八年级下册数学暑假作业 (1)

这是一份八年级下册数学暑假作业 (1)，共34页。试卷主要包含了填空题，八年级学生成绩的平均数等内容，欢迎下载使用。
1. 计算的结果为（ ）
A. 3B. C. D. －3
2. 如图，中，，则（ ）

A. B. C. D.
3. 点在正比例函数的图象上，则的值为（ ）
A. B. 2C. 3D. 4
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 在中，的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 某企业参加“科技创新企业百强”评选，创新能力、创新价值、创新影响三项得分分别为8分，9分，7分，若将三项得分依次按5：3：2比例计算总成绩，则该企业的总成绩为（ ）
A. 8分B. 8.1分C. 8.2分D. 8.3分
7. 如图，四个全等直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，如果图中勾，弦，则小正方形的面积为（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4
8. 下面的三个问题中都有两个变量：①三角形的高一定，三角形的面积y与底边长x；②将泳池中的水匀速放出，直至放完，泳池中的剩余水量y与放水时间x；③一艘观光船沿直线从码头匀速行驶到某景区，观光船与景区间的距离y与行驶时间x．其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）

A ①②B. ②③C. ①③D. ①②③
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________．
10. 直线向上平移2个单位长度后得到的直线的解析式为______．
11. 已知点，在一次函数的图象上，且，则的值可以是______（写出一个条件即可）．
12. 如图，矩形的对角线，相交于点O，再添加一个条件，使得四边形是正方形，这个条件可以是__________（写出一个条件即可）．

13. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，以点O为圆心，长为半径画弧，交x轴正半轴于点B，则点B的横坐标为________．
14. 如图，菱形的对角线，相交于点，点为边的中点，连接．若，，则的长为____________．

15. 如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距，某项研究表明，一般情况下人的身高y（单位：）是指距x（单位：）的一次函数，现测得指距x与身高y的几组对应值：

小明的身高是，一般情况下，他的指距约是___________．
16. 2023年4月，北京市每日最高气温的统计图如图所示：

根据统计图提供的信息，有下列三个结论：①若按每日最高气温由高到低排序，4月4日排在第30位；②4月7日到4月8日气温上升幅度最大；③若记4月上旬（1日至10日）的最高气温的方差为，中旬(11日至20日)的最高气温的方差为，下旬（21日至30日）的最高气温的方差为，则．其中所有正确结论的序号是________．
三、解答题（共68分，第17－22题，每题5分，第23－26题，每题6分，第27－28题，每题7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17. 计算：．
18. 计算：．
19. 已知，求代数式的值．
20. 已知一次函数的图象与两坐标轴分别交于点，求该一次函数的解析式．
21. 下面是证明平行四边形判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的两种思路，选择其中一种，完成证明．
22. 如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上．

（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求四边形的面积．
23. 如图，在平行四边形中，对角线交于点O，．

（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，作的平分线交于点E，求的长．
24. 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数的图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．小腾根据学习函数的经验，对函数与进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）绘制函数图象
①列表：下表是与，的几组对应值；
其中，b=________；
②描点、连线：在同一平面直角坐标系xOy中，描出上表中各组数值所对应的点，并画出函数，的图象．

（2）结合函数图象，探究函数性质
①函数，的图象的交点坐标为______，则关于x，y的二元一次方程组的解是________；
②过点作垂直于x轴的直线与函数，的图象分别交于点P，Q，当点P位于点Q下方时，的取值范围是_________．
25. 为了了解学生对党的二十大精神的学习领会情况，某校团委从七，八年级各随机抽取20名学生进行测试，获得了他们的成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．八年级学生成绩的频数分布直方图如下（数据分为4组：）．

b．八年级学生成绩在这一组的是：
81 83 84 84 84 86 89
c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值；
（2）七年级学生小亮和八年级学生小宇的成绩都是86分，这两名学生在本年级成绩排名更靠前的是________（填“小亮”或“小宇”），理由是________；
（3）成绩不低于85分的学生可获得优秀奖，假设该校八年级300名学生都参加测试，估计八年级获得优秀奖的学生人数．
26. 在平面直角坐标系中，点和点在一次函数的图象上．
（1）若，，，求该一次函数的解析式；
（2）已知点，将点A向左平移3个单位长度，得到点B．
①求点B的坐标；
②若，一次函数的图象与线段有公共点，求的取值范围．
27. 如图，菱形中，，E为边上一点，点F在的延长线上，，作点F关于直线的对称点G，连接．
（1）依题意补全图形，并证明；
（2）用等式表示之间的数量关系，并证明．
28. 在平面直角坐标系中，已知点，，对于直线l和点P，给出如下定义：若在线段上存在点Q，使得点P，Q关于直线l对称，则称直线l为点P的关联直线，点P是直线l的关联点．

