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    天津市部分区高一下学期期末数学试题(解析版)

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    天津市部分区高一下学期期末数学试题(解析版)

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    这是一份天津市部分区高一下学期期末数学试题(解析版),共14页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    一、选择题
    1.下列命题正确的是( )
    A. 三点确定一个平面B. 一条直线和一个点确定一个平面
    C. 梯形可确定一个平面D. 圆心和圆上两点确定一个平面
    【答案】C
    【解析】
    【分析】
    根据公理对选项逐一分析,由此确定正确选项.
    【详解】对于A选项,三个不在同一条直线上的点,确定一个平面,故A选项错误.
    对于B选项,直线和直线外一点,确定一个平面,故B选项错误.
    对于C选项,两条平行直线确定一个平面,梯形有一组对边平行,另一组对边不平行,故梯形可确定一个平面,所以C选项正确.
    对于D选项,圆的直径不能确定一个平面,所以若圆心和圆上的两点在直径上,则无法确定一个平面.所以D选项错误.
    故选:C
    【点睛】本小题主要考查公理的理解和运用,属于基础题.
    2.复数(是虚数单位)在复平面内对应的点位于( )
    A. 第一象限B. 第二象限
    C. 第三象限D. 第四象限
    【答案】D
    【解析】
    【分析】
    求得对应的坐标,由此得出正确选项.
    【详解】复数对应的坐标为,在第四象限.
    故选:D
    【点睛】本小题主要考查复数对应点所在象限的判断,属于基础题.
    3.用斜二测画法画边长为2的正方形的直观图时,以射线,分别为轴、轴的正半轴建立直角坐标系,在相应的斜角坐标系中得到直观图,则该直观图的面积为( )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】
    根据原图和直观图面积关系,求得题目所求直观图的面积.
    【详解】设原图的面积为,直观图的面积为,则.
    正方形的面积为,所以其直观图的面积为.
    故选:A
    【点睛】本小题主要考查斜二测画法有关的面积计算,属于基础题.
    4.一个袋子中装有大小和质地相同的3个红球和2个白球,若从中任取2个球,则这2个球中红球和白球各有1个的概率为( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】
    利用古典概型概率计算公式,求得所求的概率.
    【详解】依题意,这个球中红球和白球各有个概率为.
    故选:B
    【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算,属于基础题.
    5.已知,,且,则向量与的夹角为( )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    分析】
    利用向量夹角公式求得向量与的夹角的余弦值,由此求得向量与的夹角.
    【详解】设向量与的夹角为,则,由于,所以.
    故选:C
    【点睛】本小题主要考查向量夹角公式,属于基础题.
    6.在中,已知,,,则( )
    A. 4B. 2C. 3D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】
    利用余弦定理求得的值.
    【详解】依题意
    .
    故选:D
    【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形,属于基础题.
    7.已知向量,则与平行的单位向量的坐标为( )
    A. B. 或
    C. D. 或
    【答案】D
    【解析】
    【分析】
    由单位向量的定义,计算,即得.
    【详解】由已知,所以与平行的单位向量为或.
    故选:D.
    【点睛】本题考查单位向量的概念,解题时要注意与与平行的单位向量有两个,一个与同向,一个与反向.
    8.四名同学各掷一枚骰子5次,分别记录每次骰子出现的点数.根据下面四名同学的统计结果,可以判断出一定没有出现点数6的是( )
    (注:一组数据的平均数为,它的方差为)
    A. 平均数为2,方差为2.4B. 中位数为3,众数为2
    C. 平均数为3,中位数为2D. 中位数为3,方差为2.8
    【答案】A
    【解析】
    【分析】
    假设出现6点,根据均值估计方差的大小,错误的可举反例说明.
    【详解】若平均数2,若出现6点,则方差,不可能是2.4,因此A中一定不会出现6点,
    其它选项可各举一反例:
    如,中位数是3,众数是2;
    如,平均数为3,中位数为2;
    如,中位数为3,方差为2.8.
    故选:A.
    【点睛】本题考查样本数据特征,掌握均值,方差,中位数,众数等概念是解题基础.属于基础题.
    9.棱长为2的正方体的顶点都在一个球的球面上,则该球的体积为( )
    (注:球的体积,其中为球的半径)
    A. B.
    C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】
    利用正方体的体对角线计算出球的直径,由此得到半径,进而求得球的体积.
    【详解】正方体的体对角线长为,设球的半径为,则,
    所以球的体积为.
    故选:C
    【点睛】本小题主要考查几何体外接球有关计算,属于基础题.
    10.已知的三个内角的对边分别为.向量,,若,则( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】
    利用向量垂直的坐标表示列方程,结合正弦定理进行化简,由此求得的值,进而求得的大小.
    【详解】由于,所以,即,由正弦定理得



