余弦定理知,,又,故,
故答案为：.
15．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）因为,,
所以;
所以;
（2）因为,
所以.
16．答案：（1）
（2）.
解析：（1）由正弦定理,得,
因为在中,且,所以.
（2）因为,
所以.
所以.
17．答案：（1）-1
（2）
（3）
解析：（1）,.
（2）,又,.
（3）.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）在梯形ABCD中,由,为钝角,得是锐角,
在中,,则,
由余弦定理得,即为等腰三角形,
所以.
（2）由,得,由点E为AD的中点,得,
所以.
19．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)由已知中，即，
故，由正弦定理可得.
故直角三角形，即.
(2)由(1)，所以三角形的三个角都小于，
则由费马点定义可知：，
设,,，
由得：
，
整理得，
则
.
(3)点P为的费马点，则，
设,,,,,，
则由得；
由余弦定理得，
，
，
故由得，
即，
而,，故，
当且仅当，结合，解得时，等号成立，
又，即有，解得或(舍去)，
故实数t的最小值为.