云南省玉溪第一中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份云南省玉溪第一中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题（Word版附解析），共23页。

1．答题前，考生务必将自己的姓名､考场号､座位号填写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分
一､选择题：（58分）
（一）单选题（本题共8小题，每题5分，共40分）
1 已知全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. “”是“直线与直线互相垂直”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 充要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
3. 设F为抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为的重心，则的值为（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
4. 若，，则的最大值为（ ）
A. 3B. 5C. D.
5. 函数在的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在三棱锥中，两两垂直，且，点分别是棱的中点，点是棱靠近点的三等分点，则空间几何体的体积为（ ）

A. B. C. D.
7. 数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.记该数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知是椭圆的左､右焦点，经过的直线与椭圆相交于两点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
（二）多选题（本题共3小题，每小题6分，全部选对得6分，有选错得0分，部分选对得部分分，共18分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 对于单峰的频率分布直方图，单峰不对称且在右边“拖尾”，则平均数大于中位数
B. 回归分析中，线性相关系数的取值范围为
C. 回归分析中，决定系数越大，拟合效果越好
D. 在独立性检验中，当（为的临界值）时，推断零假设不成立
10. 假设某市场供应的职能手机中，市场占有率和优质率的信息如下
在该市场中任意买一部手机，用，，分别表示买到的智能手机为甲品牌､乙品牌，其他品牌，表示可买到的优质品，则（ ）
A. B. C. D.
11. 已知函数定义域为，其导函数为的导函数为，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 若无解，则
C. 若有一个解，则D. 若有两个解，则
二､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知函数为奇函数，且最大值为1，则函数最大值和最小值的和为__________.
13. 若的展开式中项的系数是8，则实数的值为__________．
14. 在中，角所对的边分别为，若成等差数列，则__________．
三､解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15. 已知等比数列的前项和为，且数列是公比为2的等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）若，数列的前n项和为，求证：.
16. 大气污染物的浓度超过一定的限度会影响人的健康，为了研究的浓度是否受到汽车流量的影响，某校数学建模社团选择了某市8个监测点，统计每个监测点内过往的汽车流量(单位：千辆)，同时在低空相同的高度测定每个监测点该时间段内的的平均浓度(单位：)，得到的数据如下表所示：
并计算得：．
（1）求变量y关于的线性回归方程；
（2）根据内浓度确定空气质量的等级标准，则浓度在为优良．建模社团计划从8个监测点中随机抽3个监测点再做一次数据统计，记抽到空气质量优良的监测点个数为，求的分布列与期望．
参考公式：线性回归方程为，其中以．
17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面，，点分别在线段和的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角．
18. 已知椭圆C∶()的左，右焦点分别为，，离心率为，M为C上一点，面积的最大值为.
（1）求C的标准方程；
（2）已知点，O为坐标原点，不与x轴垂直且不过的直线l与C交于A，B两点，且.试问∶的面积是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，说明理由.
19. 函数，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.
品牌
甲
乙
其他
市场占有率
优质率
监测点编号
1
2
3
4
5
6
7
8
千辆)
1.300
1444
0.786
1.652
1.756
1754
1.200
0.908
66
76
21
170
156
120
72
129
玉溪一中2023—2024学年下学期高二年级进阶测试
数学（特长级部）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名､考场号､座位号填写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分
一､选择题：（58分）
（一）单选题（本题共8小题，每题5分，共40分）
1. 已知全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据补集的概念求得，再结合交集运算可得答案.
【详解】由题意得，所以，
故选：A.
2. “”是“直线与直线互相垂直”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 充要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合两直线垂直的性质分析判断.
【详解】∵直线与直线互相垂直
∴，∴或，
而“”是“或”的充分不必要条件
∴“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，
故选：A.
3. 设F为抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为的重心，则的值为（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】由三角形重心坐标公式可得，再由抛物线的定义计算出长度即可.
【详解】由题意可知，点的坐标为，
设点，，的坐标分别为，，，
又为的重心，则，即，
由抛物线方程可得，
所以由抛物线的定义可知，
故选：D.
4. 若，，则的最大值为（ ）
A. 3B. 5C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】（法一）设与夹角为．因为，对其两边同时平方结合三角函数的性质即可得出答案；（法二）因为，如图设，，由知点B在以A为圆心1为半径的圆上，结合图形即可得出答案.
【详解】（法一）设与夹角为．因为，
得
，
当时，最大值9，的最大值3，故选：A．
（法二）因为，如图设，，
由知点B在以A为圆心1为半径的圆上，
当点B与O、A在一条直线，位于图中位置时，的最大值3.
