海南省临高中学高一下学期期末考试数学试题（解析版）

这是一份海南省临高中学高一下学期期末考试数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高一期末考试数学试题
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的.）
1. 已知集合，，则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出集合，再求出即可.
【详解】由集合，
集合，
得.
故选：C.
【点睛】本题考查了交集的计算.属于容易题.
2. 已知复数满足，则其共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据复数的运算法则计算，即可写出共轭复数.
【详解】因为，所以，其共轭复数为.
故选：D.
【点睛】本题考查复数的运算法则，考查共轭复数的概念，考查计算能力，属于基础题.
3. 某奶制品工厂某天甲、乙、丙、丁四类奶制品的产量分别为2000盒、1250盒、1250盒、500盒. 若按产量比例用分层随机抽样的方法抽取一个样本量为60的样本，则样本中乙类奶制品的数量为（ ）
A. 6盒B. 15盒C. 20盒D. 24盒
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意，先确定抽样比，再由题中数据，即可得出结果.
【详解】样本中乙类奶制品的数量为：
（盒）.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了分层抽样的应用，熟记分层抽样的概念即可.属于容易题.
4. 设函数， 在用二分法求方程在内的近似解过程中得，则方程的解所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先判断函数的单调性，再根据已知条件确定方程的解所在的区间即可.
【详解】函数在上为增函数，
又，
则方程的解所在的区间为.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了利用二分法求方程的解所在的区间问题.属于较易题.
5. 已知5件产品中有2件次品，其余为合格品，现从这5件产品中任取2件，2件都是合格品的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
本题先列出所有的基本事件共10种，再列出目标任务的基本事件共3种，最后求概率即可.
【详解】解：设5件产品中2件次品为、，剩下的3件合格品为、、，任取2件产品的基本事件为：、、、、、、、、、，共10种，其中2件都是合格品的基本事件为：、、，共3种.
所以2件都是合格品的概率为：.
故选：A.
【点睛】本题考查利用古典概型求概率，是基础题.
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
运用中间量判断，运用中间量比较.
【详解】，
，
，
则．
故选：B．
【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．属于较易题.
7. “”是“函数为奇函数”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
先将根据函数为奇函数求参数，判断前后两个条件相互等价，即可解题.
【详解】解：∵函数为奇函数，
∴即，解得：，
∴ 函数为奇函数，
∴“”是“函数为奇函数”的充要条件.
故选：C.
【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求参数、判断是的什么条件，是中档题.
8. 已知为等边三角形，点分别是的中点，连接并延长到点使得，则=（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用向量的加法法则以及数乘运算即可.
【详解】.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了向量的加法法则以及数乘运算.属于较易题.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选明中，有多项是符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得3分）
9. 已知复数则（ ）
A. 是纯虚数B. 对应的点位于第二象限
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】
利用复数的概念及几何有意义判断A、B选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算及，并计算出模长，判断C、D是否正确.
【详解】利用复数的相关概念可判断A正确；
对于B选项，对应的点位于第四象限，故B错；
对于C选项，，则，故C错；
对于D选项，，则，故D正确.
故选：AD
【点睛】本题考查复数的相关概念及复数的计算，较简单.
10. 某品牌手机2019年1月到12月期间的月销量（单位：百万台）数据的折线图如下，根据该折线图，下列结论正确的是（ ）
A. 上半年的月销售量逐月增加
B. 与前一个月相比，销售量增加最多的是11月
C. 全年的平均月销售量为2.9百万台
D. 四个季度中，第三个季度月销售量波动最小
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据折线图，逐个分析，计算选项，即可判断出结果．
【详解】对A，1月销售量为2.4百万台，2月销售量为1.8百万台，显然是下降了，故选项A错误；
对于选项B：与前一个月相比，11月销售量增加量为1.9百万台，是最多的，故选项B正确；
