上海市复旦大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学（A卷）试题（Word版附解析）

这是一份上海市复旦大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学（A卷）试题（Word版附解析），共27页。试卷主要包含了填空题，解答题本大题共有5题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1. 函数最小正周期为________.
2. 若，则点在第__________象限．
3. 已知平面上两点的坐标分别是为直线上一点，且，则点的坐标为__________.
4. 若，则________．
5. 若为第二象限角，，则______．
6. 已知平面向量与的夹角为，若，，则在上的投影向量的坐标为______.
7. 在中，是方程的两个根，则______．
8. 已知，其中，满足以下三个条件：（1）函数的最小正周期为；（2）函数的图象关为直线对称；（3）函数在上是严格减函数.则函数的表达式为__________.
9. 窗花足贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图中所示的窗花轮廓可以看作是一个正八边形.已知该正八边形的边长为10，点在其边上运动，则的取值范围是__________.
10. 已知，其中.若函数在区间上有且只有一个最大值点和一个最小值点，则的取值范围为__________.
11. 设若函数在区间内恰有7个零点，则的取值范围是__________.
12. 若均为单位向量，下列结论中正确的是_______（填写你认为所有正确结论的序号）
（1）若且，且，则的取值范围为；
（2）若且，且，则取值范围为；
（3）若且对任意实数恒成立，则的最小值为；
（4）若且对任意实数恒成立，则的最小值为.
二、选择题（本大题满分18分）本大题共4题，第题每题4分，第题每题5分
13. 下列说法错误的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若与是非零向量且，则与的方向相同或者相反
D. 若，都是单位向量，则
14. 在中，角，，所对的边分别为，，，其中，，若满足条件的三角形有且只有两个，则角的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
15. 设是正整数，集合．当时，集合元素的个数为（ ）
A. 1012B. 1013C. 2023D. 2024
16. 对于实数，用表示不超过的最大整数，例如.已知，，则下列3个命题4，真命题的个数为（ ）
（1）函数是周期函数；（2）函数的图象关于直线对称；（3）方程有2个实数根.
A. 0B. 1C. 2D. 3
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题
17. 已知，，.
（1）若与垂直，求实数的值；
（2）若与方向相反，求实数值.
18. 已知向量．设．
（1）求函数的表达式，并写出该函数图象对称轴的方程；
（2）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，直接写出函数的表达式；
（3）求关于的方程在区间上的解集．
19. 简车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，假定在水流挺稳定的情况下，一个半径为5米的简车开启后按逆时针方向做匀速圆周运动，每分钟转1圈，筒车的轴心距离水面的高度为米．设筒车上的桨个盛水简到水面的距离为（单位：米）（在水面下则为负数）．若以盛水简刚浮出水面时开始计算时间，则与时少（单位：秒）之少的关系为，其中．
（1）求的值；
（2）当时，判断盛水筒的运动状态（处于向上运动状态、处于向下的运动状态、处于先向上后向下运动状态、处于先向下后向上运动状态），并说明理由．
20. 如图所示，已知，与的夹角为，点是的外接圆优孤上的一个动点（含端点），记与的夹角为，并设，其中为实数．
（1）求外接圆的直径；
（2）试将表示为的函数，并指出该函数的定义域；
（3）求为直径时，值．
21. 对于定义域为R的函数，若存在常数，使得是以为周期的周期函数，则称为“正弦周期函数”，且称为其“正弦周期”.
（1）判断函数是否为“正弦周期函数”，并说明理由；
（2）已知是定义在R上严格增函数，值域为R，且是以为“正弦周期”的“正弦周期函数”，若，且存在，使得，求的值；
（3）已知是以为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且存在和，使得对任意，都有，证明：是周期函数.复旦附中2023学年第二学期高一年级数学期中A卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1. 函数的最小正周期为________.
【答案】
【解析】
【分析】利用图像及三角函数最小正周期的知识求解即可.
【详解】图像如图所示，
由图像可知的最小正周期为，
故答案为：
2. 若，则点在第__________象限．
【答案】二
【解析】
【分析】由的范围确定正负，即可判断点所在象限.
【详解】,
,
点在第二象限.
故答案为：二.
【点睛】本题考查根据角的范围判断三角函数正负，属于基础题.
3. 已知平面上两点的坐标分别是为直线上一点，且，则点的坐标为__________.
【答案】
【解析】
【分析】设，再根据向量的坐标公式与求解即可.
【详解】设，由，即，可得，
即，解得，即.
