甘肃省定西市临洮县文峰中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

这是一份甘肃省定西市临洮县文峰中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题，共10页。试卷主要包含了本卷主要考查内容，函数的单调递减区间是，已知向量，若，则等内容，欢迎下载使用。
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5.本卷主要考查内容：湘教版选择性必修第二册第一章~第二章.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知点，则点关于轴对称的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
2.函数图象连续的函数在区间上（ ）
A.一定存在极小值 B.一定存在极大值
C.一定存在最大值 D.极小值一定比极大值小
3.设点.若，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
4.下图是函数的导函数的图象，则函数的图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
5.如图所示，在平行六面体中，点为上底面对角线的中点，若，则（ ）
A. B.
C. D.
6.函数的单调递减区间是（ ）
A. B. C. D.
7.在直三棱柱中，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
8.若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知向量，若，则（ ）
A.-2 B.1 C.-1 D.0
10.如图是导函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A.函数在区间上单调递减
B.函数在区间上单调递减
C.函数在处取得极大值
D.函数在处取得极小值
11.已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A.的极值点为
B.的最小值为
C.有两个零点
D.直线是曲线的一条切线
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若函数，则__________.
13.若直线的一个方向向量与平面的一个法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为__________.
14.若关于的不等式对任意恒成立，则实数的最小值是__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知函数在点处的切线斜率为-1，且在处取得极值.
（1）求函数的解析式；
（2）当时，求函数的最值.
16.（本小题满分15分）
如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面是的中点，为等腰直角三角形，.
（1）求证：；
（2）求与平面所成角的正弦值.
17.（本小题满分15分）
已知函数.
（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）若，使得，求实数的取值范围.
18.（本小题满分17分）
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，底面，且分别为中点.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成角的正弦值.
19.（本小题满分17分）
已知函数.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）证明：函数至多有一个零点.
临逃县文峰中学2023~2024学年度第二学期高二期中考试·数学
参考答案､提示及评分细则
1.C
2.C 由函数的最值与极值的概念可知，在上一定存在最大值.故选C.
3.B 设，则，而，则，有.故选B.
4.A 导函数的正负决定原函数的增减，由导数图象知，原函数的单调性是递减､递增､递减，符合此规律的只有A.
5.A .
6.D 函数的定义域是，
令，解得，故函数在上单调递减.故选D.
7.A 因为三棱柱是直三棱柱，且，所以以为原点､所在直线为轴､所在直线为轴､所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示.因为，所以，，
故.
设为平面的一个法向量，
则，
令，得.
，
设直线与平面所成的角为，则.
8.C 由，可得.
①当时，，此时函数单调递减，
②当时，令，可得，此时函数的减区间为，增区间为，只需，得.由上可知.故选C.
9.AD ，又，
当时，则，当时，则.
10.ACD A.因为在上成立，所以是的单调递减区间，故正确；
B.因为当时，，当时，，所以在上不单调，故错误；
C.因为当时，，当时，，函数在处取得极大值，故正确；
D.因为当时，，当时，，所以函数在处取得极小值，故正确，故选ACD.
11.BD ，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的极值点为1，又，所以的最小值为，故B正确，A错误；当时，，当时，，所以有且仅有1个零点，故C错误；令，解得，所以切点为，故D正确.故选BD.
12. ，则.
13. 因为直线的一方向向量与平面的一个法向量的夹角为，所以直线与平面所成的角为.
14. 由，可得，可得，令，可得，令，有，令，可得，可知函数的增区间为，减区间为，有，故，即的最小值为.
15.解：（1）由，
根据题意可得
解得，
所以；
（2）由（1）知，
令，
解得，
当时，为增函数，
当时，为减函数，
当时，为增函数，
又，
所以.
16.（1）证明：平面平面，
，
又是等腰直角三角形，是斜边的中点，
，
又平面平面，
平面，
平面，
；
（2）解：如图以为原点，所在的直线为轴，轴，在平面内，通过点作的垂线为轴，建立空间直角坐标系，
不妨设，则，则，
，
设平面的法向量为，
则取，则，
故为平面的一个法向量，
设与平面所成的角为，则，
与平面所成角的正弦值为.
17.解：（1）由题意知，在上恒成立，即在上恒成立，
又在上单调递减，所以，即实数的取值范围是；
（2），使得，即，使得.
令.令，
在上恒成立，所以在上单调递减，
又，所以当时，，即，当时，，即，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
所以，即实数的取值范围是.
18.解：（1）证明：因为分别为中点，所以，
在直角梯形中，因为，所以，
又因为平面平面，
所以平面；
（2）以为的正半轴，建立空间直角坐标系，
设，
则，所以，
所以，
设平面的法向量为，则
取，则，即，
设平面的法向量为，则
取，则，即，
设平面与平面所成角为，
则，所以.
19.解：（1）当时，.
令，解得或.当时，；当时，0.故在上单调递增，在上单调递减.
（2）由于，所以等价于.
设，
则，当且仅当或时，，所以在上单调递增.
故至多有一个零点，从而至多有一个零点.