故选：A.
5. 函数在图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件可得在上的图象关于原点对称，从而可得选项A和C错误，再利用时，，即可求出结果.
【详解】因为，所以，
从而时，图象关于原点对称，所以选项A和C错误，
又时，，，所以时，，所以选项B错误，选项D正确，
故选：D.
6. 如图，在三棱锥中，两两垂直，且，点分别是棱的中点，点是棱靠近点的三等分点，则空间几何体的体积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点作，交于点，借助线面处置的判定定理及性质定理，结合题意可得 、，作差即可得.
【详解】过点作，交于点，

因为平面，所以平面，
又，所以平面，且，可得，
因为分别为的中点，则，
所以，
，
因此.
故选：D
7. 数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.记该数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据递推关系采用叠加法即可.
【详解】根据题意，，，，，…，
，，
则，，…，，，
将上述各式两边相加得，，
所以.
故选：B．
8. 已知是椭圆的左､右焦点，经过的直线与椭圆相交于两点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据椭圆定义求出，根据边长确定，进而求出，即可求解椭圆离心率.
【详解】
由题意结合椭圆定义可知：周长为，，
又因为，
所以，又由，知，
故，因此椭圆的离心率为.
故选：A
（二）多选题（本题共3小题，每小题6分，全部选对得6分，有选错得0分，部分选对得部分分，共18分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 对于单峰的频率分布直方图，单峰不对称且在右边“拖尾”，则平均数大于中位数
B. 回归分析中，线性相关系数的取值范围为
C. 回归分析中，决定系数越大，拟合效果越好
D. 在独立性检验中，当（为的临界值）时，推断零假设不成立
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据频率分布直方图数据分布判断A，根据回归分析线性相关系数范围判断B，根据回归分析决定系数的定义判断C，根据独立性检验判断D.
【详解】根据频率分布直方图可得，单峰不对称且在右边“拖尾”，则平均数变大，
中位数变小，故平均数大于中位数，A正确；
回归分析中，线性相关系数的取值范围为，故B错误；
回归分析中，决定系数越大，拟合效果越好，故C正确；
在独立性检验中，当（为的临界值）时，推断零假设不成立，故D正确.
故选：ACD
10. 假设某市场供应的职能手机中，市场占有率和优质率的信息如下
在该市场中任意买一部手机，用，，分别表示买到的智能手机为甲品牌､乙品牌，其他品牌，表示可买到的优质品，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据条件概率公式及相互独立事件的概率公式计算可得；
【详解】解：依题意可得，，，，因为，所以，，故正确的有ABD；
故选：ABD
11. 已知函数的定义域为，其导函数为的导函数为，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 若无解，则
C. 若有一个解，则D. 若有两个解，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据可求出的表达式，连续求导两次后，代入即可判断A；利用A中所求函数表达式进行求导，求出其单调区间和极值，再结合图象可判断B,C；根据构造新函数，并用表示单调性和的范围，再次构造新函数求导，利用单调性判断出，即可判断D.
【详解】由，可得，即，
所以为常数．
又因为，所以，
则，所以正确；
因为
当且时，，当时，,
所以单调增区间为，单调减区间为，
的极小值为，
若无解，则，所以B正确；
若有一个解，则或，所以C错误；
令，则，由B中分析可得,
此时均为正根，且当时，，当时，,
可知在上为减函数，在上为增函数，
，
因为有两个解，
所以所以，所以，
构造函数，其中，
在上为增函数，
所以，
所以为增区间，所以，即，D正确.
故选：ACD．
【点睛】关键点点睛：本题主要考查导数单调性的综合应用，关键在于通过已知条件求出函数，并通过各选项中的关系式来构造所需新函数，求导求出其单调性，并利用单调性来判断大小关系.
二､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知函数为奇函数，且最大值为1，则函数的最大值和最小值的和为__________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据奇函数的性质求解即可.
【详解】奇函数如果存在最值，则最大值和最小值之和为0，
所以函数最大值和最小值之和为0，
则函数的最大值和最小值之和为2.
故答案为：2.
13. 若的展开式中项的系数是8，则实数的值为__________．
【答案】或
【解析】
【分析】首先将两项相乘的式子展开，再分别求项的系数，即可求解.
【详解】，
中项的系数是，
中项的系数是，
所以的展开式中项的系数是，
解得：或.
故答案为：或
14. 在中，角所对的边分别为，若成等差数列，则__________．
【答案】##0.8
【解析】
【分析】依题意可得，再利用余弦定理表示出，，代入计算即可.
【详解】因为成等差数列，则，
又由余弦定理可得：
，
.
