湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高一下学期第二次阶段性检测（月考）数学试题（原卷及解析版）

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时量：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若复数是纯虚数，则实数a=（ ）
A. B. C. D. 6
2. 某校举行“勇士杯”学生篮球比赛，统计高一年级部分班级的得分数据如下：
则下列说法正确的是（ ）
A. 得分的众数为34
B. 得分的中位数为28
C. 得分的75%分位数为33
D. 得分极差为6
3. 已知平面，直线，直线不在平面上，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
4. 已知，，则“”是“”（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 已知正六棱柱ABCDEF-A₁B₁C₁D₁E₁F₁的所有棱长均为1，则这个棱柱侧面对角线E₁D与BC₁所成的角的余弦值为（ ）
A. B. C. D. 0
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，若函数在定义域内有且仅有两个不同的零点，则m的取值范围是（ ）
A. B. （C. D.
8. 已知集合，若对于任意，以及任意，满足，则称集合为“类圆集”．下列说法正确的是（ ）
A. 集合为“类圆集”
B. 集合为“类圆集”
C. 集合不为“类圆集”
D. 若都“类圆集”，则也一定是“类圆集”
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在如图所示的网格中，每一个小正方形的边长均为1，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 在方向上投影向量为
C. 与的夹角为30°D.
10. 某学校为了解学生身高（单位：cm）情况，采用分层随机抽样的方法从4000名学生（该校男女生人数之比为）中抽取了一个容量为100的样本.其中，男生平均身高为175，方差为184，女生平均身高为160，方差为179.则下列说法正确的是参考公式：总体分为2层，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，，，，.记总的样本平均数为，样本方差为，则（ ）
参考公式：
A. 抽取的样本里男生有60人
B. 每一位学生被抽中的可能性为
C. 估计该学校学生身高的平均值为170
D. 估计该学校学生身高的方差为236
11. 化学中经常碰到正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如六氟化硫（化学式）、金刚石等的分子结构．将一个正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体（如图），已知正方体棱长为，则（ ）
A. 正八面体的内切球表面积
B. 正八面体的外接球体积为
C. 若点P为棱EB上的动点，则三棱锥的体积为定值
D. 若点P为棱EB上的动点（包括端点），则直线CP与平面GHMN所成角的正弦值的取值范围是
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 设a＞0，b＞0，已知，则ab＝_______.
13. 在中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c.若，， ，则的面积为________．
14. 定义轴截面为正三角形的圆锥为等边圆锥，轴截面为正方形的圆柱为等边圆柱，已知一个等边圆锥的底面圆的直径为2，在该圆锥内放置一个等边圆柱，并且圆柱在该圆锥内可以任意转动，则该圆柱的体积的最大值为_________．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量，，.
（1）当时，求及的值；
（2）若函数，其中，求的值域．
16. 某校高一年级进行数学计算能力大赛，数学备课组从全年级的1000名学生的成绩中抽取容量为n的样本，构成频率分布直方图，且成绩在区间的人数为5．
（1）求样本容量n以及频率分布直方图中的x；
（2）估计全年级学生竞赛成绩的平均数；
（3）从样本中得分在[80,100]的学生中随机抽取两人，问所抽取的两人中至少有一人的得分在区间[90,100]的概率是多少？
17. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．
（1）求边长a和角A；
（2）若的面积为，求中线的长度；
（3）若，求角平分线的长度．
18. 在多面体ABCDEF中，，且，.
（1）证明：；
（2）若平面平面，求二面角的余弦值；
（3）在（2）的条件下，求该多面体的体积.
19. 对于函数，若存在实数m，使得为R上的奇函数，则称是位差值为m的“位差奇函数”.
（1）若是位差值为的位差奇函数，求的值；
（2）已知，，若存在，使得是位差值为m的“位差奇函数”.
①求实数t的取值范围；
②设直线与函数图象分别交于A、B两点，直线与函数的图象分别交于C、D两点，若存在，且，使得，求实数m的取值范围．
班级
1
2
3
4
5
6
7
8
得分
28
34
34
30
26
28
28
32