    由于,所以,
    所以,

    由于,
    所以.
    故选:B
    【点睛】本小题主要考查向量垂直的坐标表示,考查正弦定理,考查两角和与差的正弦公式、辅助角公式,属于中档题.
    二、填空题
    11.已知甲、乙两名射击运动员射击中靶的概率分别为0.7和0.8,且甲、乙两人射击的结果互不影响.若甲、乙两人各射击一次,则两人都中靶的概率为_______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】
    利用相互独立事件概率计算公式,计算出所求概率.
    【详解】根据相互独立事件概率计算公式可知,两人都中靶的概率为.
    故答案为:
    【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率计算,属于基础题.
    12.已知四面体各棱的长均为1,则这个四面体的表面积为_______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】
    四个面均为正三角形,计算出三角形面积后可得四面体的表面积.
    【详解】由题意四面体的表面积为.
    故答案为:.
    【点睛】本题考查正四面体的表面积,掌握表面积的概念是解题基础.本题属于基础题.
    13.已知,是两个不共线的向量,,.若与是共线向量,则实数的值为______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】
    根据向量共线定理求解.
    【详解】∵与是共线向量,∴存在实数,使得,即,
    ∴,解得.
    故答案为:-4.
    【点睛】本题考查平面向量共线定理,属于基础题.
    14.在正方体中,对角线与底面所成角的正弦值为____________.
    【答案】
    【解析】
    分析:根据直线和平面所成角的定义即可得到结论.
    详解:连结AC,
    则AC是A1C在平面ABCD上射影,
    则∠A1CA即为直线A1C与平面ABCD所成角正弦值,
    设正方体的棱长为1,
    则,
    则,
    点晴:本题需要先找出线面角所成角的平面角,然后放在三角形中进行解决即可
    15.已知中,为边上的点,且,若,则______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】
    以为基底表示出,由此求得,进而求得.
    【详解】依题意,
    所以.
    故答案为:
    【点睛】本小题主要考查平面向量的线性运算,属于基础题.
    三、解答题
    16.已知是虚数单位,.
    (Ⅰ)求;
    (Ⅱ)若复数的虚部为2,且的虚部为0,求.
    【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
    【解析】
    【分析】
    (Ⅰ)利用复数的四则运算求出后可求其模.
    (Ⅱ)设,利用复数的乘法计算出后再根据虚部为0求出,从而可得.
    【详解】解:(Ⅰ),
    所以,
    (Ⅱ)设,
    则,
    因为的虚部为0,所以,
    ,即.
    所以.
    【点睛】本题考查复数的乘法和除法,前者运算时注意分子分母同乘以分母的共轭复数,另外,对于含参数的复数问题,我们常通过将复数设成的形式将问题转化为实数问题.
    17.从某校高一年级学生中随机抽取了20名学生,将他们的数学检测成绩(分)分成六段(满分100分,成绩均为不低于40分的整数):,,...,后,得到如图所示的频率分布直方图.
    (Ⅰ)求图中实数的值;
    (Ⅱ)若该校高一年级共有学生600名,试根据以上数据,估计该校高一年级数学检测成绩不低于80分的人数.
    【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)210.
    【解析】
    【分析】
    (Ⅰ)由等比数列性质及频率分布直方图,列出方程,能求出.
