贵州省铜仁市印江土家族苗族自治县智成中学2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试题

这是一份贵州省铜仁市印江土家族苗族自治县智成中学2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试题，共8页。试卷主要包含了本卷主要考查内容，已知函数的极值为，则实数，阿基米德，下列求导运算正确的是，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。

全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．
5．本卷主要考查内容：选择性必修第一册第三章，选择性必修第二册．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知等比数列中，，，则公比（ ）
A．B．2C．4D．
2．已知函数，则（ ）
A．B．1C．D．2
3．已知是等差数列的前n项和，且，则（ ）
A．30B．60C．90D．180
4．若函数，则（ ）
A．0B．C．D．
5．已知抛物线的焦点为F，点P为抛物线上任意一点，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
6．已知函数的极值为，则实数（ ）
A．B．C．D．
7．阿基米德（公元前287年－公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的方程为（ ）
A．B．C．D．
8．设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列求导运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函数，则（ ）
A．在区间上单调递减B．的最小值为0
C．的对称中心为D．方程有3个不同的解
11．已知椭圆，，则（ ）
A．，的焦点都在x轴上B．，的焦距相等
C．，没有公共点D．比更接近圆
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．抛物线的焦点坐标为________．
13．已知双曲线的焦点到渐近线的距离为4，则该双曲线的渐近线方程为________．
14．在数列中，，，且，则________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知等差数列的前n项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求n的值．
16．（本小题满分15分）
设．
（1）求函数的单调递增、递减区间；
（2）当时，恒成立，求实数m的取值范围．
17．（本小题满分15分）
已知数列的前n项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知，求数列的前n项和．
18．（本小题满分17分）
已知函数．
（1）若在上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）若，使得，求实数a的取值范围．
19．（本小题满分17分）
已知双曲线的渐近线方程为，且过点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若双曲线C的右焦点为F，点，过点F的直线l交双曲线C于A，B两点，且，求直线l的方程．
智成中学2023～2024学年度高二下学期第二次月考・数学
参考答案、提示及评分细则
1．A在等比数列中，，解得，故选A．
2．C因为，所以，所以，故选C．
3．C，解得，所以，故选C．
4．A因为函数，所以，则．故选A．
5．C设点P的坐标为，有，故的最小值为．
6．A由题目条件可得：函数的定义域为，，当时不符合题意，则，令，得；令，得．所以函数在区间上单调递增，在上单调递减，则是函数的极大值点，故解得．故选A．
7．C可设椭圆C的方程为，由题意可得解得所以椭圆C的方程为．故选C．
8．B，∵点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，∴．∵，∴．故选B．
9．BC，故A错误；，故B正确；，故C正确；，故D错误．故选BC．
10．AC对于A：，令或，令，∴函数在，上单调递增，在上单调递减，且，，可画出函数的大致图象如图所示，故A正确；
对于B：此函数无最小值，故B错误；
对于C：，故C正确；
对于D：根据图象可知有2个不同的解，故D错误，故选AC．
11．BCD因为椭圆的标准方程为，所以的焦点在y上，所以A不正确；
因为椭圆的焦距为，椭圆的焦距为，所以B正确；
作出椭圆，的图象，由图象可知，椭圆，没有公共点，所以C正确；
因为椭圆的离心率为，的离心率为，所以，所以D正确．故选：BCD．
12．，，∴焦点坐标为．
13．因为双曲线的焦点到渐近线的距离为4，所以，所以该双曲线的渐近线方程为．
14．因为，所以为等差数列，又，，设的公差为d，所以，解得，所以，所以．
15．解：（1）设数列的公差为d，则，故．
（2），
令，解得或（舍去），
∴．
16．解：（1），令，
即，解得或，
所以当时，，为增函数；
当时，，为减函数；
当时，，为增函数．
所以的递增区间为和；
的递减区间为．
（2）当时，恒成立，只需使，的最大值小于m即可．
由（1）可知，，
所以在的最大值为，所以．
所以实数m的取值范围为．
17．解：（1）当时，即，，
时，，
所以，即，
∴，，所以是以1为首项公比为的等比数列，
所以，
（2）
则；
，
两式相减
，
∴
18．解：（1）由题意知，在上恒成立，即在上恒成立，
又在上单调递减，所以，即实数a的取值范围是；
（2），使得，即，使得．
令，．令，在上恒成立，所以在上单调递减，
又，所以当时，，即，当时，，即，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
所以，即实数a的取值范围是．
19．解：（1）由题意知，
解得，，
所以双曲线C的方程是；
（2）①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，不符合题意；
（2）当直线l的斜率为0时，符合题意，此时直线l的方程为；
（3）当直线l的斜率存在且不为零时，设直线l的方程为，，，记AB的中点为，又因为，所以．
由得，所以，
所以，．
所以，，
解得或，所以直线l的方程为或．
由上知直线l的方程为或或．