北师大版高考第一轮理科数学(适用于老高考旧教材)单元质检卷七　不等式、推理与证明

这是一份北师大版高考第一轮理科数学(适用于老高考旧教材)单元质检卷七　不等式、推理与证明，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题:本题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.
1.下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )
A.大前提:无限不循环小数是无理数,小前提:π是无理数,结论:π是无限不循环小数
B.大前提:无限不循环小数是无理数,小前提:π是无限不循环小数,结论:π是无理数
C.大前提:π是无限不循环小数,小前提:无限不循环小数是无理数,结论:π是无理数
D.大前提:π是无限不循环小数,小前提:π是无理数,结论:无限不循环小数是无理数
答案:B
解析:A中小前提不是大前提的特殊情况,不符合三段论的推理形式,故A错误;C,D都不是由一般性的原理出发推出某个特殊情况下的结论,所以C,D都不正确;只有B符合演绎推理三段论形式且推理正确.
2.(2021广西柳州一模)已知x,y满足约束条件x+y-2≥0,x-y-2≤0,y≤2,则z=2x+y的最小值为( )
A.2B.4C.6D.10
答案:A
解析:不等式组表示的可行域如图所示,
由z=2x+y得y=-2x+z,作出直线y=-2x,
平移直线y=-2x,当直线过点C时,直线在y轴上的截距最小,此时z取最小值,
由y=2,x+y-2=0,得x=0,y=2,即C(0,2),
所以z=2x+y的最小值为2×0+2=2.
3.(2021宁夏中卫模拟)若x,y∈R,2x+2y=1,则x+y的取值范围是( )
A.(-∞,-2]B.(0,1)
C.(-∞,0]D.(1,+∞)
答案:A
解析:因为1=2x+2y≥22x·2y=22x+y,
所以2x+y≤14,即x+y≤-2,当且仅当2x=2y=12,即x=y=-1时取等号,
所以x+y的取值范围是(-∞,-2].
4.(2021内蒙古赤峰适应性考试)中国有句名言“运筹帷幄之中,决胜千里之外”,其中的“筹”取意于《孙子算经》中记载的算筹,古代用算筹来进行计算.算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算,算筹的摆放形式有纵、横两种形式(如图所示),表示一个多位数时,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式要纵横相间,个位、百位、万位数用纵式表示,十位、千位、十万位数用横式表示,依此类推.例如:7239用算筹表示就是,则6728用算筹可表示为( )
答案:D
解析:由题意各位数码的筹式需要纵横相间,6 728用算筹可表示为.
5.(2021广西防城港模拟)观察下列各式:55=3 125,56=15 625,57=78 125,58=390 625,59=1 953 125,510=9 765 625,…,则52 021的末四位数字为( )
A.0 625B.3 125C.5 625D.8 125
答案:B
解析:由题意可得5n(n≥5,n∈N+)的末四位数字的周期为4,所以52 021=5504×4+5,所以52 021的末四位数字为3 125.
6.(2021江西靖安中学高三月考)用数学归纳法证明“1+12+13+…+12n-10,y>0,且2x+1y=1,若x+2y≥m2+2m恒成立,则实数m的最小值是( )
A.2B.-4C.4D.-2
答案:B
解析:∵x>0,y>0,且2x+1y=1,∴x+2y=(x+2y)2x+1y=4+4yx+xy≥4+24yx·xy=8,
当且仅当4yx=xy,即x=4,y=2时取等号,
∵x+2y≥m2+2m恒成立,∴(x+2y)min≥m2+2m,即8≥m2+2m,解不等式可得-4≤m≤2,故实数m的最小值为-4.
9.(2021山东聊城一中高三月考)某大学进行强基计划招生时,需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试.学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示:
则下面判断中不正确的是( )
A.甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前
B.乙同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前
C.甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中,甲同学更靠前
D.甲、乙、丙三位同学的阅读表达成绩排名中,丙同学更靠前
答案:D
解析:对于A,甲同学的逻辑思维成绩排名比较靠前,但是总排名比较靠后,说明甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前,故A正确.
对于B,乙同学的总排名比较靠前,但是他的逻辑思维成绩排名比较靠后,说明他的阅读表达成绩排名比逻辑思维成绩排名更靠前,故B正确.
对于C,甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名顺序是甲、丙、乙,故甲同学最靠前,故C正确.
对于D,丙同学的阅读表达成绩排名居中,但是甲、乙同学的阅读表达成绩排名不能具体确定,所以D错误.
10.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据市场预测.甲、乙两个项目的可能最大盈利率分别为30%和20%,可能最大亏损率分别为50%和20%.该投资人计划利用不超过300万元的资金投资甲、乙这两个项目,在总投资风险不超过30%的情况下,该投资人可能获得的最大盈利为( )
A.40万元B.50万元
C.60万元D.70万元
答案:D
解析:设投资甲、乙项目分别x,y万元,
由题意有x+y≤300,0.5x+0.2y≤90,x≥0,y≥0,且最大盈利为30%x+20%y,
∴该投资人可能获得的最大盈利,即为以上不等式为约束条件下,求目标式z=30%x+20%y=0.3x+0.2y的最大值.
∴由上图知,当直线z=0.3x+0.2y过直线x+y=300与0.5x+0.2y=90的交点(100,200)时有最大值,
∴zmax=0.3×100+0.2×200=70(万元).
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
11.根据事实1=12;1+3=22;1+3+5=32;1+3+5+7=42;….写出一个含有量词的全称命题: .
答案:任意n∈N+,1+3+5+…+(2n-1)=n2
解析:∵1=12,1+(2×2-1)=22,1+3+(2×3-1)=32,1+3+5+(2×4-1)=42,
由此可归纳得出:任意n∈N+,1+3+5+…+(2n-1)=n2.
12.(2021云南曲靖质量检测)若实数x,y满足约束条件x-2y+1≥0,x+2y+1≥0,x-1≤0,则z=ax+by(a>b>0)取最大值4时,4a+1b的最小值为 .
答案:94
解析:由约束条件可得可行域如图阴影部分所示:
当z=ax+by(a>b>0)最大时,直线y=-abx+zb在y轴截距最大,
∵a>b>0,∴-ab0,b>0,且a+b=1,则a2+b2的最小值等于 ,a+b的最大值等于 .
答案:12 2
解析:∵a>0,b>0,a+b=1,∴ab≤a+b22=14,当且仅当a=b=12时取等号,
a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1-12=12,当且仅当a=b=12时取等号,a2+b2的最小值为12,(a+b)2=a+b+2ab=1+2ab≤1+a+b=2,当且仅当a=b=12时取等号,
a+b的最大值为2.
14.(2021贵州贵阳一中高三月考)在平面几何中,有勾股定理:“设△ABC的两边AB,AC互相垂直,则AB2+AC2=BC2.”拓展到空间,类比平面几何中的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得出的正确结论是:“设三棱锥P-ABC中的三个侧面PAB,PBC,PAC两两相互垂直,则 .”
答案:S△PAB2+S△PBC2+S△PAC2=S△ABC2
三、解答题:共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(12分)(2021广西河池模拟)(1)用分析法证明:当n≥0时,n+2−n+1