高考第一轮文科数学（人教A版）解答题专项三　数列

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(1)若S4-2a2a3+6=0,求Sn;
(2)若对于每个n∈N*,存在实数cn,使an+cn,an+1+4cn,an+2+15cn成等比数列,求d的取值范围.
2.已知数列{an}的前n项和为Sn,数列Snn是首项为12,公差为14的等差数列,若[x]表示不超过x的最大整数,如[0.5]=0,[lg 499]=2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=[lg an],求数列{bn}的前2 021项的和.
3.(2022河南郑州一模)已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),前n项和为Sn,现给出下列三个条件:①S1,S2,S4成等比数列;②S4=16;③S8=4(a8+1).请你从这三个条件中任选两个解答下列问题.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若bn-bn-1=4an(n≥2),且b1=3,求数列1bn的前n项和Tn.
4.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且数列Snn是以1为公差的等差数列.
(1)求数列1anan+1的前n项和Tn;
(2)设等比数列{cn}的首项为2,公比为q(q>0),其前n项和为Pn,若存在正整数m,使得S3是Sm与P3的等比中项,求q的值.
5.Sn为等比数列{an}的前n项和,已知a4=9a2,S3=13,且公比q>0.
(1)求an及Sn.
(2)是否存在常数λ,使得数列{Sn+λ}是等比数列?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
6.已知等比数列{an}的公比为λ(λ>1),a1=1,数列{bn}满足bn+1-bn=an+1-λ,b1=1λ-1.
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)规定:[x]表示不超过x的最大整数,如[-1.2]=-2,[2.1]=2.若λ=2,cn=1bn+2n-2,记Tn=c1+c2+c3+…+cn(n≥2),求Tn2-2Tn+2Tn-1的值,并指出相应n的取值范围.
参考答案
解答题专项三 数列
1.解(1)数列{an}是首项a1=-1的等差数列且d>1.
∵S4-2a2a3+6=0,
∴4a1+4×32d-2(a1+d)(a1+2d)+6=0.
把a=-1代入得-4d2+12d=0,
解得d=3或d=0(舍去),
∴Sn=na1+n(n-1)2d=3n2-5n2.
(2)∵对每个n∈N*,存在实数cn使得an+cn,an+1+4cn,an+2+15cn成等比数列,
∴(an+1+4cn)2=(an+cn)(an+2+15cn),
an+12+8an+1cn+16cn2=anan+2+an+2cn+15ancn+15cn2,
cn2+(8an+1-an+2-15an)cn+an+12-anan+2=0,
而8an+1-an+2-15an=8(a1+nd)-[a1+(n+1)d]-15[a1+(n-1)d]=8a1+8nd-a1-(n+1)d-15a1-15(n-1)d=-8a1+(8n-n-1-15n+15)d=8+(14-8n)d,
an+12-an·an+2=(an+d)2-an(an+2d)=d2,
∴cn2+[8+(14-8n)d]cn+d2=0,
对此式,Δ=[8+(14-8n)d]2-4d2≥0,
[8+(14-8n)d+2d][8+(14-8n)d-2d]=[(16-8n)d+8][(12-8n)d+8]≥0,
[(2-n)d+1][(3-2n)d+2]≥0,
n=1时,显然成立;
n=2时,-d+2≥0,d≤2;
n≥3时,原式=[(n-2)d-1][(2n-3)d-2]>0恒成立.
∴1