北师大版高考第一轮理科数学(适用于老高考旧教材)高考解答题专项六　概率与统计

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(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
附:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),
解:(1)由表格数据得甲机床生产的产品中一级品的频率为150200=34;
乙机床生产的产品中一级品的频率为120200=35.
(2)由题意χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=400×(150×80-120×50)2200×200×270×130≈10.256>6.635.
所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.
2.(2020全国Ⅲ,理18)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次,整理数据得到下表(单位:天):
(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率;
(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(3)若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”;若某天的空气质量等级为3或4,则称这天“空气质量不好”.根据所给数据,完成下面的2×2列联表,并根据列联表,判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关?
附:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),
解:(1)由所给数据,该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率的估计值如下表:
(2)一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为1100(100×20+300×35+500×45)=350.
(3)根据所给数据,可得2×2列联表:
根据列联表得χ2=100×(33×8-22×37)255×45×70×30≈5.820.
由于5.820>3.841,故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.
3.(2021黑龙江齐齐哈尔一模)第五代移动通信技术(简称5G)是具有高速率、低时延和大连接特点的新一代宽带移动通信技术,是实现人机物互联的网络基础设施.某大学为了解学生对“5G”相关知识的了解程度,随机抽取100名学生参与测试,并将得分绘制成如下频数分布表.
(1)将学生对“5G”的了解程度分为“比较了解”(得分不低于60分)和“不太了解”(得分低于60分)两类,完成2×2列联表,并判断是否有99%的把握认为学生对“5G”的了解程度与性别有关?
(2)以这100名学生中“比较了解”的频率作为该校学生“比较了解”的概率,现从该校学生中,有放回地抽取3次,每次抽取1名学生,设抽到“比较了解”的学生的人数为X,求X的分布列和数学期望.
附:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),
解:(1)由题意可得列联表如下
χ2=100×(25×37-33×5)230×70×42×58≈11.291>6.635,
所以有99%的把握认为学生对“5G”的了解程度与性别有关.
(2)由题意可得抽取的100名学生中“比较了解”的频率为70100=710,故抽取该校1名学生对“5G”“比较了解”的概率为710,所以X~B3,710,P(X=k)=C3k710k3103-k,k=0,1,2,3,
即X的分布列如下
所以EX=np=3×710=2110.
4.(2021河南驻马店期末)近年来,共享单车进驻城市,绿色出行引领时尚.某公司计划对未开通共享单车的A县城进行车辆投放.为了确定车辆投放量,对过去在其他县城的投放量情况以及年使用人次进行了统计,得到了投放量x(单位:千辆)与年使用人次y(单位:千次)的数据如下表所示,根据数据绘制投放量x与年使用人次y的散点图如图所示.
(1)观察散点图,可知两个变量不具有线性相关关系,拟用对数型函数模型y=a+blg x或指数型函数模型y=c·dx(c>0,d>0)对两个变量的关系进行拟合,请问哪个模型更适宜作为投放量x与年使用人次y的回归方程类型(给出判断即可,不必说明理由),并求出y关于x的回归方程;
(2)已知每辆单车的购入成本为200元,年调度费以及维修等的使用成本为每人次0.2元,按用户每使用一次,收费1元计算,若投入8 000辆单车,则几年后可实现盈利?
参考数据:
其中vi=lg yi,v=17∑i=17vi.
解:(1)由散点图判断,y=c·dx适宜作为投放量x与年使用人次y的回归方程类型,
由y=c·dx,两边同时取常用对数得lg y=lg(c·dx)=lg c+xlg d,
设lg y=v,则v=lg c+xlg d.
因为x=4,v=1.54,∑i=17xi2=140,∑i=17xivi=50.12,
所以lg d=∑i=17xivi-7xv∑i=17xi2-7x2=50.12-7×4×1.54140-7×42=728=0.25,
把(4,1.54)代入v=lg c+xlg d,得lg c=0.54,
所以v=0.54+0.25x,所以lg y=0.54+0.25x,
则y=100.54+0.25x=3.47×100.25x,
故y关于x的回归方程为y=3.47×100.25x.
(2)投入8千辆单车,则年使用人次为3.47×100.25×8=347千人次,每年的收益为347×(1-0.2)=277.6(千元),总投资8 000×200=1 600 000=1 600千元,假设需要n年开始盈利,则n×277.6>1 600,即n>5.76,故需要6年才能开始盈利.机床
一级品
二级品
合计
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400
P(χ2>k)
0.10
0.05
0.01
k
2.706
3.841
6.635
空气质量等级
锻炼人次
[0,200]
(200,400]
(400,600]
1(优)
2
16
25
2(良)
5
10
12
3(轻度污染)
6
7
8
4(中度污染)
7
2
0
空气质量情况
人次≤400
人次>400
好
不好
P(χ2>k)
0.10
0.05
0.01
k
2.706
3.841
6.635
空气质量等级
1
2
3
4
概率的估计值
0.43
0.27
0.21
0.09
空气质量情况
人次≤400
人次>400
好
33
37
不好
22
8
得分
[30,
40)
[40,
50)
[50,
60)
[60,
70)
[70,
80)
[80,
90)
[90,
100]
男性
人数
4
9
12
13
11
6
3
女性
人数
1
2
2
21
10
4
2
性别
不太了解
比较了解
合计
男
女
合计
P(χ2>k)
0.10
0.05
0.01
k
2.706
3.841
6.635
性别
不太了解
比较了解
总计
男
25
33
58
女
5
37
42
总计
30
70
100
X
0
1
2
3
P
271 000
1891 000
4411 000
3431 000
x
1
2
3
4
5
6
7
y
6
11
21
34
66
101
196
y
v
∑i=17xiyi
∑i=17xivi
100.54
62.14
1.54
2 535
50.12
3.47