高考总复习优化设计一轮用书文科数学配北师版课时规范练57　极坐标方程与参数方程的应用

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1.(2021山西晋中二模)已知在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为x=2+2csα,y=2sinα(α为参数),以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρ(sin θ+cs θ)=1.
(1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程;
(2)点P的极坐标为1,π2,设直线l与圆C的交点为A,B两点,且AB的中点为Q,求线段PQ的长.
解:(1)由x=2+2csα,y=2sinα(α为参数),消去参数α,得圆C的普通方程为(x-2)2+y2=4,由ρ(sin θ+cs θ)=1,结合x=ρcs θ,y=ρsin θ,可得直线l的直角坐标方程为x+y-1=0.
(2)由点P的极坐标为1,π2,得点P的直角坐标为(0,1),可知点P在直线l上.设直线l的参数方程为x=-22t,y=1+22t(t为参数),代入圆的普通方程得t2+32t+1=0,又PQ=t1+t22,故|PQ|=t1+t22=322.
2.(2021河南六市联考一)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=1+tcsφ,y=1+tsinφ(t为参数,φ∈[0,π)),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4csθ-π3.
(1)求圆C的直角坐标方程;
(2)设P(1,1),若直线l与圆C相交于A,B两点,求|PA−PB|的最大值.
解:(1)由圆C的极坐标方程为ρ=4csθ-π3,
得圆C的直角坐标方程为x2+y2=2x+23y,即(x-1)2+(y-3)2=4.
(2)将直线l的参数方程x=1+tcsφ,y=1+tsinφ(t为参数),代入(x-1)2+(y-3)2=4,
得t2-2(3-1)sin φ·t-23=0.
设点A,B所对应的参数为t1和t2,
则t1+t2=2(3-1)sin φ,t1·t2=-23,
(方法1)|PA−PB|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=4(3-1)2sin2φ+83,
当sin φ=1时,|PA−PB|max=4.
(方法2)由t的几何意义知,|PA−PB|=|AB|,所以|PA−PB|max=2r=4.
3.在平面直角坐标系中,已知曲线C的参数方程为x=1+2csφ,y=1+2sinφ(φ为参数).以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线l1的极坐标方程为θ=α-π6≤α≤π6,射线l2的极坐标方程为θ=α+π2.
(1)写出曲线C的极坐标方程,并指出是何种曲线;
(2)若射线l1与曲线C交于O,A两点,射线l2与曲线C交于O,B两点,求△ABO面积的取值范围.
解:(1)将x=1+2csφ,y=1+2sinφ(φ为参数),化为普通方程为(x-1)2+(y-1)2=2,曲线C是以(1,1)为圆心,2为半径的圆.曲线C的极坐标方程为(ρcs θ-1)2+(ρsin θ-1)2=2,
整理得ρ=2cs θ+2sin θ.
(2)令ρ1=|OA|=2cs α+2sin α,
ρ2=|OB|=2csα+π2+2sinα+π2=-2sin α+2cs α,
S△OAB=12ρ1ρ2=2(cs2α-sin2α)=2cs 2α.
∵-π6≤α≤π6,∴-π3≤2α≤π3,
∴12≤cs 2α≤1,∴1≤2cs 2α≤2.
∴△ABO面积的取值范围为[1,2].
4.(2021东北三省四市教研体模拟)已知某曲线C的参数方程为x=2csφ,y=sinφ(φ为参数).
(1)若P(x,y)是曲线C上的任意一点,求x+2y的最大值;
(2)已知过C的右焦点F,且倾斜角为α0≤α