故答案为：
4. 若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件可判定是边长为2的正三角形，再由向量加法的几何意义可解.
【详解】因为，则，
所以是边长为2的正三角形，
所以为△ABC的边BC上的中线长的2倍，
所以．
故答案为：.
5. 若为第二象限角，，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用二倍角的余弦公式得到关于的方程，解得即可.
【详解】，，解得或
为第二象限角，.
故答案为：
6. 已知平面向量与的夹角为，若，，则在上的投影向量的坐标为______.
【答案】
【解析】
【分析】直接利用向量在向量上的投影向量的定义求解.
【详解】向量在向量上的投影向量是.
故答案为：.
7. 在中，是方程的两个根，则______．
【答案】1
【解析】
【分析】利用韦达定理、诱导公式及和角的正切计算即得.
【详解】方程中，，则，
在中，.
故答案为：1
8. 已知，其中，满足以下三个条件：（1）函数的最小正周期为；（2）函数的图象关为直线对称；（3）函数在上是严格减函数.则函数的表达式为__________.
【答案】
【解析】
【分析】对于①：根据周期性可得；对于②：根据对称性可得或；对于③：结合正弦函数单调性分析求解.
【详解】对于①：因为，由题意可得：，则；
对于②：可得，解得，
且，可得或，则或；
对于③：因为，则，
且在内单调递增，可知在内单调递增，
可知不合题意，符合题意；
综上所述：.
故答案为：.
9. 窗花足贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图中所示的窗花轮廓可以看作是一个正八边形.已知该正八边形的边长为10，点在其边上运动，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】作出图形，由图可得点在上运动，取的最大值，当在上运动，取的最小值，求得相应最值即可.
【详解】分别过，作的垂线，垂足为，，且，，
因为点在正八边形上运动，所以在上的投影向量的起点为，终点在线段上移动，
则当点在上运动，取的最大值，为，
则当点在上运动，取的最小值，为，
所以的取值范围是
故答案为：
10. 已知，其中.若函数在区间上有且只有一个最大值点和一个最小值点，则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据在区间上有且只有一个最大值点和一个最小值点，可得，求解即可．
【详解】，由，得，
若函数在区间上有且只有一个最大值点和一个最小值点，
则只需，解得．
故答案为：
11. 设若函数在区间内恰有7个零点，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】先根据三角函数图象变换判断当时不成立，再分析当时，函数的零点个数分别为0，1，2时，根据三角函数的图象变换，讨论的零点个数即可.
【详解】由题意，当时，在内无零点，又不可能有7个零点，故当时不满足题意；
由基本不等式，
当且仅当，即时取等号，最小值为.
①当时，即时，无零点，则当时，
有7个零点，此时，
即，故零点分别为时取得.
故，解得；
②当，即时，有一个零点.
此时有6个零点，即，
即，故零点分别为时取得.
此时，解得.
又满足，故满足条件题意；
③当，即时，由对勾函数的性质可得在上有1个零点，又，则
1.当，即时，在上有1个零点，
故有2个零点，
此时有5个零点，即，
即，故零点分别为时取得.
此时，解得，综上有
2.当，即时，在上无零点，
故有1个零点，
此时有6个零点，即，不满足；
综上有或或.
故答案为：
12. 若均为单位向量，下列结论中正确的是_______（填写你认为所有正确结论的序号）
（1）若且，且，则的取值范围为；
（2）若且，且，则的取值范围为；
（3）若且对任意实数恒成立，则的最小值为；
（4）若且对任意实数恒成立，则最小值为.
【答案】（1）（2）（3）（4）
【解析】
【分析】（1）利用向量关系作出几何图形，可知，从而利用数形结合求得；
（2）与（1）比较仅改变了，同理利用数形结合去求出；
（3）要利用模的平方等于向量的平方进行计算，从而转到到一元二次不等式恒成立，即可以求出，并求出与夹角为，从而确定两向量的位置关系，再分析,即可求得最小值;
（4）关键是作出图形后，利用转化为几何关系求最小值.
【详解】
由且均为单位向量，作图：，
因为，即，所以点在以为直径的圆上或内部，
又因为，所以点又在点为圆心的单位圆上，即点在圆的劣弧上，
又由，所以由图可得，故（1）正确；
由于与（1）不同，假设点为圆心半径为圆与以为直径的圆相交于点，则点在圆的劣弧上，由图可知以为直径的圆也是以为直径的圆，所以，由，可得，
所以由图可得，故（2）正确；
由平方得：，
又因为，所以得：，
上式是关于的一元二次不等式，由于对任意实数恒成立，
所以，
即，所以，由，可得，
又因为，所以，此时均为单位向量，如图：
由，可知 ，
而因为点是单位圆上的动点，所以，
此时由，可得：，
所以，故(3)正确；
由，作一个同心圆且半径为，分别交于点则，
由于三角形是等腰三角形，分别为的中点，可得，
所以，而，所以，故（4）正确；
故答案为：（1），（2），（3），（4）.
