高考第一轮文科数学（人教A版）课时规范练20　简单的三角恒等变换

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1.sinπ12-csπ12的值等于( )
A.-22B.22C.-62D.62
2.(2022陕西榆林二模)2sin 140°+cs 70°=( )
A.3sin 110°
B.3sin 110°+2sin 20°
C.3cs 110°
D.3cs 110°+2sin 20°
3.求值:1-3tan10°1-cs20°=( )
A.1B.2C.3D.22
4.(2022江苏基地学校联考)若3sin α+cs α=23,则cs2π3-2α=( )
A.-89B.89
C.-1718D.1718
5.已知θ∈π4,3π4,sinπ4+θ=35,则tan θ的值为( )
A.17B.-17C.7D.-7
6.(2022河南焦作一模)已知α∈π4,π2,且4cs α-tanπ2-α=3,则α= .
7.若α+β=π3,则cs α+cs β的最小值为 .
8.已知α,β∈0,π2,tan α=17,sin β=1010,则π-α-2β的值为 .
综合提升组
9.已知2cs(2α+π3)sin(α+π6)=7,则csα-π3=( )
A.-12B.14C.27D.25
10.已知sinα-π3+3cs α=13,则sin2α+π6=( )
A.23B.29C.-19D.-79
11.已知m=2sin 18°,若m2+n=4,则1-2cs2153°mn=( )
A.-14B.-12C.14D.12
12.若sin 2α=55,sin(β-α)=1010,且α∈π4,π,β∈π,3π2,则α+β的值是( )
A.7π4B.9π4
C.5π4或7π4D.5π4或9π4
创新应用组
13.(2022重庆二模)已知α,β∈(0,π),sin(α-β)=56,tanαtanβ=-14,则α+β=( )
A.5π6B.πC.7π6D.11π6
14.函数f(x)=sinxsin4x4+cs4x4的最小值为 .
15.设sinβ+π6+sin β=3+12,则sinβ-π3= .
参考答案
课时规范练20 简单的
三角恒等变换
1.A sinπ12-csπ12=2csπ4sinπ12-sinπ4csπ12=2sinπ12−π4=-2sinπ6=-22.
2.A 2sin 140°+cs 70°=2sin(110°+30°)-cs 110°=3sin 110°.故选A.
3.D 原式=1-3sin10°cs10°2sin210°
=cs10°-3sin10°2sin10°cs10°
=2cs(10°+60°)22sin20°
=22cs70°sin20°
=22cs(90°-20°)sin20°
=22sin20°sin20°
=22.
4.A ∵3sin α+cs α=23,所以2sinα+π6=23,即sinα+π6=26,∴cs2π3-2α=cs23π-2α+π6+π3=csπ-2α+π6=-cs 2α+π6=-1-2sin2α+π6=-1-2×262=-89,故选A.
5.D 因为θ∈π4,3π4,所以π4+θ∈π2,π.
又因为sinπ4+θ=35,
所以tanπ4+θ=-34,
所以tan θ=tanπ4+θ-π4=tan(π4+θ)-tanπ41+tan(π4+θ)·tanπ4=-34-11-34×1=-7.
6.5π18 ∵4cs α-tanπ2-α=4cs α-sin(π2-α)cs(π2-α)=4cs α-csαsinα=3,
∴4cs αsin α=3sin α+cs α,即2sin 2α=2sinα+π6,
∴sin 2α=sinα+π6.
∵α∈π4,π2,
∴2α∈π2,π,α+π6∈5π12,2π3,则2α=α+π6,或2α+α+π6=π,
解得α=π6(舍去)或α=5π18.
7.-3 因为α+β=π3,所以cs α+cs β=cs α+csπ3-α=cs α+csπ3cs α+sinπ3sin α=32cs α+32sin α=312sin α+32cs α=3sinα+π3,所以cs α+cs β的最小值为-3.