对C，全年的平均月销售量为百万台，故选项C错误；
对D，从折线图观察可得四个季度中，第三季度的折线最平缓，所以第三季度的月销售量波动最小，故选项D正确，
故选：BD．
【点睛】本题考查利用图表分析数据，考查简单合情推理，是基础题．
11. 将函数的图像向左平移个单位后，得到函数的图像，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 最小正周期为
C. 的图象关于对称D. 在区间上单调递增
【答案】BCD
【解析】
【分析】
由题意，利用函数的图象变换规律，求得的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．
【详解】将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，
对A，函数，故A错误；
对B，最小正周期为，故B正确；
对C，当，求得为最小值，故的图象关于直线对称，故C正确；
在区间上，单调递增，故D正确，
故选：BCD．
【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
12. 如图所示，正四棱锥的各棱长均相等，分别为侧棱的中点，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 平面
C. 异面直线PD与MN所成的角为
D. 与平面成的角为
【答案】BC
【解析】
【分析】
利用已知条件即可判断选项A；利用线面垂直的判定定理即可判断选项B；利用平行关系，将异面直线所成的角转化成共面直线所成的角即可判断选项C；由线面垂直关系可得线面角，求解即可判断选项D．
【详解】因为正四棱锥P﹣ABCD的各棱长均相等，所以∠PCB＝60°，所以PC与BC不垂直，故A错误；
因为正四棱锥P﹣ABCD的各棱长均相等，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，所以PB⊥AN，PB⊥CN，又AN∩CN＝N，所以PB⊥平面CAN，故B正确；
因为MN∥AB，AB∥DC，所以MN∥DC，所以异面直线PD与MN所成的角为∠PDC，由已知可得∠PDC＝60°，所以异面直线PD与MN所成的角为60，故C正确；
因为PB⊥平面CAN，所以PC与平面ACN所成的角为∠PCN，又∠PCN＝30°，所以D错误．
故选：BC．
【点睛】本题主要考查线线，线面的位置关系的判断，考查异面直线，直线与平面所成的角的求解方法，属于中档题．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 已知向量，，且，则实数的值为____________.
【答案】
【解析】
【分析】
由向量，故，即可得到答案.
【详解】因为，，且，所以，解得
故答案为：
【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示，属于基础题.
14. 下列数据是30个不同国家中每10000名患某种疾病的男性的死亡人数：
1.5 3.2 5.2 5.6 5.6 7.1 8.7 9.2 10.0 11.2
13.2 13.7 13.8 14.5 15.2 15.7 16.5 18.8 19.2 23.9
27 27 28.9 28.9 33.1 33.8 34.8 40.6 41.6 50.1
这组数据的第70百分位数是_______________.
【答案】27.
【解析】
【分析】
把此30个数据按从小到大排列，计算出指数，计算可得.
【详解】按从小到大排列此30个数据，指数，
则第70百分位数是，
故答案为：27.
【点睛】计算第p百分位数的步骤如下：
第1步：以递增顺序排列原始数据（即从小到大排列），
第2步：计算指数i=np%，
第3步：
l）若 i不是整数，将i向上取整，大于i的毗邻整数即为第p百分位数的位置，
2) 若i是整数，则第p百分位数是第i项与第（i+l）项数据的平均值.
15. 一组样本数据，4，5，6，的平均数为，标准差为4，则_______________.
【答案】128.
【解析】
【分析】
先根据题意建立方程组，再根据方程组化简整理得即可解题.
【详解】解：根据题意：，
化简整理得：
故答案为：128.
【点睛】本题考查数据的平均数与标准差，是基础题.
16. 如图1所示，在直角梯形中，，，，将沿折起到的位置，得到图2中的三棱锥，其中平面平面，则三棱锥的体积为___________, 其外接球的表面积为___________,
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
先由题意求出，取的中点为，连接，求出，利用面面垂直的性质定理求出平面，平面，得，取的中点为，连接，则就是外接球的半径，代入即可求出结果.
【详解】因为，，
，
，
得，
故，
取的中点为，连接，
，
，
则，
又平面平面，
平面；
，
平面平面，
且平面平面，
而，
平面，
得，
取的中点为，连接，
就是外接球的半径，
则三棱锥体积为；
外接球的表面积为.
故答案为：；.
【点睛】本题主要考查了利用面面垂直的性质定理得线面垂直，求三棱锥的体积公式以及求球的表面积公式.属于中档题.
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17. 已知函数
（1）解方程
（2）求满足的的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）分和两种情况讨论求解即可；
（2）分和两种情况讨论求解即可.
【详解】（1）因为，
所以当时，，解可得；
当时，，解可得（舍），
故方程解为.
（2）当时，恒成立，
所以；
当时，，
解得，
所以；
综上可知.
所以的的取值范围的.
