湖北省2024届高三下学期毕业生四月调研考试数学试卷(含答案)

这是一份湖北省2024届高三下学期毕业生四月调研考试数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设,,,则( )
A.B.0C.-3D.-11
2．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
3．下面四个数中,最大的是( )
A.B.C.D.
4．数列的首项为1,前n项和为,若,（m,）则( )
A.9B.1C.8D.45
5．复数（,i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
6．函数的图象大致为( )
A.B.C.D.
7．能被3整除,且各位数字不重复的三位数的个数为( )
A.228B.210C.240D.238
8．抛物线上有四点A,B,C,D,直线,交于点P,且,.过A,B分别作的切线交于点Q,若,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．平行六面体中,各个表面的直角个数之和可能为( )
A.0B.4C.8D.16
10．已知函数有最小正零点,,若在上单调,则( )
A.B.C.D.
11．如图,三棱台的底面为锐角三角形,点D,H,E分别为棱,,的中点,且,;侧面为垂直于底面的等腰梯形,若该三棱台的体积最大值为,则下列说法可能但不一定正确的是( )
A.该三棱台的体积最小值为B.
C.D.
三、填空题
12．写出函数的一条斜率为正的切线方程：_______________.
13．两个连续随机变量X,Y满足,且,若,则_____________.
14．双曲线的左右焦点分别为,,以实轴为直径作圆O,过圆O上一点E作圆O的切线交双曲线的渐近线于A,B两点（B在第一象限）,若,与一条渐近线垂直,则双曲线的离心率为_____________.
四、解答题
15．数列中,,,且,
（1）求数列的通项公式;
（2）数列的前n项和为,且满足,,求.
16．已知椭圆和的离心率相同,设的右顶点为,的左顶点为,,
（1）证明：;
（2）设直线与的另一个交点为P,直线与的另一个交点为Q,连,求的最大值.
参考公式：
17．空间中有一个平面和两条直线m,n,其中m,n与的交点分别为A,B,,设直线m与n之间的夹角为,
图1 图2
（1）如图1,若直线m,n交于点C,求点C到平面距离的最大值;
（2）如图2,若直线m,n互为异面直线,直线m上一点P和直线n上一点Q满足,且,
（i）证明：直线m,n与平面的夹角之和为定值;
（ii）设,求点P到平面距离的最大值关于d的函数.
18．已知函数,,
（1）若对定义域内任意非零实数,,均有,求a;
（2）记,证明：.
19．欧拉函数在密码学中有重要的应用.设n为正整数,集合,欧拉函数的值等于集合中与n互质的正整数的个数;记表示x除以y的余数（x和y均为正整数）,
（1）求和;
（2）现有三个素数p,q,,,存在正整数d满足;已知对素数a和,均有,证明：若,则;
（3）设n为两个未知素数的乘积,,为另两个更大的已知素数,且;又,,,试用,和n求出x的值.
参考答案
1．答案：C
解析：,,,,
故选：C.
2．答案：B
解析：由,
当且仅当,即时,等号成立,得;
由得,即.
所以.
故选：B.
3．答案：D
解析：因为,即,
所以,,故B,C错误;
又,所以.
故选：D.
4．答案：B
解析：由题意知,数列的首项为1,且,
令,可得,即,
所以数列是首项为1,公差为1的等差数列,
所以,
则,
故选：B.
5．答案：A
解析：
6．答案：A
解析:
7．答案：A
解析：能被3整除的最小三位数是102,最大三位数是999,所以能被3整除的3位数一共有:(个),
因为,,,,
,,,
,,,,
,,,,
,,,,
,,,,
,,,,
,,,,
,,
所以各位数字有重复的三位数有：
111,114,141,411,117,171,711,
222,225,252,522,228,282,822,
333,336,363,633,339,393,933,330,303,300,
444,441,414,144,447,744,474,
555,552,525,255,558,585,855,
666,669,966,696,663,636,366,660,606,600,
777,774,477,747,771,717,177,
888,828,288,882,885,588,858,
999,990,909,996,969,699,993,399,939,900,
所以各位数字有重复的三位数的个数为：(个),
所以各位数字不重复的三位数的个数为：(个).
