北京市顺义区高一下学期期末质量监测数学试题（解析版）

这是一份北京市顺义区高一下学期期末质量监测数学试题（解析版），共16页。
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 平面向量，满足．如果，那么等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由向量数乘运算可直接计算求得结果.
【详解】由向量数乘运算可知：.
故选：A.
【点睛】本题考查平面向量数乘运算的坐标表示，属于基础题.
2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
试题分析：对应的点为在第二象限
考点：复数运算
点评：复数运算中分子分母同乘以分母的共轭复数，复数对应的点为
3. 已知某圆柱底面的半径为1，高为2，则该圆柱的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据圆柱表面积的计算公式直接求解即可.
【详解】解:因为圆柱的底面半径为1，高为2，
所以圆柱的表面积.
故选：C.
【点睛】本题考查了圆柱表面积的求法,属基础题.
4. 已知，且，那么等于（ ）
A. B. 3C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
利用同角三角函数关系可求得，由两角和差正切公式可求得结果.
【详解】，，，，
.
故选：A.
【点睛】本题考查利用两角和差正切公式求解三角函数值的问题，涉及到同角三角函数的求解问题，属于基础题.
5. 已知复数的实部为，其中为虚数单位，则实数的值是（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
由复数的乘法运算和实部的定义可构造方程求得结果.
【详解】且实部为，，解得：，
故选：C.
【点睛】本题考查根据复数实部的定义求解参数值的问题，涉及到复数的乘法运算，属于基础题.
6. 如图，在矩形中，为中点，那么向量等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平面向量的线性运算，直接可得出结果.
【详解】因为在矩形中，为中点，
所以.
故选：B.
【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题型.
7. 如图，正方体的棱长为1，E、F分别为棱AD、BC的中点，则平面与底面ABCD所成的二面角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
显然平面，所以就是平面与底面ABCD所成的二面角的平面角，再解三角形即可.
【详解】解：在正方体中，平面，
E、F分别为棱AD、BC的中点，所以，所以平面，
所以，
所以就是平面与底面ABCD所成的二面角的平面角，
，
故选：B.
【点睛】思路点睛：按照二面角的平面角的定义先找到平面角，再求角.找角时注意找与二面角的棱垂直的平面与两个半平面的交线就是平面角，求角时一般是解三角形，二面角平面角的范围是，基础题.
8. 已知两条直线m，n和平面，那么下列命题中真命题是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】C
【解析】
【分析】
根据空间中线线、线面位置关系，逐项判定，即可得出结果.
【详解】A选项，若，，则与平面的关系可以是相交，平行或在面内，故A错；
B选项，若，，则与平面的关系可以是在面内，或平行，故B错；
C选项，若，，根据线面垂直的性质，可得，故C正确；
D选项，若，，则与的关系可以是相交，异面或平行，故D错.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查线面有关命题的判定，属于基础题型，解决此类问题的关键在于熟记空间中线面、线线位置关系，考查学生的空间想象能力.
9. 已知向量，，那么向量与的位置关系是（ ）
A. 平行B. 垂直C. 夹角是锐角D. 夹角是钝角
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据题中所给的向量的坐标，结合向量数量积运算法则，求得其数量积为负数，从而得到其交集为钝角.
【详解】因为，，
，
所以向量与的位置关系是夹角为钝角，
故选：D.
【点睛】该题考查的是有挂向量的问题，涉及到的知识点有向量数量积的运算律，数量积坐标公式，根据数量积的符号判断其交集，属于简单题目.
10. 如图，在棱长为的正方体中，P为线段上的动点（不含端点），则下列结论错误的是（ ）
A. 平面平面B.
C. 三棱锥的体积为定值D. 的取值范围是
【答案】D
【解析】
【分析】
证明出平面，利用面面垂直的判定定理可判断A选项的正误；证明出平面，利用线面垂直的性质可判断B选项的正误；以点为顶点计算三棱锥的体积，可判断C选项的正误；设，取，利用余弦定理计算出的符号，可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，由于四边形为正方形，则，
平面，平面，，
，平面，
平面，所以，平面平面，A选项正确；
对于B选项，连接、，如下图所示：
由于四边形为正方形，则，
在正方体中，平面，
平面，，
，平面，
平面，，B选项正确；
对于C选项，设，则为的中点，则，
，
平面，，C选项正确；
对于D选项，连接，
设，在中，，，，
由余弦定理得，
平面，平面，，
在中，，，，
，
由余弦定理可得，
当时，，此时为钝角，D选项错误.
故选：D.
【点睛】在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键．
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 已知复数，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据共轭复数的概念，先得到，再由复数的乘法运算，即可得出结果.
【详解】因，所以，
因此.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查共轭复数的相关计算，属于基础题型.
12. _____.
【答案】
【解析】
【分析】
由，利用两角差的余弦公式可得结果.
详解】
，故答案为.
【点睛】本题主要考查两角差的余弦公式以及特殊角的三角函数，属于基础题.
13. 如图，若正方体的棱长为1，则异面直线AC与所成的角的大小是__________；直线和底面ABCD所成的角的大小是__________．
【答案】 (1). (2). .
【解析】
【分析】
①通过平行关系，直线与直线所成角即直线与直线所成角，解三角形即可得解；
②根据线面角定义，通过垂直关系找出线面角即可.
【详解】作图：连接交于，连接
①在正方体中，，易得为等边三角形，
由与平行且相等，则四边形为平行四边形，，
直线与直线所成角即直线与直线所成角，
所以所成角为；
②正方体中，平面，
所以就是直线和平面所成的角
由于，，是等腰直角三角形，所以，
所以直线和底面ABCD所成的角的大小.
故答案为：①；②.