（1）已知直线：，在点，，中，直线关联点是___________；
（2）若在x轴上存在点P，使得点P为直线：的关联点，求b的取值范围；
（3）已知点，若存在直线：是点N的关联直线，直接写出n的取值范围．
八年级下册数学暑假作业
一、选择题（共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 计算的结果为（ ）
A. 3B. C. D. －3
【答案】A
【解析】
【分析】根据化简即可．
【详解】解：．
故选A．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．
2. 如图，中，，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得到，进而得到，即可求出结果.
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故选：D.
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，掌握是解题的关键.
3. 点在正比例函数的图象上，则的值为（ ）
A. B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】把代入求解即可．
【详解】∵点在正比例函数的图象上，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查的是正比例函数图象上点的坐标特点，熟知正比例函数图象上点的坐标一定适应此函数的解析式是解答此题的关键．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的加减法和乘除法法则计算即可．
【详解】A．，故不正确；
B．与2不是同类二次根式，不能合并，故不正确；
C．，正确；
D．，故不正确；
故选C．
【点睛】本题考查了二次根式的加、减、乘、除运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
5. 在中，的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】A、∵
∴是直角三角形，
故A不符合题意；
B、
∴ 不是直角三角形，故B符合题意；
C、∵
∴设
∴
∴ 是直角三角形
故C不符合题意；
D、∵
∴
∴是直角三角形，
故D不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．
6. 某企业参加“科技创新企业百强”评选，创新能力、创新价值、创新影响三项得分分别为8分，9分，7分，若将三项得分依次按5：3：2的比例计算总成绩，则该企业的总成绩为（ ）
A 8分B. 8.1分C. 8.2分D. 8.3分
【答案】B
【解析】
【分析】根据加权平均数的计算方法求出该企业的总成绩即可．
【详解】分．
故选B．
【点睛】本题考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的关键．
7. 如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，如果图中勾，弦，则小正方形的面积为（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据勾股定理求出，然后利用正方形的面积公式求解即可．
【详解】∵勾，弦，
∴
∴小正方形的面积为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理中赵爽弦图模型，关键在于正确找出勾股关系．
8. 下面的三个问题中都有两个变量：①三角形的高一定，三角形的面积y与底边长x；②将泳池中的水匀速放出，直至放完，泳池中的剩余水量y与放水时间x；③一艘观光船沿直线从码头匀速行驶到某景区，观光船与景区间的距离y与行驶时间x．其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）

A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③
【答案】B
【解析】
【分析】图象为y随x增大而减小的一次函数，据此判断即可．
【详解】解：图中一次函数，且，y随x增大而减小，
设三角形的高为k，且，
∴，故①错；
将泳池中的水匀速放出，直至放完，根据泳池中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小，故②正确；
一艘观光船沿直线从码头匀速行驶到某景区，观光船与景区间的距离y随行驶时间x增大而减小，故③正确；
故选：B．
【点睛】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________．
【答案】x≥5
【解析】
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】∵在实数范围内有意义，
∴x−5⩾0，解得x⩾5．
故答案为：x≥5
【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数a⩾0，同时也考查了解一元一次不等式．
10. 直线向上平移2个单位长度后得到的直线的解析式为______．
【答案】y＝3x＋2
【解析】
【分析】根据“上加下减”的平移规律解答即可．
【详解】解：将直线y＝3x向上平移2个单位长度，得到直线的解析式为：y＝3x＋2．
故答案是：y＝3x＋2．
【点睛】本题考查一次函数图象与几何变换，掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．
11. 已知点，在一次函数的图象上，且，则的值可以是______（写出一个条件即可）．
【答案】
（答案不唯一）．
【解析】
【分析】由时，，根据一次函数的增减性，得到，即可得到答案．
【详解】解：∵点，在一次函数的图象上，且，
∴y随着x的增大而减小，
∴，
∴k可以是（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，正确掌握一次函数的增减性是解题的关键．
12. 如图，矩形的对角线，相交于点O，再添加一个条件，使得四边形是正方形，这个条件可以是__________（写出一个条件即可）．

【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据正方形的判定定理即可得到结论．
【详解】解：这个条件可以是（答案不唯一），
理由：四边形是矩形，，
四边形是正方形，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了正方形的判定，矩形的性质，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键．
13. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，以点O为圆心，长为半径画弧，交x轴的正半轴于点B，则点B的横坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理求出的长，即可解决问题．
【详解】解：∵点，
∴，
∵点A、B均在以点O为圆心，长为半径的弧上，
∴,
∵点B交于x轴的正半轴，
∴点B的横坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是勾股定理以及坐标与图形性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．
14. 如图，菱形的对角线，相交于点，点为边的中点，连接．若，，则的长为____________．