【点睛】方法点睛：关键把定向量转化为定点，把动向量转化为动点，最后研究向量的模转化为动点到定点的距离问题，再利用几何中的不等式关系就可以得到结果.
二、选择题（本大题满分18分）本大题共4题，第题每题4分，第题每题5分
13. 下列说法错误的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若与是非零向量且，则与的方向相同或者相反
D. 若，都是单位向量，则
【答案】A
【解析】
【分析】举特例否定选项A；由向量相等定义判断选项B；由向量平行定义判断选项C；由单位向量定义判断选项D.
【详解】A.若，满足，，
但是不满足，所以该选项错误；
B．由向量相等定义可知，若，，则，所以该选项正确；
C． 若与是非零向量且，
则与的方向相同或者相反，所以该选项正确；
D． 若，都是单位向量，则，所以该选项正确．
故选：A
14. 在中，角，，所对的边分别为，，，其中，，若满足条件的三角形有且只有两个，则角的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】法一：由余弦定理，即有两个不相等的正根，则，即可求出的范围，再求出角的范围.
法二：根据正弦定理得到，即可求出的取值范围，再结合、的关系求出的范围.
【详解】法一：因为，，要使三角形有且只有两个，即会出现两个符合题意的值，
由余弦定理，即，
依题意可得关于的方程有两个不相等的正根，
则，解得，
又，解得，
综上可得.
法二：由正弦定理，所以，
所以，则，
由且，所以，
所以由，解得，
综上可得.
故选：A
15. 设是正整数，集合．当时，集合元素的个数为（ ）
A. 1012B. 1013C. 2023D. 2024
【答案】B
【解析】
【分析】分析得当且时，恰好取到半个周期的值，即1013个不同的值．
【详解】，
当且时，恰好取到半个周期内的值，且单调递减，
所以在半个周期内有个不同的值，
再根据对称性得在1个周期内有个不同的值，
由集合中元素的互异性得，集合中的元素个数为，
故选：B．
16. 对于实数，用表示不超过的最大整数，例如.已知，，则下列3个命题4，真命题的个数为（ ）
（1）函数是周期函数；（2）函数的图象关于直线对称；（3）方程有2个实数根.
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得、均为偶函数，作出两函数的图象，可判断（1），（2）；分，，且及或，求解（3）．
【详解】函数的定义域为，
因为，
所以为偶函数，
当时，，
当时，，
当时，，
因为为偶函数，所以函数的图像如下图所示：
因为，
所以为偶函数，
由可知，在,内，
当，时，，
当，且，时，，
当或，时，，
则函数的图像如下图所示：
显然不是周期函数，故（1）错误；
的图像不关于直线对称，故（2）错误；
因为当， 时，，
所以；
不存在，使，故无解；
当，且，时，，
所以；
如图所示，
此时有一个解；
当或，时，，
所以；
综上，方程有2个实数根，故（3）正确．
故选：B．
【点睛】方法点睛：求函数零点个数的常用方法：
(1) 直接法： 令则方程实根的个数就是函数零点的个；
(2) 零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；(3) 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题.
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题
17. 已知，，.
（1）若与垂直，求实数的值；
（2）若与方向相反，求实数的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先求出，依题意可得，根据数量积的运算计算可得；
（2）首先判断与不共线，依题意，根据平面向量基本定理得到方程，解得即可.
【小问1详解】
因，，，
所以，即，所以，
又与垂直，所以，即，
即，解得.
【小问2详解】
因为，且，所以，
所以与不共线，
又与方向相反，则，
即，解得（舍去）或，
所以.
