北师大版高考第一轮理科数学(适用于老高考旧教材)单元质检卷三　导数及其应用

这是一份北师大版高考第一轮理科数学(适用于老高考旧教材)单元质检卷三　导数及其应用，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.
1.(2021辽宁大连模拟)函数f(x)=ex-2x的图像在点(1,f(1))处的切线方程为( )
A.2x+y+e-4=0B.2x+y-e+4=0
C.2x-y+e-4=0D.2x-y-e+4=0
答案:C
解析:f'(x)=(x-1)ex+2x2,所以切线斜率为f'(1)=2,又因为f(1)=e-2,所以切线方程为y-(e-2)=2(x-1),即2x-y+e-4=0.
2.(2021江西南昌三模)已知自由落体运动的速度v=gt,则自由落体运动从t=0 s到t=2 s所走过的路程为( )
A.gB.2gC.4gD.8g
答案:B
解析:因为自由落体运动的速度v=gt,所以路程s=02 gtdt=12gt2|02=2g,故选B.
3.(2021湖北黄冈模拟)已知f(x)的导函数f'(x)图像如图所示,那么f(x)的图像最有可能是图中的( )
答案:A
解析:由给定的导函数图像知,当x0时,f'(x)f(5).
5.(2021浙江湖州模拟)“m≤0”是“函数f(x)=ln x-mx在(0,1]上是递增的”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
答案:A
解析:由f(x)=ln x-mx(x>0),可得f'(x)=1x-m,若f(x)=ln x-mx在(0,1]上是递增的,则f'(x)≥0在(0,1]恒成立,即m≤1x在(0,1]恒成立,则m≤1,因为(-∞,0]⫋(-∞,1],则可得“m≤0”是“函数f(x)=ln x-mx在(0,1]上是递增的”的充分不必要条件.
6.(2021四川泸州诊断)已知函数f(x)=ex,过原点作曲线y=f(x)的切线l,则切线l与曲线y=f(x)及y轴围成的图形的面积为( )
A.2e+12B.2e-12C.e-22D.e+12
答案:C
解析:由f(x)=ex可得f'(x)=ex,设切点为(x0,ex0),斜率为f'(x0)=ex0,则切线方程为y-ex0=ex0(x-x0),把(0,0)代入可得-ex0=ex0(-x0),故x0=1,可得切线方程为y=ex,则直线l与曲线y=f(x)及y轴围成的图形的面积为01 (ex-ex)dx=ex-12ex2 01=e-22.
7.(2021广东高州一中高三月考)已知函数f(x)=x3-3ln x-1,则( )
A.f(x)的极大值为0
B.曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线为y轴所在的直线
C.f(x)的最小值为0
D.f(x)在定义域内单调
答案:C
解析:f(x)=x3-3ln x-1的定义域为(0,+∞),f'(x)=3x2-3x=3x(x3-1),令f'(x)=0,解得x=1,列表可知,
所以f(x)的极小值,也是最小值为f(1)=0,无极大值,在定义域内不单调,故C正确,A,D错误;
对于选项B,由f(1)=0及f'(1)=0,所以y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程y-0=0(x-1),即y=0,为x轴所在的直线,故B错误.
8.(2021广东汕头三模)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f'(x)-f(x)>0,f(2 021)=e2 021,则不等式f1elnx0,即f(x)>cs x.
(2)解:根据题意,g(x)=ex-2x-cs x+ln(x+1),定义域为(-1,+∞),g'(x)=ex-2+sin x+1x+1,
令h(x)=g'(x)=ex+1x+1+sin x-2,则h'(x)=ex-1(x+1)2+cs x,
易知当x∈0,π2时,h'(x)>0,故函数h(x)在0,π2内是递增的,则h(x)>h(0)=0,即g'(x)>0,
所以函数g(x)在0,π2内是递增的.
当x∈(-1,0)时,h'(x)是递增的,且h'(0)=1>0,又因为h'-12=e-12+cs-12-40,函数h(x)在(x0,0)内是递增的,即g'(x)在(x0,0)内是递增的,所以当x∈(x0,0)时,g'(x)4,1x+1>0,即ex+1x+1+sin x-2>0,所以g'(x)>0,函数g(x)在π2,+∞上是递增的.
综上可知,函数g(x)在(x0,0)上是递减的,在(0,+∞)上是递增的,
因此,当x=0时,函数g(x)有极小值,极小值为g(0)=0.
20.(14分)(2021广东深圳一模)已知函数f(x)=aln2x+2x(1-ln x),a∈R.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若函数g(x)=e2f(x)-2a2有且仅有3个零点,求a的取值范围.(其中常数e=2.718 28…,是自然对数的底数)
解:(1)∵f(x)=aln2x+2x(1-ln x),其定义域为(0,+∞),
则f'(x)=2lnx(a-x)x(x>0),且f'(1)=0,
①若a≤0,当01时,当165.
(1)解:∵h(x)=g(x)-f(x)=x-aln x+1+ax,其定义域是(0,+∞),
∴h'(x)=(x+1)[x-(1+a)]x2.
①1+a≤0,即a≤-1,x∈(0,+∞)时,h'(x)>0,h(x)在(0,+∞)上是递增的;
②a+1>0,即a>-1,x∈(0,1+a)时,h'(x)