【点睛】此题考查求异面直线所成的角和直线与平面所成角，通过平行线求异面直线夹角，通过垂直关系根据定义找出线面角即可求解.
14. 已知向量，，，且与方向相同，那么__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题中条件，先设，再由向量模的坐标表示，根据向量的模列出方程求出参数，即可得出结果.
【详解】因为向量，且与方向相同，
所以可设，
又，所以，解得（负值舍去），
所以
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查由向量的模求向量，解题的关键在于设出向量的坐标，结合题中条件确定等量关系求出参数，本题中根据向量同向，先设，再由向量模列出等量关系，考查学生的运算求解能力，属于基础题型.
15. 在中，，，，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上运动，且点C位于第一象限，则点C到原点O的距离的最大值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由向量数量积的运算可得，由点的轨迹可得点在以为直径的圆周上运动，再求解即可.
【详解】由，则，即,
又点、分别在轴、轴的正半轴上运动，即，
则点在以为直径的圆周上运动，且该圆过点，
又
则，当且仅当为直径时取等号，
即点到原点的距离的最大值是，
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题考查动点到定点距离的最值问题，考查向量数量积的运算，解题的关键在于确定动点的轨迹，本题中根据向量模相等，以及点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上运动，得到点都在以为直径的圆上，考查了转化与化归的思想，属于常考题型.
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
(1)由平方关系先求的值，再根据两角和的正弦公式代入即可；
(2)先求的值，根据平方关系和二倍角公式把化成关于的表达式，然后代入即可.
【详解】解：，，，
（1）；
（2），
【点睛】关键点点睛：本题考查已知三角函数值求函数值，方法是利用三角函数的恒等变形，中档题.
17. 设的内角的对边分别为．已知，，．
（1）求的值；
（2）求面积．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据同角三角函数关系求得，利用正弦定理求得结果；
（2）利用余弦定理构造方程求得，由三角形面积公式求得结果.
【详解】（1）且，，，
由正弦定理得：.
（2）由余弦定理得：，解得：或（舍），
.
【点睛】本题考查正余弦定理解三角形的问题，考查学生对于正弦定理、余弦定理和三角形面积公式掌握的熟练程度，属于基础题.
18. 如图，在四棱锥中，已知底面为平行四边形，点为棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）设平面平面，点在上，求证：为的中点．
【答案】（1）证明过程见详解；（2）证明过程见详解.
【解析】
【分析】
（1）根据线面平行的判定定理，直接证明，即可得出结果.
（2）先由线面平行的性质定理，得到，进而可得结论成立.
【详解】（1）因为底面为平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面；
（2）由（1）知，平面，又因为平面平面，
根据线面平行的性质定理，可得，，
因为，所以，
又点为棱的中点，点在上，
所以为的一条中位线，因此为的中点.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查证明线面平行，考查由线面平行判断线线平行，解题的关键在于熟记线面平行的判定定理及性质定理，将第二问要证明的结论，转化为证明即可，属于基础题.
19. 己知平面向量，，，，且与的夹角为．
（1）求；
（2）求；
（3）若与垂直，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）由数量积定义可直接求得结果；
（2）结合数量积的运算律可求得，进而得到结果；
（3）根据垂直关系得到，由数量积运算律构造方程求得结果.
【详解】（1）；
（2），；
（3），，
即，解得：.
【点睛】本题考查平面向量数量积、向量模长的求解、根据向量垂直关系求解参数值的问题，解题关键是熟练应用平面向量数量积的运算律，属于基础题.
20. 如图，三棱柱的侧面是平行四边形，，平面平面，且P，E，F分别是AB，BC，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；
【解析】
【分析】
（1）利用，由面面垂直得出线面垂直，进而可得平面
（2）利用面面平行定义，得到平面平面，然后，根据平面，即可证明平面平面
【详解】（1）由已知得，平面平面，而平面平面，
又由，又因为平面，可得平面
（2）由P，E，F分别是AB，BC，的中点，根据中位线的定义，和，又因为
，不属于平面，所以，平面
，不属于平面，所以，平面
，又因为与相交，且平面，平面，
所以，平面平面，
又因为根据（1），平面成立，平面，所以，平面平面，所以，平面平面
【点睛】本题考查线面垂直和面面垂直的运用，属于基础题
21. 如图1，已知菱形AECD的对角线AC，DE交于点F，点E为AB的中点．将三角形ADE沿线段DE折起到PDE的位置，如图2所示．
（1）求证：；
（2）试问平面PFC与平面PBC所成的二面角是否为，如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
（3）在线段PD，BC上是否分别存在点M，N，使得平面平面PEN？若存在，请指出点M，N的位置，并证明；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）平面与平面所成的二面角为，证明见解析；（3）存在满足条件的，分别为中点，证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据线面垂直的判定可证得平面，由线面垂直性质可证得结论；
（2）根据平行关系可证得平面，由面面垂直的判定可证得两平面垂直，由此得到所成角为；
（3）利用平行四边形和三角形中位线性质可证得线线平行关系，由此证得线面平行和面面平行，从而确定存在满足条件的.
【详解】（1）四边形为菱形，，即，，
又平面，，平面，
平面，.
（2）平面与平面所成的二面角为，证明如下：
为中点且四边形为菱形，，
四边形为平行四边形，，
由（1）知：平面，平面，又平面，
平面平面，即平面与平面所成的二面角为.
（3）存在满足条件的，分别为中点，证明如下：
由（2）知：四边形为平行四边形，
又分别为中点，，四边形为平行四边形，
，又平面，平面，平面；
分别为中点，为中位线，
，又平面，平面，平面，
又，平面，平面平面.
【点睛】本题考查立体几何中线线垂直关系、面面垂直与平行关系的证明问题，涉及到线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定、线面平行与面面平行的判定等定理的应用，属于常考题型.