【答案】1
【解析】
【分析】由菱形的性质得到，，，由勾股定理求出，由直角三角形斜边中线的性质即可求出的长．
【详解】解：四边形是菱形，
，，，
，，
，，
，
点为边的中点，
．
故答案为：1．
【点睛】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边的中线，勾股定理，关键是由菱形的性质，勾股定理求出的长，由直角三角形斜边中线的性质即可求出长．
15. 如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距，某项研究表明，一般情况下人的身高y（单位：）是指距x（单位：）的一次函数，现测得指距x与身高y的几组对应值：

小明的身高是，一般情况下，他的指距约是___________．
【答案】
【解析】
【分析】先利用待定系数法求出一次函数解析式，再求出当时的值即可．
【详解】解：设身高y（单位：）是指距x（单位：）的一次函数解析式为，当时，，当时，，
则，
解得，
∴，
当时，，解得，
即小明的身高是，一般情况下，他的指距约是，
故答案为：
【点睛】此题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
16. 2023年4月，北京市每日最高气温的统计图如图所示：

根据统计图提供的信息，有下列三个结论：①若按每日最高气温由高到低排序，4月4日排在第30位；②4月7日到4月8日气温上升幅度最大；③若记4月上旬（1日至10日）的最高气温的方差为，中旬(11日至20日)的最高气温的方差为，下旬（21日至30日）的最高气温的方差为，则．其中所有正确结论的序号是________．
【答案】①③##③①
【解析】
【分析】①根据折线统计图提供的数据作答即可；
②根据折线统计图提供的数据作答即可；
③根据方差的意义作答即可．
【详解】解：①由图可知，4月4日的最高气温在4月是最低的，所以若按每日最高气温由高到低排序，4月4日排在第30位．故本结论正确，符合题意；
②由图可知，所以4月7日到4月8日气温上升幅度约为，4月24日到4月25日气温上升幅度约为，所以4月7日到4月8日气温上升幅度不是最大．故本结论错误，不符合题意；
③由图可知，4月上旬日至10日）的最高气温在至徘徊，中旬日至20日）的最高气温在至徘徊，下旬日至30日）的最高气温在至徘徊，所以上旬气温波动最大，中旬气温波动最小，下旬气温波动在上旬与中旬之间，所以．故本结论正确，符合题意；
故答案为：①③．
【点睛】本题考查的是折线统计图和方差．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．折线统计图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
三、解答题（共68分，第17－22题，每题5分，第23－26题，每题6分，第27－28题，每题7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17. 计算：．
【答案】10
【解析】
【分析】根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】分别零次幂、绝对值和化简二次根式计算，最后按照实数的运算法则运算即可．
【详解】解：

故答案为：．
【点睛】本题考查了零次幂、二次根式的加减，解题的关键在于熟练相关运算法则．
19. 已知，求代数式的值．
【答案】4
【解析】
【分析】将变形后，再将a的值代入计算可得结果．
【详解】解：．
当时，，
∴
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式．
20. 已知一次函数的图象与两坐标轴分别交于点，求该一次函数的解析式．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件运用待定系数法将A、B点的坐标代入列方程组求得k和b的值即可．
【详解】解：将点的坐标分别代入中，
得 ，
解得 ，
∴一次函数的解析式．
【点睛】本题考查运用待定系数法，求一次函数的解析式，将已知点代入列方程组，求得k和b的值即得答案．
21. 下面是证明平行四边形判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的两种思路，选择其中一种，完成证明．
【答案】见解析
【解析】
【分析】思路一：连接，由，得，即可根据全等三角形 判定定理“SAS" 证明，得 ，则 ， 即可根据平行四边形的定义证明四边形是平行四边形；
思路二：连接，可证明，得 ，而，即可根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”证明四边形是平行四边形；
【详解】证明：思路一：
如图，连接．
∵,
∴.
又 ∵,
∴
∴,
∴.
又∵，
∴四边形是平行四边形．
思路二：如图，连接．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】此题重点考查平行四边形的定义和判定定理，适当选择平行四边形的定义或判定定理证明四边形是平行四边形是解题的关键．
22. 如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上．