    (Ⅱ)利用频率分布直方图能求出成绩不低于80分的人数.
    【详解】解:(Ⅰ)因为图中所有小矩形的面积之和等于1,
    所以,
    解得.
    (Ⅱ)根据频率分布直方图,成绩不低于80分的频率为
    .
    由于该校高一年级共有学生600名,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级数学检测成绩不低于80分的人数为.
    【点睛】本题考查频率分布直方图的应用,考查概率的求法,考查频率分布直方图,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,属于基础题.
    18.在中,内角所对的边分别为,已知,,.
    (Ⅰ)求角的大小;
    (Ⅱ)求角的正弦值.
    【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
    【解析】
    【分析】
    (Ⅰ)用余弦定理计算出后可得;
    (Ⅱ)用正弦定理计算.
    【详解】解:(Ⅰ)由三角形的余弦定理,
    得.
    所以,.
    因为.
    所以.
    (Ⅱ)由三角形的正弦定理,
    得.
    所以内角的正弦值为.
    【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理,掌握正弦定理和余弦定理是解题关键,本题属于基础题.
    19.己知某区甲、乙、丙三所学校的教师志愿者人数分别为240,160,80.为助力疫情防控,现采用分层抽样的方法,从这三所学校的教师志愿者中抽取6名教师,参与“抗击疫情·你我同行”下卡口执勤值守专项行动.
    (Ⅰ)求应从甲、乙、丙三所学校的教师志愿者中分别抽取的人数;
    (Ⅱ)设抽出的6名教师志愿者分别记为,,,,,,现从中随机抽取2名教师志愿者承担测试体温工作.
    (i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;
    (ii)设为事件“抽取的2名教师志愿者来自同一所学校”,求事件发生的概率.
    【答案】(Ⅰ)3人,2人,1人;(Ⅱ)(i),,,,,,,,,,,,,,;(ⅱ)
    【解析】
    【分析】
    (Ⅰ)按照分层抽样规则计算可得;
    (Ⅱ)(i)将所有可能结果一一列举,做到不重复不遗漏;
    (ii)根据古典概型的概率公式计算可得;
    【详解】解:(Ⅰ)由已知,甲、乙、丙三所学校的教师志愿者人数之比为3:2:1
    由于采用分层抽样的方法从中抽取6名教师,因此应从甲、乙、丙三所学校的教师志愿者中分别抽取3人,2人,1人.
    (Ⅱ)(ⅰ)从抽出的 名教师中随机抽取2名教师的所有可能结果为
    ,,,,,,,,,,,,,,,共15种.
    (ⅱ)由(Ⅰ),不妨设抽出的6名教师中,来自甲学校的是,,,来自乙学校的是,,来自丙学校的是,则从抽出的6名教师中随机抽取的2名教师来自同一学校的所有可能结果为,,,,共4种.
    所以,事件发生的概率.
    【点睛】本题考查分层抽样及古典概型的概率计算,属于基础题.
    20.如图,在三棱锥中,点,分别是棱,的中点,且,.
    (Ⅰ)求证:平面;
    (Ⅱ)求证:.
    【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)证明见解析.
    【解析】
    【分析】
    (I)通过证明,证得平面.
    (II)通过证明,结合证得平面,由此证得.
    【详解】(Ⅰ)证明:因为在中,点,分别是,,
    所以,
    又因为平面,平面,
    所以平面.
    (Ⅱ)因为点是的中点,且,
    所以,
    又因为,平面,平面,

    故平面,
    因为平面,
    所以.
    【点睛】本小题主要考查线面平行的证明,考查线线垂直的证明,属于中档题.

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