8．答案：D
解析：
9．答案：ACD
解析：
10．答案：BC
解析：
11．答案：BD
解析：
12．答案：（合理即可）
解析：
13．答案：0.86
解析：由,则,
则.
14．答案：2
解析：
15．答案：（1）
（2）在时,;时,
解析：（1）因为,所以,
所以数列是公差为8的等差数列,其首项为,于是,
则,则
.
（2）由（1）问知,,则,
又,则,两式相乘得,即,因此与同号,
因为,所以当时,,此时,
当n为奇数时,,
n为偶数时,：
当时,,此时,
当n为奇数时,,
n为偶数时,;
综上,在时,;时,.
16．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明：当时,的离心率,时,的离心率;
因为,所以或,得,
又,所以,且;
由题意知,,即,则,,
它们的斜率之积为,因此;
（2）由（1）问知,,
联立与的方程,将y消去得：,
解得,,又在曲线上,则,,
联立与的方程,将y消去得：,
解得,,又在曲线上,则,,
因此的中点,连,因为,即,
所以,记,当最大时,也最大;
可知,
令得,解得,又,则,
令得,因此在处取得最大值,
且最大值为,
因此最大值为.
17．答案：（1）
（2）（i）见解析（ii）
解析：（1）设点C到平面的距离为h,作于点H,可知,
设,,在中,由余弦定理可知：,
由于直线m与n之间的夹角为,且它们交于点C,则,
从而,又,则（时取等）;
因为,所以,
所以点C到平面的距离,其最值为;
（2）（i）证：如图,过点P作直线,由题知直线l与平面必相交于一点,设其为点D,
连接,,则P,Q,D,B共面,又且,于是,
又,则四边形为平行四边形,则,
因为且,所以且,所以,
又,所以平面,
作于H,则,又,则,
设,则P到平面的距离也为h,且直线m,n与平面的夹角分别为和;
由于直线m与n之间的夹角为,则直线m与l之间的夹角也为,
则,于是,
即直线m,n与平面的夹角之和为定值;
（ii）因为平面,所以,
中,,则,
又,由（1）问同法算得,
即点P到平面距离h的最大值为.
18．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）的定义域为,且;
,因此;
i.时,,则此时令有,令有,
则在上单调递增,上单调递减,又,
于是,此时令,有,不符合题意;
ii.时,有零点0和,
若,即,此时令有,在上单调递减,
又,则,令,,有,不符合题意;
若,即,此时令有,在上单调递减,
又,则,令,有,不符合题意;
若,即,此时,在上单调递增,又,
则时,时;则时,也即对,,
综上,.
（2）证：由（1）问的结论可知,时,;
且时,;
则时,,令,有,
即,
于是
……
将上述n个式子相加,;
欲证,只需证,只需证;
因为,
所以,得证：
于是得证.
19．答案：（1）8
（2）见解析
（3）见解析
解析：（1）中,与6互质的数有1和5,则;
中,与15互质的数有1、2、4、7、8、11、13和14,则;
（2）证明：因为,p和q为素数,则对,仅当或时,x和n不互质,
又,则,,…,或,,…时,x与n不互质,
则,
设,,可知s,t不全为0,下证时,;
由题知,,
又,
所以,同理有;
于是记,,
即,同理,记,于是,
则,因为,所以,所以,
即;
i.时,记,则,
记,又,而,则,
即,即;
ii.若,不妨设,于是,
所以,又,,
所以;
综上,,得证：
（3）因为,所以,则,则,
假设存在,,使得;记,,
令,那么,且,于是,使,则,
从而数列有且仅有项,
考虑使成立,
则对于相邻项有,
将两式相加并整理得：,
令,得,又由于,,…,及均由和确定,
则数列的各项也可根据n和确定,
由上知,,
则,
即,其中是根据n和唯一确定的.