则；
故答案为：.
三､解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15. 已知等比数列的前项和为，且数列是公比为2的等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）若，数列的前n项和为，求证：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先求出数列的通项，再根据与的关系结合是等比数列，即可得解；
（2）利用裂项相消法求解即可.
【小问1详解】
因为数列是公比为2的等比数列，
又，所以.
当时，由，得，
两式相减得，
又是等比数列，所以，所以，解得，
所以，当时上式成立，
所以；
【小问2详解】
由（1）知，
所以
，
又，所以.
16. 大气污染物的浓度超过一定的限度会影响人的健康，为了研究的浓度是否受到汽车流量的影响，某校数学建模社团选择了某市8个监测点，统计每个监测点内过往的汽车流量(单位：千辆)，同时在低空相同的高度测定每个监测点该时间段内的的平均浓度(单位：)，得到的数据如下表所示：
并计算得：．
（1）求变量y关于的线性回归方程；
（2）根据内浓度确定空气质量的等级标准，则浓度在为优良．建模社团计划从8个监测点中随机抽3个监测点再做一次数据统计，记抽到空气质量优良的监测点个数为，求的分布列与期望．
参考公式：线性回归方程为，其中以．
【答案】（1）
（2）分布列见解析；期望为
【解析】
【分析】（1）根据公式，求线性回归方程；
（2）求出的取值和对应的概率可得分布列，再根据公式求期望.
【小问1详解】
因为，
所以，
，
所以关于的线性回归方程为；
【小问2详解】
因为1，3，7三个监测点的空气质量为优良，
所以，
的分布列：
所以．
17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面，，点分别在线段和的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角．
【答案】（1）解析见详解
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据底面为直角梯形，，，点是线段的中点，证出，再根据直线与平面垂直的定义及判定定理，即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，先求出平面与平面的法向量，即可求解.
【小问1详解】
因为底面为直角梯形，，
所以，
因为，点是线段的中点，
所以，又因为，
所以四边形为平行四边形，
又因为，
所以平行四边形矩形，
所以，
因为平面，且平面，
所以，
因为，平面，
所以平面，且平面，
所以，
因为，且点是线段的中点，
所以 ，
又因为，平面，
所以平面，
【小问2详解】
因为平面，且，
所以直线两两垂直，
以为原点，分别以直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
由得，
，，，，，，
由（1）知平面，
所以为平面的一个法向量，
，
设平面一个法向量为，
因为，，
所以，取得，
所以，
所以，
设平面与平面夹角的为，则，
因为，所以，
即平面与平面夹角为.
18. 已知椭圆C∶()的左，右焦点分别为，，离心率为，M为C上一点，面积的最大值为.
（1）求C的标准方程；
（2）已知点，O为坐标原点，不与x轴垂直且不过的直线l与C交于A，B两点，且.试问∶的面积是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，最大值为6.
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的离心率公式、椭圆的性质、椭圆中的关系进行求解即可；
（2）通过直线斜率与倾斜角之间的关系，由可以得到，这样利用直线方程与椭圆方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合斜率公式、换元法、基本不等式进行求解即可.
【详解】（1）设椭圆C的半焦距为c，
由题，面积最大值为，则，解得
所以椭圆方程为.
（2）设直线的方程为，，，
将代入，得，
，由得，
，，
由，得，即，，
整理得，
即，
所以，，
所以直线l：经过，且恒成立，
，
，
令，则，
所以，
当且仅当时取等号，即，时，的面积取最大值为6.
【点睛】关键点睛：由得到这是一个关键点，另外通过变形运用基本不等式也是关键点之一.
19. 函数，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）求出函数的定义域为，求得，分、、三种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间；
（2）构造函数，由题意可知恒成立，对实数分和两种情况讨论，利用导数分析函数在区间上的单调性，验证是否成立，由此可得出实数的取值范围.
【详解】（1）函数的定义域为，.
（i）当时，，函数在上单调递增；
（ii）当时，令得.
若，则；若，则.
①当时，，函数在上单调递增；
②当时，，
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；
综上，可得，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
（2）设，，则.
当时，单调递增，则.
所以，函数在上单调递增，且.
当时，，
于是，函数在上单调递增，恒成立，符合题意；
当时，由于，，，
所以，存在，使得.
当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.
故，不符合题意，
综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，考查分类讨论思想的应用，属于难题.品牌
甲
乙
其他
市场占有率
优质率
监测点编号
1
2
3
4
5
6
7
8
千辆)
1.300
1.444
0.786
1.652
1.756
1.754
1.200
0.908
66
76
21
170
156
120
72
129
0
1
2
3