18. 已知向量．设．
（1）求函数的表达式，并写出该函数图象对称轴的方程；
（2）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，直接写出函数的表达式；
（3）求关于的方程在区间上的解集．
【答案】（1）；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由平面向量数量积的坐标运算公式，降幂公式及辅助角公式求得，再用整体法求出对称轴方程；
（2）由代入计算即可；
（3）由得，结合求解即可．
【小问1详解】
，
令，得对称轴为直线．
【小问2详解】
．
【小问3详解】
由得，由于，
所以或，故所求解集为．
另解：由得或，
解得或，
又，所以或，所求解集为．
19. 简车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，假定在水流挺稳定的情况下，一个半径为5米的简车开启后按逆时针方向做匀速圆周运动，每分钟转1圈，筒车的轴心距离水面的高度为米．设筒车上的桨个盛水简到水面的距离为（单位：米）（在水面下则为负数）．若以盛水简刚浮出水面时开始计算时间，则与时少（单位：秒）之少的关系为，其中．
（1）求的值；
（2）当时，判断盛水筒的运动状态（处于向上运动状态、处于向下的运动状态、处于先向上后向下运动状态、处于先向下后向上运动状态），并说明理由．
【答案】（1），，，
（2）处于向下的运动状态，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由圆的半径、周期性以及锐角三角函数即可求解；
（2）结合（1）可得，，从而根据的取值范围可得的取值范围，即可判断单调性，进而即可得到盛水筒P的运动状态．
【小问1详解】
如图，设筒车与水面的交点为，，连接，
过点作于点，过点分别作于点，于点，
则，，
因为筒车转一周需要1分钟，所以，故，
在中，，
所以，即．
【小问2详解】
盛水筒处于向下运动的状态，
结合（1）可得，，
则当时，，此时单调递减，
所以盛水筒处于向下运动的状态．
20. 如图所示，已知，与的夹角为，点是的外接圆优孤上的一个动点（含端点），记与的夹角为，并设，其中为实数．
（1）求外接圆的直径；
（2）试将表示为的函数，并指出该函数的定义域；
（3）求为直径时，的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）在中，由余弦定理得，再由正弦定理即可求出外接圆直径；
（2）由正弦定理及同角三角函数的平方关系得，结合两角和的正弦公式得出，由正弦定理即可得出；
（3）法一：由正弦定理及同角三角函数的平方关系得出，结合由向量的共线定理即可求解；法二：连接，由， ，列出方程求解即可．
【小问1详解】
在中，由余弦定理得，，解得，
由正弦定理得，，
所以外接圆的直径为．
【小问2详解】
连接，由意可知，，
在中，由正弦定理，则，
又，则，
于是
，
由正弦定理得，，
所以．
【小问3详解】
法一：设与交于点，当为直径时，，
此时，
又由正弦定理可得，
于是，
因此由正弦定理得，
而由向量的共线定理可得存在，使得，且，
故，
法二：连接，由题可知，，
由于此时， ，即，
同理，由得，，即，
解得，因此．
21. 对于定义域为R的函数，若存在常数，使得是以为周期的周期函数，则称为“正弦周期函数”，且称为其“正弦周期”.
（1）判断函数是否为“正弦周期函数”，并说明理由；
（2）已知是定义在R上的严格增函数，值域为R，且是以为“正弦周期”的“正弦周期函数”，若，且存在，使得，求的值；
（3）已知是以为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且存在和，使得对任意，都有，证明：是周期函数.
【答案】（1）是，理由见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题意得到，即可判断为“正弦周期函数”；
（2）由题意条件得到，故，，由函数单调性得到不等式，求出，再证明不合要求，从而得到，并求出；
（3）法1：，满足要求，若，则对任意，存在正整数，使得且，得到，，若，同理可证明，得到结论；
法2：反证法，假设不是周期函数，则与均不恒成立，存在，使得，再利用题目条件推出，故假设不成立，证明出结论.
【小问1详解】
，则，
故，
所以是正弦周期函数.
【小问2详解】
存在，使得，故，
因为是以为“正弦周期”的“正弦周期函数”，
所以，
又，，
所以，
又，
则，
故，，
因为，所以，且严格增，
由于，，
故，解得，
则整数，
下证.
若不然，，则，由的值域为R知，
存在，，使得，，
则，
，
由严格单调递增可知，
又，
故，这与矛盾.
故，综上所述，；
【小问3详解】
法1：若，则由可知为周期函数.
若，则对任意，存在正整数，使得且.
因为是以为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且，
所以，
故，所以，
若，则同理可证（取负整数即可）.
综上，得证.
法2：假设不周期函数，则与均不恒成立.
显然.
因为不恒成立，所以存在，使得，
因为，所以存在，使得且，
其中若，取为负整数；若，取为正整数.
因为是以为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且，
由正弦周期性得，
即，
所以，矛盾，假设不成立，
综上，是周期函数.
【点睛】函数新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.