8.3π4 因为α,β∈0,π2,所以cs β=1-sin2β=1-(1010) 2=31010,
所以tan β=sinβcsβ=13,所以tan 2β=2tanβ1-tan2β=34,则tan(α+2β)=tanα+tan2β1-tanα·tan2β=1.
因为α,β∈0,π2,tan α=17∈0,33,sin β=1010∈0,12,
所以α,β∈0,π6,所以0<α+2β<π2,所以α+2β=π4,故π-α-2β=3π4.
9.B ∵cs2α+π3=1-2sin2α+π6,由2cs(2α+π3)sin(α+π6)=7,得21-2sin2α+π6=7sinα+π6,化简得4sinα+π6-1sinα+π6+2=0.∴sinα+π6=14,sinα+π6=-2(舍去),∴csα-π3=csα+π6-π2=sinα+π6=14.
10.D ∵sinα-π3+3cs α=13,∴sin αcsπ3-cs αsinπ3+3cs α=13,∴12sin α-32cs α+3cs α=13,∴12sin α+32cs α=13,∴csα-π6=13,∴sin2α+π6=sin2α-π6+π2=cs 2α-π6=2cs2α-π6-1=2×132-1=-79.
11.B 因为m=2sin 18°,m2+n=4,所以n=4-m2=4-4sin218°=4cs218°,因此1-2cs2153°mn=-cs306°2sin18°·2cs18°=-cs54°2sin36°=-sin36°2sin36°=-12.
12.A ∵α∈π4,π,∴2α∈π2,2π.∵sin 2α=55,∴2α∈π2,π,∴α∈π4,π2,cs 2α=-255.∵β∈π,3π2,∴β-α∈π2,5π4,又sin(β-α)=1010,∴cs(β-α)=-31010.∴cs(α+β)=cs[2α+(β-α)]=cs 2αcs(β-α)-sin 2αsin(β-α)=-255×-31010-55×1010=22.又α+β∈5π4,2π,∴α+β=7π4.
13.C ∵α,β∈(0,π),tanαtanβ=-14<0,∴0<α<π2,π2<β<π或0<β<π2,π2<α<π;若0<α<π2,π2<β<π,则-π<α-β<0,此时sin(α-β)<0(舍去);若0<β<π2,π2<α<π,则0<α-β<π,此时sin(α-β)>0,符合题意.∴0<β<π2,π2<α<π,即α+β∈π2,3π2.∵sin(α-β)=56且tanαtanβ=-14,∴sin αcs β-cs αsin β=56,且sinαcsβcsαsinβ=-14,解得sin αcs β=16,cs αsin β=-23,则sin(α+β)=-12,∴α+β=7π6.故选C.
14.-2 f(x)=sinx(sin2x4+cs2x4) 2-2sin2x4cs2x4
=sinx1-14(1-csx)=4sinxcsx+3.
设4sinxcsx+3=t,可得4sin x-tcs x=3t,
可得t2+16sin(x-φ)=3t,其中cs φ=4t2+16,sin φ=tt2+16.
因为sin(x-φ)∈[-1,1],
所以|3t|≤t2+16,
解得-2≤t≤2.
因此f(x)的最小值为-2.
15.32或-12 依题意sinβ+π6+sin β=3+12,
sinβ-π3+π2+sinβ-π3+π3=3+12,
csβ-π3+12sinβ-π3+32csβ-π3=3+12,
12sinβ-π3+3+22csβ-π3=3+12,
sinβ-π3+(3+2)csβ-π3=3+1,csβ-π3=(3+1)-sin(β-π3)3+2,
代入sin2β-π3+cs2β-π3=1,sin2β-π3+(3+1)-sin(β-π3)3+22=1,
化简得(8+43)sin2β-π3-(23+2)sinβ-π3-(3+23)=0,
两边同时除以3+2,得4sin2β-π3+(2-23)sinβ-π3-3=0,
2sinβ-π3+12sinβ-π3-3=0,
解得sinβ-π3=-12或sinβ-π3=32.