（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）为直角三角形，见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据图中的数据，根据勾股定理判断三角形的形状；
（2）将四边形的面积分解为两个三角形的面积分别计算即可.
【小问1详解】
解：为直角三角形．
理由如下：由题意，
，
，
，
∴，
∴，为直角三角形．
【小问2详解】
解：在中，，，
∴，
在中，，，，
∴，
∴.
【点睛】本题主要考查了坐标图，提高读图能力是解题的关键.
23. 如图，平行四边形中，对角线交于点O，．

（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，作的平分线交于点E，求的长．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，根据矩形的判定定理可得结论；
（2）根据矩形的性质得到，根据角平分线的定义得到，再根据勾股定理解题即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴，
∴平行四边形为矩形．
【小问2详解】
解：如图，

∵四边形是矩形，
∴．
∵为的平分线，
∴．
在中，，
∴，
．
在中，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查矩行的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键．
24. 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数的图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．小腾根据学习函数的经验，对函数与进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）绘制函数图象
①列表：下表是与，的几组对应值；
其中，b=________；
②描点、连线：在同一平面直角坐标系xOy中，描出上表中各组数值所对应的点，并画出函数，的图象．

（2）结合函数图象，探究函数性质
①函数，的图象的交点坐标为______，则关于x，y的二元一次方程组的解是________；
②过点作垂直于x轴的直线与函数，的图象分别交于点P，Q，当点P位于点Q下方时，的取值范围是_________．
【答案】（1）①6；②见解析；
（2）①，；②．
【解析】
【分析】（1）①依据题意，通过解析式代入可以得解；
②依据题意，结合①可以得解；
（2）①借助图象可得交点坐标，再结合方程组的解即对应交点坐标，进而得解；
②依据题意画出图象分析即可得解；
【小问1详解】
①当时，
故；
②画出函数，的图象如下图；
【小问2详解】
①由（1）中图像可知：函数，的图象的交点坐标为
则方程组的解为：
故答案为：，
②如图：显然在A左侧时点P位于点Q下方，
又
故答案为
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质及一次函数与二元一次方程，解题时要熟练掌握并理解．
25. 为了了解学生对党的二十大精神的学习领会情况，某校团委从七，八年级各随机抽取20名学生进行测试，获得了他们的成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．八年级学生成绩的频数分布直方图如下（数据分为4组：）．

b．八年级学生成绩在这一组的是：
81 83 84 84 84 86 89
c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值；
（2）七年级学生小亮和八年级学生小宇的成绩都是86分，这两名学生在本年级成绩排名更靠前的是________（填“小亮”或“小宇”），理由是________；
（3）成绩不低于85分的学生可获得优秀奖，假设该校八年级300名学生都参加测试，估计八年级获得优秀奖的学生人数．
【答案】（1）83.5；
（2）小宇，理由见解析；
（3）105人．
【解析】
【分析】（1）结合题意，根据中位数的意义解答即可；
（2）根据中位数的意义，比较七、八年级的中位数即可得出答案；
（3）先算出样本中成绩不低于85分的比例，再乘以300即可得到答案．
【小问1详解】
八年级一共有20名同学，中位数是成绩数据由小到大排列后第10，11个数据分别为83、84
故中位数；
【小问2详解】
小宇；
理由：小亮的成绩为86分低于七年级学生成绩的中位数88分，故小亮的成绩低于七年级一半的学生成绩；小宇的成绩为86分高于八年级学生成绩的中位数83.5分，故小宇的成绩高于八年级一半的学生成绩，所以学生小宇的成绩在本年级排名更靠前；
【小问3详解】
（人），
估计八年级获得优秀奖的学生有105人
【点睛】本题考查频数分布直方图，平均数，中位数众数的意义和用样本估计总体，准确理解这些概念是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系中，点和点在一次函数的图象上．
（1）若，，，求该一次函数的解析式；
（2）已知点，将点A向左平移3个单位长度，得到点B．
①求点B的坐标；
②若，一次函数的图象与线段有公共点，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）①；②．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求得即可；
（2）①根据平移的规律即可求得；
②把点和点代入得到，．由，可得，然后分别代入点A、B求得b的值，即可求得b的取值范围．
【小问1详解】
当，，时，则和点，代入中，
得
解得
∴一次函数的解析式
【小问2详解】
①∵点，将点A向左平移3个单位长度，得到点B
∴ ；
② ∵点和点在一次函数的图象上，
∴，．
∵，
∴＝4，
∴，
∴一次函数的解析式为．
当直线经过点时，
，
解得．
当直线经过点时，
，
解得．
综上所述，的取值范围是．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形的变化-平移，熟知待定系数法是解题的关键．
27. 如图，菱形中，，E为边上一点，点F在的延长线上，，作点F关于直线的对称点G，连接．
（1）依题意补全图形，并证明；
（2）用等式表示之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析；
（2），证明见进解析．
【解析】
【分析】（1）根据题意补全图形，根据菱形的性质结合可推出，从而推出结论；
（2）方法1：连接，根据菱形的性质结合推出为等边三角形，得出，由点F关于的对称点G在线段上，推出为等边三角形，根据证明得出，从而得出结果；
方法2：延长到H，使，根据菱形的性质易证，再根据全等三角形的性质及等边三角形的判定证明为等边三角形，然后根据等边三角形的性质及菱形的性质即可得证．
【小问1详解】
补全的图形如图所示；
证明：∵菱形，
∴，
∴，
，
∴，
．
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
之间的数量关系：．
证明：方法1
如图，连接．
∵菱形，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
点F关于的对称点G在线段上，
∴．
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
证明：方法2
如图，延长到H，使，
∴．
∵菱形，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴．
∵菱形，，点F关于直线的对称点为G，
∴点G在线段上，，
∴．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质定理是解题的关键.
28. 在平面直角坐标系中，已知点，，对于直线l和点P，给出如下定义：若在线段上存在点Q，使得点P，Q关于直线l对称，则称直线l为点P的关联直线，点P是直线l的关联点．

