甘肃省平凉市静宁县文萃中学2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题

这是一份甘肃省平凉市静宁县文萃中学2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题，共11页。试卷主要包含了本卷主要考查内容，已知为钝角，，则的值为，已知复数，则下列说法正确的有等内容，欢迎下载使用。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
5.本卷主要考查内容：湘教版必修第二册第1章~第5章。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数，且，其中为虚数单位，则（ ）
A.B.C.D.0
2.在中，已知，，，则（ ）
A.B.C.或D.或
3.已知向量，，它们的夹角为，则（ ）
A.4B.12C.2D.
4.下列说法正确的是（ ）
A.等腰直角三角形绕其一边旋转一周所得的几何体一定是圆锥
B.过球心的平面截球面所得的圆的半径等于球的半径
C.棱锥的侧棱一定相等
D.正三角形的平面直观图一定是等腰三角形
5.盲盒，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子.已知某盲盒产品共有2种玩偶.假设每种玩偶出现的概率相等，小明购买了这种盲盒3个，则他集齐2种玩偶的概率为（ ）
A.B.C.D.
6.如图，已知四棱锥，底面是边长为2的正方形，侧棱长相等且为4，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A.B.C.D.
7.已知为钝角，，则的值为（ ）
A.B.C.D.
8.七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，于明、清两代在民间广泛流传.某同学用边长为的正方形木板制作了一套七巧板，如图所示，包括5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形.若该同学从5个三角形中任取出2个，则这2个三角形的面积之和等于另外3个三角形面积之和的概率是（ ）
A.B.C.D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知复数，则下列说法正确的有（ ）
A.复数的实部为3B.复数的共轭复数为
C.复数的虚部为D.复数的模为5
10.已知，是两个不重合的平面，，是两条不重合的直线，则下列命题中是真命题的是（ ）
A.如果，，，那么
B.如果，，那么
C.如果，，那么
D.如果，，那么与所成的角和与所成的角相等
11.不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有（ ）
A.2张卡片都不是红色B.2张卡片恰有一张蓝色
C.2张卡片至少有一张红色D.2张卡片都为绿色
12.已知，则下列结论正确的是（ ）
A.B.
C.D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取两个数，则所取两个数的乘积为6的概率是______.
14.如图所示的直观图，其中，，，则原平面图形的面积为______.
15.已知三内角，，的对边分别为，，，且满足，，则的外接圆的面积为______.
16.已知三棱锥，，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知向量，，，为坐标原点.
（1）若，求实数的值；
（2）在（1）的条件下，求与夹角的余弦值.
18.（本小题满分12分）
已知，，角的终边过点.
（1）求的值；
（2）求的值.
19.（本小题满分12分）
在2022年北京冬奥会志愿服务开始前，北京市团委调查了北京师范大学某院50名志愿者参加志愿服务礼仪培训和赛会应急救援培训的情况，数据（单位：人）如下表：
（1）从50名志愿者中随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个培训的概率；
（2）在既参加志愿服务礼仪培训又参加赛会应急救援培训的6名同学中，有4名男同学，，，，2名女同学，，现从这4名男同学和2名女同学中各随机选1人，求未被选中且被选中的概率.
20.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，，平面，，分别为，的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，求点到平面的距离.
21.（本小题满分12分）
在中，内角，，的对边分别为，，，满足，且.
（1）求角；
（2）若的面积为，求边上的中线长.
22.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是矩形，.是棱上一点，且，平面.
（1）证明：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
文萃中学20232024学年第二学期第二次月考・高一数学
参考答案、提示及评分细则
1.A ，，，则，，.故选A.
2.B 由正弦定理，得，所以.
因为，所以或.
因为，根据三角形中大边对大角可知，所以.故选B.
3.C 因为向量，，它们的夹角为，所以，
所以.故选C.
4.B 对于A，等腰直角三角形绕其中一直角边旋转一周所得的几何体一定是圆锥，绕其斜边旋转一周所得的几何体是两个同底面的圆锥构成的几何体，故A错误；
对于B，过球心的平面截球面所得的圆是大圆，大圆的半径等于球的半径，故B正确；
对于C，棱锥的侧棱不一定相等，故C错误；
对于D，正三角形在平面直角坐标系中的放置不同，相应的平面直观图不同，不一定是等腰三角形，故D错误.故选B.
5.A 假设二种玩偶分别为，，则买3个盲盒，出现的玩偶为，，，，，，，共八种，集齐2种的概率为.故选A.