【点睛】本题考查的是分段函数的知识，考查了分类讨论的思想.属于较易题.
18. 如图所示，在三棱柱中，，且平面，点是上的一点，求证：
（I）平面；
（II）平面平面
【答案】（1）证明过程见详解；（2）证明过程见详解.
【解析】
【分析】
（1）本小题先证明，再结合平面，平面，证明平面；
（2）本小题先证明平面，从而证明，再证明，结合，证明平面，最后证明平面平面
【详解】解：（1）证明：∵是三棱柱，
∴，
又∵ 平面，平面，
∴ 平面.
（2）证明：∵平面，，平面，
∴ 平面，
又∵平面
∴ ，
∵是三棱柱，
∴ 四边形是平行四边形，
又∵ ，
∴ 四边形是菱形，
∴ ，
又∵ ，
∴ 平面，
再∵ 平面
∴ 平面平面
【点睛】本题考查利用线线平行证明线面平行，利用线面垂直证明面面垂直，是基础题.
19. 已知的三个内角的对边分别为，且，，.
（I）求；
（II）求边上的高.
【答案】（I）；.（II）.
【解析】
【分析】
（I）先利用正弦定理得到的关系，再利用余弦定理求出即可；（II）由（I）的结论，再结合余弦定理即可求出，利用同角三角函数的基本关系求出，利用边上的高为，即可得出结果.
【详解】（I）因为，
由正弦定理可得，
即，
又因为，，
则，
整理可得：.
（II）由（I）可得，
则，
所以边上的高为.
【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形.属于较易题.
20. 某公司有名员工，根据男女员工人数比例，用分层随机抽样的方法从中抽取了人，调查他们的通勤时间（上下班途中花费的总时间，单位：分钟），将数据按照，，，分成组，并整理得到如下频率分布直方图：
（I）从总体中随机抽取人，估计其通勤时间小于分钟的概率；
（Ⅱ）求样本数据的中位数的估计值；
（Ⅲ）已知样本中通勤时间大于或等于分钟的人都是男员工，通勤时间小于分钟的人中有一半是男员工，求该公司男员工的人数.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据频率分布直方图求解即可；
（Ⅱ）先根据频率分布直方图判断中位数落在哪一区间上，然后利用中位数将频率分布直方图的面积分为相等的两部分求解；
（Ⅲ）先计算出样本中男员工的人数，计算出男员工所占的比例，然后估计总体中男员工的人数.
【详解】解：（1）由频率分布直方图可知，样本中通勤时间小于的概率
,故从总体中随机抽取人，估计其通勤时间小于分钟的概率也为.
（Ⅱ）由图可知，样本的中位数位于之间，设中位数为，则
，解得，故中位数为.
（Ⅲ）样本中通勤时间大于或等于分钟的人的概率为，共人，通勤时间小于分钟的人的频率为，其中男员工有人，所以样本中男员工共有人，占样本容量的，故该公司男员工人数为人.
【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查用样本估计总体，难度一般.
21. 已知向量和， 其中，函数的最小正周期为.
（1）求的值；
（2）求在区间上的值域.
【答案】（1）；（2）值域为
【解析】
【分析】
（1）根据倍角公式、两角和与差公式，对函数进行化简，再利用的最小正周期为，即可求出的值；
（2）由（1）知，可得，再根据正弦函数的性质，即可求出函数在时的取值范围.
【详解】（1）
，.
（2）时，，，
在的 值域为
【点睛】本题主要考查正弦函数的图象与性质、倍角公式及两角和与差公式，向量的数量积坐标运算.
22. 某中学高一年级由1000名学生, 他们选着选考科目的情况如下表所示：
从这1000名学生中随机抽取1人，分别设：
A=“该生选了物理”；B=“该生选了化学”；G=“该生选了生物”；
D=“该生选了政治”；E=“该生选了历史”；F=“该生选了地理”.
（1）求.
（2）求.
（3）事件A与D是否相互独立？请说明理由.
【答案】（1），；（2），；（3）相互独立，理由见解析；
【解析】
【分析】
（1）B＝“该生选了化学”，得1000名学生中选化学的学生有500名，由此能求出P（B）；D＝“该生选了政治”；E＝“该生选了历史”；F＝“该生选了地理”．1000名学生中同时选政治、历史、地理的学生有200名，由此能求出P（DEF）．
（2）C＝“该生选了生物”，E＝“该生选了历史”，1000名学生中选生物或历史的学生有800名，由此能求出P（C∪E）；B＝“该生选了化学”，F＝“该生选了地理，1000名学生都选化学或地理，由此能求出P（B∪F）．
（3）A＝“该生选了物理”，D＝“该生选了政治”，由题意得选择物理与否与选择政治无关，选择政治与否与选择物理无关，从而事件A与D相互独立．
【详解】（1）B＝“该生选了化学”，
由题意得1000名学生中选化学的学生有：300+100+100＝500（名），

D＝“该生选了政治”；E＝“该生选了历史”；F＝“该生选了地理”．
由题意得1000名学生中同时选政治、历史、地理的学生有200（名），

（2）C＝“该生选了生物”，E＝“该生选了历史”，
由题意得1000名学生中选生物或历史的学生有：300+200+200+100＝800（名），

B＝“该生选了化学”，F＝“该生选了地理，
由题意得1000名学生中选化学或地理的学生有：300+200+100+200+100+100＝1000（名），

（3）A＝“该生选了物理”，D＝“该生选了政治”，
事件A与D相互独立．理由如下：
由题意得选择物理与否与选择政治无关，
选择政治与否与选择物理无关，
∴事件A与D相互独立．
【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、互斥事件、对立事件、相互独立事件等基础知识，是基础题．
科目
人数
物理
化学
生物
政治
历史
地理
300
√
√
√
200
√
√
√
100
√
√
√
200
√
√
√
100
√
√
√
100
√
√
√