（1）已知直线：，在点，，中，直线的关联点是___________；
（2）若在x轴上存在点P，使得点P为直线：的关联点，求b的取值范围；
（3）已知点，若存在直线：是点N的关联直线，直接写出n的取值范围．
【答案】（1）；
（2）；
（3）或．
【解析】
【分析】（1）利用网格图确定线段关于直线：对称的线段,点在上，得出结论．
（2）如图，由题意知，点Q在线段AB上，当点Q与点A重合时，点P的坐标为，直线经过原点，此时b=0；当点Q与点B重合时，点P的坐标为，直线经过点A，此时，所以．
（3）如图，点在直线上，设线段关于的对称线段为,当直线：为时，可求，此时，点为满足题意的点N，；，当在第一、三象限内，存在如下图情况，此时，点落在上，落在x轴上，连接，过点A作轴，垂足为，可求，此时，为满足题意的点N，；如图，线段与关于y轴对称，可求，此时为满足题意的点N，；如图，当直线在第二、四象限，存在如下情况，点在直线上，点在x轴上,作，垂足为H，可求，此时为满足题意的点N，，得出结论．
【小问1详解】
解：如图，线段关于直线：对称的线段,点在上，故直线的关联点是；
【小问2详解】
解：如图，由题意知，点Q在线段AB上，
∵点P为直线的关联点，
∴点P关于直线的对称点为Q，

当点Q与点A重合时，点P的坐标为，
是等腰直角三角形，直线经过原点，此时b=0；
当点Q与点B重合时，点P的坐标为，
是等腰直角三角形，直线经过点A，此时．
综上所述，b的取值范围是．
【小问3详解】
解：如图，点在直线上，设线段关于的 对称线段为,
当直线：为时，点，关于直线的对称点,，此时，点为满足题意的点N，；

随着增大，当在第一、三象限内，存在如下图情况，点落在上，落在x轴上，连接，由对称知，，
∴
过点A作轴，垂足为，中，
∴
∵
∴,
∴点
此时，为满足题意点N，

故时，存在直线：是点的关联直线；
如图，线段与关于y轴对称，,此时为满足题意的点N，；

如图，当直线在第二、四象限，存在如下图情况，点在直线上，点在x轴上,

过点作，垂足为H，由对称知，，，
，中，
∵
∴
∴
此时为满足题意的点N，
故时，存在直线：是点的关联直线；
综上，若存在直线：是点的关联直线，则，或．
【点睛】本题考查直角坐标系与点的坐标，轴对称，等腰直角三角形，勾股定理，动态的理解图形，分类对所有情况作完备的讨论是解题的关键．指距x /
16
18
20
22
身高y/
133
151
169
187
已知：如图，四边形中，，，求证：四边形是平行四边形．
思路一：条件中已有，只需证明即可．
证明：如图，连接．
思路二：条件中已有，只需证明即可．
证明：如图，连接．
…
0
1
…
…
0
2
…
…
b
5
…
年级
平均数
中位数
众数
七
83.1
88
89
八
83.5
m
84
指距x /
16
18
20
22
身高y/
133
151
169
187
已知：如图，四边形中，，，求证：四边形是平行四边形．
思路一：条件中已有，只需证明即可．
证明：如图，连接．
思路二：条件中已有，只需证明即可．
证明：如图，连接．
…
0
1
…
…
0
2
…
…
b
5
…
年级
平均数
中位数
众数
七
83.1
88
89
八
83.5
m
84