6.D 如图，取的中点，连接，，因为底面是边长为2的正方形，是的中点，所以，且，所以异面直线与所成的角为，四棱锥的侧棱相等且为4，在中，由勾股定理得，在中，由余弦定理得，所以异面直线与所成角的余弦值为.
7.D 由得，化简得，，
则，.故选D.
8.B 如图所示，，，，，的面积分别为，，.
将，，，，分别记为，，，，，从这5个三角形中任取出2个，则样本空间，共有10个样本点.
记事件表示“从5个三角形中任取出2个，这2个三角形的面积之和等于另外3个三角形面积之和”，则事件包含的样本点为，，共2个，所以.故选B.
9.ABD ，则实部为3，虚部为4，共轭复数为，模为5.
10.BCD 对于A，可运用长方体举反例证明其错误，如图，
不妨设为直线，为直线，四边形所在的平面为，四边形所在的平面为，显然这些直线和平面满足题目条件，但不成立；
B正确，证明如下：设过直线的某平面与平面相交于直线，则，由知，从而；
由平面与平面平行的定义知，如果，，那么，C正确；
由平行的传递性及线面角的定义知，如果，，那么与所成的角和与所成的角相等，D正确.
故选BCD.
11.ABD 6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况有“2张都为红色”、“2张都为绿色”、“2张都为蓝色”、“1张为红色1张为绿色”、“1张为红色1张为蓝色”、“1张为绿色1张为蓝色”，选项中给出的四个事件中与“2张都为红色”互斥而非对立的事件是“2张都不是红色”，“2张恰有一张蓝色”，“2张都为绿色”，其中“2张至少一张为红色”包含事件“2张都为红色”，二者并非互斥.故选ABD.
12.ABD 对于A选项，，故A选项正确；
对于B选项，，故B选项正确；
对于C选项，，故C选项不正确；
对于D选项，，故D选项正确.
13. 从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取两个数的所有基本事件有，，，，，，共6个，所取2个数的乘积为6的基本事件有，，共2个，故所求概率.
14.8 原平面图形是三角形，底边长，高为，故原平面图形的面积为.
15. 由正弦定理可知，再根据余弦定理可知，所以为直角三角形，由，得，所以的外接圆的面积为.
16. 如图经补形可知球心在直三棱柱高的中点处，为外接圆的圆心，外接球的半径，，，，，表面积.
17.解：（1）因为，，，
所以，，
又因为，所以，解得.
（2）由（1）知，
设，的夹角为，则.
18.解：（1）因为，
所以，
所以.
（2）由三角函数的定义可得，又，
由倍角公式可得，
.
19.解：（1）由调查数据可知，既未参加志愿服务礼仪培训又未参加赛会应急救援培训的有28人，
故至少参加上述一个培训的共有（人）.
从50名志愿者中随机选1名同学，该同学至少参加上述一个培训的概率为；
（2）从这4名男同学和2名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有，，，，，，，，共8个，
根据题意，这些基本事件的出现是等可能的，
事件“未被选中且被选中”所包含的基本事件有，，，共3个，
未被选中且被选中的概率为.
20.（1）证明：如图，连接交于点，连接，.
易知四边形是菱形，，分别为，的中点，
所以，.
又平面，平面，
所以平面，平面.
因为，所以平面平面.
又平面，所以平面.
（2）解：因为，平面，平面，
所以平面，
所以点到平面的距离等于点到平面的距离.
记到平面的距离为，，
又，则，
解得，
故点到平面的距离为.
21.解：（1），
由正弦定理得，
由，得，
又由，得，，，
由余弦定理得，
又，
由，，得，
，；
（2）由（1）得，，，，，，，，
设的中点为，则，
在中，由余弦定理得，
所以边上的中线长为.
22.（1）证明：在矩形中，所以，
平面，平面，平面，
，，
，
在中，，，为中点，，
，即，
又，，平面，平面，
平面，
又平面，平面平面；
（2）解：由（1）知，，
平面，平面，，
又，，，平面，
平面，
又，平面，
又平面，，
，平面平面，平面，
平面，
由（1）知为中点，所以到平面距离为，
设到平面的距离为，由，即，
解得，
设直线与平面所成的角为，则.
参加志愿服务礼仪培训
未参加志愿服务礼仪培训
参加赛会应急救援培训
6
10
未参加赛会应急救援培训
6
28